非飽和土的彈塑性本構模型探討

摘要：目前大多數采用的是基于雙應力變量來建立模型，主要是將凈應力σ-ua和基質吸力s作為兩個獨立的狀態變量，建立非飽和土的彈塑性本構模型。

關鍵詞：非飽和土；本構模型；應力應變1BBM模型

土力學理論發展以來，最核心的問題之一就是如何確定本構關系［1］。目前從飽和狀態的土擴展到非飽和狀態需要解決的最主要問題是由含水率或吸力變化導致土體體積變化、強度變化和水利性質發生變化，大多數采用的是基于雙應力變量來建立模型，主要是將凈應力σ-ua和基質吸力s作為兩個獨立的狀態變量。而Alonso（1990）也是在此基礎上提出了最早的非飽和土本構模型（BBM模型）。

在BBM模型的影響下，廣大學者在該模型基礎上拓展，相繼涌現出了很多非飽和土本構模型，并且非飽和土本構模型的研究也一度成為土力學的熱點之一［24］。BBM模型中最重要的是提出了兩條屈服線：一條是非飽和土屈服應力隨吸力變化曲線， 簡稱LC加載濕陷屈服線（Loading-collapse yield curve），由該曲線可預測非飽和土的濕化變形特性；另一條非飽和土體屈服是由吸力變化引起的，簡稱吸力增加屈服線SI （Suction Increase），把該兩條屈服線同時繪制在坐標軸中并與坐標軸所圍的區域稱之為彈性區，不管應力路徑穿過加載濕陷屈服線還是吸力增加屈服線，土體都會發生屈服。而該模型在p-q-s空間中可以用圖1表示，p-s空間中邊界線LC的表達式為：p0pc=p*0pcλ（0）-kλ（s）-k（1）圖1p-q-s空間內的三維應力屈服面

其中：p*0、p0為飽和、非飽和土的先期固結壓力，pc為參考應力，與飽和狀態下臨界狀態線斜率相同。在修正劍橋模型基礎上，BBM模型采用的屈服函數仍為橢圓屈服面，該屈服面方程為：f=q2-M2（p+ps）（p0-p）（2）式中：M為非飽和土體的臨界狀態線的斜率，ps為屈服面與p軸的交點或截距為：ps=ηs（3）式中：s為基質吸力，η為常數。

體積變化性質是土的一種最根本特征。飽和土只需要考慮應力對體變的影響，并假定飽和土各向等壓固結中孔隙比或比體積沿正常固結線（NCL， Normal Consolidation Line）變化，與有效應力的自然對數之間近似滿足線性關系，即：v=N-λlnp′=N-λln（p-uw）（4）式中：p為平均應力，v和p′分別表示飽和土的比體積和平均有效應力；N是當p′=1 kPa時對應的孔隙比；λ為飽和正常固結線e-lnp′的斜率。

式（4）寫成增量形式為：dv=-λdpp-uw-λd（-uw）p-uw（5）從式（5）中可以看出體積變化是由平均應力與孔隙水壓兩部分引起的，并且當平均應力和孔隙水壓絕對值的增量大小相等時對土體會產生同樣的變形，而非飽和土由于增加了吸力對土體體變也會有很大的影響，BBM及早期提出的一些非飽和土本構模型，雖然考慮了除含水率或吸力之外的其他因素，比如土體所處的干濕狀態，初始施加的應力以及應力路徑等對土體變形的影響，以及吸力或者含水率對強度、剛度和先期固結應力的影響。但都不能描述由于應力或吸力變化引起的飽和度變化，也不能用于模擬非飽和土吸力循環下的水力滯后特性。

23種本構關系

現有非飽和土本構模型的研究中，主要從式（4）飽和土體變方程中擴展到非飽和土，主要考慮應力和吸力相互獨立、應力和吸力相結合和介于這兩者之間3個方面建立本構關系。

2.1應力和吸力相互獨立的方法

該方法是將應力變化與吸力變化導致的土體體積變化分開考慮，孔隙比（e）或比體積（v=1+e）與凈應力和吸力之間的關系如下：v=N-λvplnp--λvslns+uatuat（6）式中：p-=p-uw為凈平均應力；N為當p-=1 kPa和s=0 kPa時的比體積；λvp為v-lnp-的斜率，稱為應力作用下的壓縮系數；λvs為v-lns的斜率，稱為吸力作用下的收縮系數；僅考慮超過屈服吸力塑性變形范圍的數值，uat用于消除s=0時方程的奇異性。

2.2應力與吸力相結合的方法

該方法通常將兩個變量凈應力p-=p-uw和基質吸力s=ua-uw用一個表達式表示出來，其有效應力形式為：p′=p-+f（s）（7）式中：f（s）為基質吸力的函數，根據式（7）可將式（4）擴展到非飽和狀態，即：v=N-λlnp′=N-λln［p-+f（s）］（8）式中：N為當p′=1 kPa時的比體積。通常假定N為常數，不受吸力大小的影響。

2.3介于應力和吸力之間的方法

Sheng等采用雙應力變量將式（5）擴展到非飽和土，提出了著名的SFG模型，就是介于應力和吸力之間的方法模型，其增量形式可表述如下：dv=-λvpdp-p-+f（s）-λvs（s）dsp-+f（s）（9）式中：λvp是一個材料常數，與吸力無關，λvs則是一個隨著吸力變化的參數，飽和時λvp=λvs。

3應力應變關系

對黃土而言其應力應變關系曲線描述了土體受力時的不同狀態，根據應力應變關系曲線不同建立不同的本構模型，從而更全面地對土體的力學特性做進一步的闡述。并根據應力應變本構關系的不同主要分為軟化型和硬化型本構關系，軟化型又分為弱軟化型和強軟化型，硬化型又分為弱硬化型和強硬化型。

3.1強軟化型黃土試樣的應力應變關系σ1-σ3=Etε1（10）

Et=（σ1-σ3）iεi（11）

q=σ1-σ3=ε1（a+cε1）（a+bε1）2（12）式中：a、b和c均為試驗參數。

3.2弱軟化型黃土試樣的應力應變關系σ1-σ3=λεM1eNε1（13）式中：λ、M和N是關于σ1-σ3的函數，通過對式（13）求導，可得到黃土試樣的切線模量如下式：Et=d（σ1-σ3）dσ1=（σ1-σ3）（Mε1+N）（14）3.3強硬化型黃土試樣的應力應變關系σ1-σ3=β1εα11（15）式中：α1、β1為常數。

上式對ε1求導可得切線模量E1為：Et=d（σ1-σ3）dσ1=α1β1α11（σ1-σ3）1-1α1（16）3.4弱硬化型黃土試樣的應力應變關系σ1-σ3=ε1a+bε1（17）式中：a、b為試驗參數，弱硬化型黃土試樣的切線模量E1為：Et=1-Rf（1-sinφ）（σ1-σ3）2ccosφ+2σ3sinφ2Kpaσ3pan（18）

式中：K、Rf、c、φ和n均為試驗常數，Pa為大氣壓力。

4結論

基于對黃土本構關系表達式的總結，為更好地提出黃土本構模型提供了便利。劉祖典等（1997）通過對不同類型的黃土的濕陷變形應力應變關系的研究，得出原狀黃土的應力應變曲線受圍壓和沉積時代影響，并且通過試驗分析推導得出關于黃土彈塑本構方程。沈珠江（1994）將損傷力學引入土力學，并提出用以描述黃土軟化現象的彈塑性損傷模型。夏旺民（2009）基于損傷力學和塑性力學理論建立了黃土的彈塑性損傷本構模型。王麗琴等（2017）提出了一種新的非線性模型，該模型把黃土不同的應力應變關系曲線的數學表達式歸一為一個數學表達式，并且把應力應變關系曲線的切線模量數學表達式也得到統一。李旭東等（2019）在側限條件下，通過在不同含水率和不同壓實度下做了大量試驗，得出應力應變關系曲線，再利用自建GunaryEXT模型擬合這些曲線，并在此基礎上利用割線模量法建立壓實黃土的加載變形本構模型。褚峰等（2019）將相應的黃土結構損傷比引入屈服函數中，在試驗相關參量的基礎上與硬化參量之間的相關關系，推導出在壓剪條件下結構性黃土損傷本構模型。

參考文獻：

［1］劉祖典. 黃土力學與工程［M］. 西安： 陜西科學技術出版社，1997：115127.

［2］沈珠江. 黃土的損傷力學模型探索［C］∥第七屆土力學及基礎工程學術會議論文集. 北京： 中國建筑工業出版社， 1994：145149.

［3］夏旺民， 郭新明， 郭增玉， 等. 黃土彈塑性損傷本構模型［J］. 巖石力學與工程學報， 2009，28（S1）： 3239.

［4］王麗琴， 鹿忠剛， 邵生俊. 黃土非線性應力應變新模型及對比研究［J］. 巖土工程學報， 2017（9）：3435.