含裂隙儲層模型數值模擬對比分析

李美琦

（廣東省建設工程質量安全檢測總站有限公司，廣州 510000）

0 引言

地層介質中，孔隙作為一種儲存空間，是油氣資源運移或者擴散的重要通道，控制油氣資源的產能。

深部介質受到上覆介質的壓力，水平或者接近水平的裂隙空間被壓實，高角度或者垂直的裂隙空間得到保留，HTI 模型是與高角度裂隙特別是垂直裂隙相適應的等效地質模型。含裂隙巖石模型的發展大致經歷了建立含裂隙儲層模型、建立含裂隙儲層模型的理論基礎、含裂隙儲層數值模擬3 個階段。

第一階段，韓媛媛[1]對Eshelby 等效介質模型進行了綜合論述和模型建立（如圖1 所示）。

圖1 Eshelby等效介質模型

圖2 研究路線圖

第二階段，在各向同性介質的背景下，加入單一結構裂隙（如定向排列的垂直或平行裂隙）和多元結構裂隙（如同時存在多個單一結構的裂隙系統），但各向同性的背景在實際地質應用中不占優勢，對各向異性背景的研究更有價值[2]。

第三階段，用數值模擬方法研究各種含裂隙模型的響應特征和適用范圍[3]，常見的數值模擬方法有波動方程法和有限差分法[4]。熊曉軍等[5]用三維波動方程對縫洞地質模型進行了數值模擬。

本文采用波動方程方法對Hudson 模型和Cheng 模型進行數值模擬，比較、分析模型的優、缺點及適用范圍，為研究含裂隙儲層AVO 響應特征提供模型參考。

1 裂隙儲層等效模型分析

1.1 Hudson 模型

Hudson[6-7]用橢球狀裂隙近似模擬巖石介質中的扁平狀裂隙，發展了含裂隙介質中的彈性波場理論。

Hudson 模型的假設有4 點。第一，彈性波的波長遠大于定向排列的裂隙尺度。第二，裂隙分布稀疏、均勻，裂隙所占比重小。第三，裂隙分布不連續，每一個橢球狀的裂隙彼此獨立。第四，裂隙厚度超過裂隙長度。

對于具有三軸對稱的橫向各向同性材料，彈性剛度張量由c11、c13、c33、c44、c665 個獨立的彈性常數表示：

其中，c12=c11-2c66。

在Hudson 的論著中，利用二階擴展的等效模量研究介質中裂隙引起的橫向各向同性介質方法：

一階更正量：

二階更正量：

其中，λ、μ為拉梅常數，ε為裂隙密度，ε與孔隙度(φ)、裂隙縱橫比（α）的關系如下：

式（6）中U1、U3由裂隙包含物決定。對于液體填充的裂隙，Hudson 給出了如下U1、U3表達式：

該式子假設流體飽和度不影響介質的壓縮模量，即裂隙縱橫比α為0。對于干燥裂隙，U1、U3：

在式（8）、(9)中，裂隙縱橫比為0。

Hudson 給出了對于“弱”包含物U1、U3的表達式：

其中，K'為包含物的體積模量，μ'為包含物的剪切模量。

根據Hudson 模型理論基礎，可獲得Hudson 模型中彈性剛度張量的獨立彈性常數與裂隙密度之間的關系。c13、c66對裂隙密度變化的響應十分微弱，本文僅對c11、c33、c44進行數值模擬、分析。

在巖石物理研究中，通過縱波速度（Vp）、橫波速度（Vs）、介質密度（ρ）建立巖石介質模型，進行數值模擬：

本文Hudson 模型參數見表1，裂隙密度變化范圍從0 ～0.5，裂隙類型為干燥裂隙和液體填充裂隙。計算結果經標準化、歸一化，所有的數據在相同的尺度（0 ～1）內，由此得到的量稱為標準化等效模量。

表1 Hudson模型參數

圖3 為Hudson 模型正演模擬結果。圖3（a）為干燥裂隙一階更正標準化等效模量與ρ的關系曲線，隨著ρ的增加，等效模量線性減小，c11、c3、c4分別在ρ為0.56、0.23、0.51 處取0。

圖3 Hudson模型正演模擬結果

圖3（b）為干燥裂隙二階更正標準化模量與ρ的關系，呈非線性關系，等效模量先減小再增加，c11、c3、c4分別在ρ為0.18、0.18、0.42 處取得最小值。

圖3（c）為液體填充一階、二階更正標準化等效模量與ρ的關系。液體填充情況下c11、c3恒等于1.0。液體填充后，一階c44與ρ依舊呈線性關系，在0.46 處為零，ρ繼續增加，其將會小于零；二階c44與ρ呈非線性關系，先減小后增加，在ρ在0.52 處取得最小值。

1.2 Cheng 模型

Cheng[8]在Hudson 模型的基礎上提出了新的二階擴展的各向異性模型，即Cheng 模型。Cheng 模型使用與Hudson 模型一樣的物理模型。

將球狀包含物的精確解和Padé 近似擴展，其等效彈性模量：

將Hudson 模型中關于裂隙密度ε的一階、二階更正量用Padé 近似系數表示：

圖4 為Cheng 模型正演模擬結果。圖4（a）為干燥裂隙環境下Cheng 模型標準化等效模量與ε的關系。曲線呈現非線性關系，隨著ε的增加，標準化等效模量單調減小；在研究裂隙范圍內，未出現最小值及反向增加情況。

圖4 Cheng模型正演模擬結果

圖4（b）為液體填充下Cheng 模型的標準化等效模量與ε的關系。液體填充情況下c11、c33近似，標準化模量值恒等于1.0。標準化模量與ε呈非線性關系，隨著ε的增加，標準化等效模量非線性減小，在研究范圍內，未出現最小值及反轉增加情況。

1.3 模型對比

對Hudson 模型與Cheng 模型分別進行了干燥裂隙、液體填充裂隙的數值模擬，分別得到c11、c33、c44隨裂隙密度的變化規律，比較這兩種模型的優點、不足和適用范圍。

圖5 中（a）、（b）、（c）為干燥型裂隙中Hudson 模型的一階更正、二階更正和Cheng 模型擬合更正結果，分別對應c11、c33、c44的標準化模量隨裂隙密度ε的變化規律。圖5（d）圖為液體填充型裂隙中c44隨裂隙密度變化的Hudson 模型一階更正、二階更正、Cheng 模型擬合更正曲線。

圖5 Hudson模型與Cheng模型數值模擬對比

對比可知，Hudson 模型一階更正和二階更正表現出明顯的局限性，僅在極小裂隙密度范圍內具有良好的表現。Hudson 模型一階更正與裂隙密度呈線性遞減，標準化模量對模型參數的改變不敏感，難以刻畫參數的微妙變化；Hudson 二階更正出現標準化模量增加的現象，不符合實際物理模型彈性參數變化規律。Cheng 模型標準化等效模量隨裂隙密度的變化具收斂性，不隨裂隙密度的增加而無限減小，Cheng 模型的數學過程嚴謹，對參數變化的響應敏感；可以適應更廣泛的裂隙密度，能夠滿足實際情況的需求。

2 結論

通過對Hudson 模型和Cheng 模型的模擬、對比、分析，得到以下結論。

（1）Cheng 模型擬合更正曲線落在Hudson 一階更正曲線和二階更正曲線之間，表明Cheng 模型適應的地層裂隙密度范圍比Hudson 模型的更廣，能適應實際情況中較大的裂隙密度數值。

（2）Cheng 模型中彈性常數隨裂隙密度的增長具有一定的收斂性，合理地解決了二階擴展的越界問題，能與實際物理原理相適應；Cheng 模型采用Padé 近似擬合的系數由Hudson 模型數學方法計算得到，在數理上Cheng 模型擬合更正與Hudson 模型二階擴展同樣有效，且計算性能更優越。