基于APOS理論的等比數(shù)列概念教學(xué)思考

高健 李朝喜 唐四雨

1 對APOS理論的基本認(rèn)識(shí)

1.1 APOS理論概述

美國數(shù)學(xué)家杜賓斯基認(rèn)為，個(gè)體對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)不是直接的，需要個(gè)體透過心智結(jié)構(gòu)才能對概念產(chǎn)生有意義的認(rèn)知與建構(gòu)，因此他在皮亞杰“反思性抽象”理論的基礎(chǔ)上進(jìn)一步拓展，將數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程劃分為四個(gè)階段：活動(dòng)A（Action）、過程P（Process）、對象O（Object）、圖式S（Scheme）[1]．該理論作為一種建構(gòu)主義理論，對數(shù)學(xué)概念教學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義和應(yīng)用價(jià)值．思維是素養(yǎng)的核心，思維以知識(shí)為基礎(chǔ)[2]．APOS理論的教育價(jià)值在于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，使學(xué)生經(jīng)歷“直觀思維——程序思維——抽象思維——圖式思維”的轉(zhuǎn)變[3]．“活動(dòng)階段”是學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的起始階段，通過外顯的“活動(dòng)指令”幫助學(xué)生感受概念的背景來源，觸動(dòng)學(xué)生的直觀思維；經(jīng)過對“活動(dòng)”反復(fù)操作和思維內(nèi)化，學(xué)生對概念有了一定的思考和頓悟，進(jìn)而達(dá)到“過程階段”，在程序操作和表象描述中發(fā)展學(xué)生的程序思維；基于前兩個(gè)階段，學(xué)生對概念的本質(zhì)屬性有了一定的認(rèn)知和理解，此時(shí)把概念作為一個(gè)整體對象進(jìn)行操作，運(yùn)用抽象思維對概念的本質(zhì)特征進(jìn)行有機(jī)組合，由此演變?yōu)椤皩ο箅A段”；而“圖式階段”的達(dá)成并不是一蹴而就的，需要學(xué)生在后期的知識(shí)深化以及其他概念圖式的聯(lián)系中不斷進(jìn)行完善，進(jìn)而幫助學(xué)生形成圖式思維認(rèn)知現(xiàn)實(shí)世界．

1.2 利用APOS理論進(jìn)行概念教學(xué)的注意點(diǎn)

1.2.1 基于學(xué)生心智技能，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境

數(shù)學(xué)心智技能是學(xué)生通過對數(shù)學(xué)模式的具體實(shí)例進(jìn)行操練，將獲得的動(dòng)覺經(jīng)驗(yàn)與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行整合，進(jìn)而內(nèi)化的一種經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ剑鐚W(xué)生的計(jì)算能力、推理能力、調(diào)控學(xué)習(xí)過程的能力等[4]．APOS理論的核心聚焦于“如何建立學(xué)生的心智結(jié)構(gòu)使學(xué)生對數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生意義和價(jià)值”，而心智結(jié)構(gòu)的建立離不開學(xué)生心智技能的習(xí)得與發(fā)展．因此，基于APOS理論進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)立足于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，使學(xué)生利用已有經(jīng)驗(yàn)同化或順應(yīng)新概念，注重將數(shù)學(xué)概念的背景置于數(shù)學(xué)問題情境中，設(shè)計(jì)既與數(shù)學(xué)概念背景來源有聯(lián)系性、現(xiàn)實(shí)性、社會(huì)性的問題情境，又能使學(xué)生進(jìn)入憤悱境界、提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的問題情境．

1.2.2 注重教學(xué)階段螺旋，強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主建構(gòu)

APOS理論的四個(gè)階段并非按照直線路徑逐層過渡，而是螺旋上升、循序漸進(jìn)達(dá)成的，目的是確保學(xué)生概念的學(xué)習(xí)不只是停留在具體直觀、視覺化階段，而是需要不斷反省抽象、深化升華，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生知識(shí)習(xí)得和思維發(fā)展[5]．同時(shí)，該理論所蘊(yùn)含的建構(gòu)主義色彩也強(qiáng)調(diào)教師在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)注重學(xué)生對知識(shí)的自我探究與發(fā)現(xiàn)，適當(dāng)進(jìn)行教學(xué)干預(yù)，幫助學(xué)生明確概念本質(zhì)、熟悉概念應(yīng)用，使學(xué)生在發(fā)現(xiàn)新知、活動(dòng)參與、互動(dòng)交流的學(xué)習(xí)過程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念來源、掌握數(shù)學(xué)概念本質(zhì)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法、熟練數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知水平的提升．

1.2.3 引導(dǎo)學(xué)生知識(shí)聯(lián)結(jié)，幫助學(xué)生完善新知

APOS理論四個(gè)階段的形成不是一蹴而就的，也并非在一堂課、一個(gè)單元教學(xué)片段就可完成，需要經(jīng)過長期的學(xué)習(xí)活動(dòng)不斷完善[6]，特別是APOS理論的圖式階段，需要學(xué)生在數(shù)學(xué)概念的實(shí)踐應(yīng)用、拓展完善中深化知識(shí)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)概念的結(jié)構(gòu)化，最終將數(shù)學(xué)內(nèi)容建構(gòu)成一個(gè)相互交織、相互聯(lián)系的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)．因此，教師在圖式階段乃至后續(xù)相關(guān)圖式知識(shí)的教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)學(xué)生新、舊知識(shí)的聯(lián)結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生在新圖式的建構(gòu)上聯(lián)結(jié)舊圖式、在舊圖式的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新圖式，在知識(shí)聯(lián)結(jié)、演繹拓展、實(shí)踐應(yīng)用中完善學(xué)生的概念認(rèn)知體系，固化學(xué)生的數(shù)學(xué)心智結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升．

2 基于APOS理論的等比數(shù)列概念教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 活動(dòng)階段——設(shè)置情境，帶領(lǐng)學(xué)生感知概念背景

APOS理論的活動(dòng)階段是幫助學(xué)生感知概念背景來源、初步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的起始階段，以科學(xué)的問題情境進(jìn)行概念引入是教師進(jìn)行活動(dòng)階段教學(xué)的必要手段，教師應(yīng)基于學(xué)生的心智技能，創(chuàng)設(shè)具備現(xiàn)實(shí)性、社會(huì)性、真實(shí)性的問題情境激發(fā)學(xué)生的直觀思維，促使學(xué)生以原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)體驗(yàn)數(shù)學(xué)情境中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題，密切聯(lián)系學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)水平、思維發(fā)展，進(jìn)而達(dá)到幫助學(xué)生感悟背景來源的目的．

設(shè)計(jì)意圖在APOS理論的“圖式階段”，思維導(dǎo)圖的呈現(xiàn)、概念模型的應(yīng)用，不僅有利于學(xué)生合作發(fā)現(xiàn)、綜合完善等比數(shù)列的知識(shí)體系，而且有助于加強(qiáng)學(xué)生對等比數(shù)列概念的實(shí)踐性操作，在相關(guān)圖式概念的聯(lián)結(jié)中進(jìn)一步感受等比數(shù)列內(nèi)容的價(jià)值與意義，達(dá)到學(xué)有所思、思有所獲、獲有所感的學(xué)習(xí)效果．

3 教學(xué)思考

3.1 篩選情境素材，聚焦學(xué)生概念認(rèn)知情境化問題作為學(xué)生知識(shí)探究的重要載體，成為教師概念教學(xué)中必不可少的重要工具，在以“情境—問題—概念認(rèn)知—思維建構(gòu)”的層級價(jià)值目標(biāo)導(dǎo)向下，篩選符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律、與學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活密切相關(guān)的情境素材尤為重要．夏小剛教授強(qiáng)調(diào)，應(yīng)在學(xué)生現(xiàn)實(shí)的基礎(chǔ)上，篩選可激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維、便于情境問題數(shù)學(xué)化的情境素材，還原數(shù)學(xué)問題的生成過程、激活學(xué)生的思維活力[9]．在APOS理論指導(dǎo)下的等比數(shù)列概念教學(xué)中，選取“正方形紙片十字分割”的問題情境旨在促進(jìn)學(xué)生對等比數(shù)列概念的初步感知，突顯等比數(shù)列與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系，為后續(xù)對概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解做鋪墊．

3.2 注重啟發(fā)教學(xué)，逐步完善概念體系

啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)以激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維為目的，而學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心智活動(dòng)的核心又是以數(shù)學(xué)思維活動(dòng)為載體[10]，這與APOS理論促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的教育價(jià)值不謀而合．因此，教師進(jìn)行等比數(shù)列概念教學(xué)時(shí)，應(yīng)注重階段之間的層次性、緊密性、螺旋性，以觸發(fā)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，幫助學(xué)生完善概念體系，增強(qiáng)主動(dòng)學(xué)習(xí)、概念探究的強(qiáng)烈愿望，密切關(guān)注素質(zhì)教育背景下數(shù)學(xué)學(xué)科性與育人性的科學(xué)融合．如過程階段探究等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，既是對活動(dòng)階段概念背景的特征化，又為對象階段概念整體化做鋪墊，在方法類比、公式推導(dǎo)中激發(fā)學(xué)生思考問題的靈活性，培養(yǎng)應(yīng)用創(chuàng)新的數(shù)學(xué)思維．

3.3 強(qiáng)調(diào)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，突顯概念教育價(jià)值

APOS理論作為建構(gòu)主義理論，揭示了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的本質(zhì)，指明了概念建構(gòu)的層次，強(qiáng)調(diào)了建構(gòu)的最終結(jié)果[11]．因此，教師基于APOS理論進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，應(yīng)注重學(xué)生自主思考、合作探究、發(fā)現(xiàn)新知的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，營造寓教于樂、寓學(xué)于趣的課堂氛圍，落實(shí)素養(yǎng)本位指導(dǎo)下學(xué)生的課堂主體教育價(jià)值，使學(xué)生在數(shù)學(xué)概念的抽象、數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟、數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用中，體會(huì)概念學(xué)習(xí)的意義和價(jià)值，使學(xué)習(xí)達(dá)到轉(zhuǎn)識(shí)成智、化知為能的效果．如在等比數(shù)列概念教學(xué)中，圖式階段思維導(dǎo)圖的展示與對比，一方面幫助學(xué)生綜合完善圖式知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面培養(yǎng)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、共同探究的學(xué)習(xí)品質(zhì)．

4 結(jié)語

高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)，揭示人們探索真理的艱辛與反復(fù)[12]．APOS理論指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)是概念本質(zhì)揭示、學(xué)生思維提升的教學(xué)，教師應(yīng)注重在“活動(dòng)”“過程”“對象”“圖式”四階段的概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和理性精神，使學(xué)生在知識(shí)探究、本質(zhì)突顯、思想滲透、方法獲得、技能提升的過程中，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的意義和價(jià)值．

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