基于隨機微分方程的易逝性高科技產品更新時機研究

魯 芳，王 芹，張 蓓

（1.中南林業科技大學智慧物流技術湖南省重點實驗室；2.中南林業科技大學物流與交通學院，湖南長沙 410004）

易逝性高科技產品的更新換代既可以使得高新技術生產企業保持優勢，又能夠用作獲得市場先機的手段。但高新技術生產企業換代過快會使消費者產生逆反心理，減弱消費者對易逝性高科技產品的忠誠度，從而影響了企業產品的銷售，無規則的更新換代更會加大這種效應。例如，在2019年iPhone11系列產品的推出，打破了蘋果公司史上季度最高出貨量，由于蘋果公司更新時機的問題，然而在2020年第一季度iPhone12的出貨量降幅達到10%。由此可見，企業要科學有效地規劃易逝性高科技產品的更新迭代。對于高新技術生產企業來說，投放于市場中易逝性高科技產品更新時機是企業進行科學更新迭代的關鍵一環，它對于易逝性高科技產品過時程度的把握和新產品的銷售具有重要影響，合適的更新時機可以平衡科技研發投入與產出的關系，更好地確定換代產品投放的大致時間，鞏固高新技術生產企業的市場份額，同時獲得長期利潤。因此，伴隨著互聯網信息技術的發展與成熟，高科技產品短暫的生命周期特性加之產品價值易逝的產品特性，高新技術生產企業要慎重考慮正在使用的易逝性高科技產品的更新時機問題，以搶占市場先機，避免更新換代過快而產生的“泛替代障礙”問題，減少高新技術生產企業經營的不確定性。

1 文獻述評

易逝性高科技產品的更新換代問題已引起國內外學者的高度關注。目前從易逝性與高新技術性的研究出發，在更新期、生命周期以及更新時機等3個方面細致分析，探討了更新換代策略、企業收益管理以及庫存策略等相關問題，例如王永朵等[1]和包寧等[2]基于更新期對易逝性高科技產品的模糊更新策略進行了研究，官振中等[3]從易逝性高科技產品更新期的角度研究企業收益最大化時易逝性高科技產品最優定價策略，徐飛[4]基于產品的更新期探討新產品的最佳庫存策略問題；Bass[5]則從易逝性高科技產品生命周期的角度進行研究，分析了易逝性高科技產品的特殊之處，提出了擴散和替代模型。劉靚晨等[6]和楊勇等[7]進一步研究易逝性高科技產品的成長期、衰退期的更新換代策略。G?k?e等[8]和徐杰等[9]基于電子產品生命周期角度就回收時機對回收率的影響以及回收價格的影響分別進行探討；在對易逝性高科技產品更新時機的研究方面，趙曉旻等[10]和Huang等[11]探討了在合適的時機推出新產品以避免過早推出造成自噬效應或過遲而延誤最佳銷售時機問題，但未進行定量分析新產品的最佳更新時機。雖然關于易逝性高科技產品更新換代問題的研究取得了一些顯著成果，但是對于更新時機問題的解決，有的學者只是從新產品的推出時機的角度進行研究，對于正在使用的易逝性高科技產品更新換代時機問題還有待進一步探究。

在人們的日常生活和科學研究中處處充滿了各種確定性或隨機性的現象。隨機微分方程作為研究隨機過程與預測分析中解決內外部隨機因素的一種方法，具有很強的應用價值，為時間以及成本的優化問題的解決提供了有效研究手段，如李志民等[12]、畢俊娜等[13]用隨機微分方程中的布朗運動刻畫資金以及市場不確定性因素的變化，為金融行業進行風險的控制提供了參考。Deng等[14]利用隨機微分方程構建了連續時間模型，該模型考慮了市場環境不確定性以及產品的價格，該研究為我國高新技術企業的發展和工程應用價值的實現提供了一定參考。以上研究表明最優控制理論或方法對于隨機問題的解決具有重要借鑒價值。

鑒于此，本文將隨機控制問題的解決方法與易逝性高科技產品的更新時機問題相結合，綜合考慮技術進步與價值易逝等外部因素對易逝性高科技產品更新時機的干擾情況，構建技術進步和價值易逝影響下易逝性高科技產品更新時機波動率模型，為企業對易逝性高科技產品更新時機進行決策分析時提供一定的參考。

2 問題描述與假設

對于高新技術生產企業來說，易逝性高科產品的更新時機不僅要考慮易逝性高科技產品的性能狀況，還要關注企業的技術進步情況以及價值的易逝程度等外部因素，通過綜合考慮產品的影響因素，才能更精準地預測易逝性高科技產品更新的最佳更新時機，做到科學有效地規劃易逝性高科技產品的更新換代。在時機問題的解決方法中，隨機微分方程廣泛應用于高新技術產品使用壽命的問題研究之中。對于時機的控制來說，傳統的微分方程只是解決易逝性高科技產品本身性能情況的更新時機，然而易逝性高科技產品的更新時機還受價值易逝性以及技術進步等外部因素的共同影響，并且技術與價值易逝程度對時機的影響具有不穩定性。與傳統的微分方程所構造的模型相比，隨機微分方程可以綜合考慮易逝性高科技產品性能狀況以及價值與技術的影響程度，做到更加準確地判斷更新時機。為此，本研究基于隨機微分方程來構建易逝性高科技產品更新時機模型預測易逝性高科技產品的最佳更新時機。此外，為了突出該方法的不同之處，先基于傳統微分方程來解決易逝性高科技產品的時機問題，然后利用隨機過程來解決外部因素對易逝性高科技產品更新時機的影響。最后得到基于隨機微分方程的易逝性高科技產品更新時機模型。基于對上述問題的分析，此更新問題解決的具體步驟如下：

（1）第一步是基于高新技術生產企業對一般產品更新換代時機問題的考慮，先集中解決不考慮技術進步與價值易逝等外部因素干擾下的易逝性高科技產品使用壽命。在產品更新換代問題的解決中，由于威布爾分布能夠很好地反映產品的狀態以及使用時間的情況。由此，易逝性高科技產品壽命問題的解決使用威布爾分布和多項式逼近來構建產品使用壽命基準模型。

（2）第二步將易逝性高科技產品的特性融入產品使用壽命基準模型之中，分析技術性與易逝性等外部因素對易逝性高科技產品更新時機的影響。在此，本文通過將隨機微分方程布朗運動引入到易逝性高科技產品更新時機模型之中，利用隨機過程構建外部因素影響下的易逝性高科技產品更新時機波動率模型。由于技術研發具有高度的不確定性，使得易逝性高科技產品的技術進步程度以及價值易逝程度具有隨機性，技術性與價值易逝性都是外部因素對更新時機的影響。在此為了簡化模型，對易逝性高科技產品更新時機的外部影響強度記為σ，即易逝性高科技產品更新時機波動的強度系數。綜合上述兩部分得到最終易逝性高科技產品更新時機模型。基于研究的情景，本文作如下假設：

假設1：易逝性高科技產品的性能狀況基于易逝性高科技產品維護費用進行判斷。

假設2：借鑒Deng等人[14]研究，技術進步水平和價值易逝性程度對更新時機的影響程度系數認為是在一個均值點附近隨機波動，且波動始終是獨立和穩定的。

假設4：技術性和價值易逝性對易逝性高科技產品更新時機的影響期望為零。

3 基于隨機微分方程的易逝性高科技產品更新時機模型構建與分析

3.1 易逝性高科技產品更新時機模型構建

3.2 易逝性高科技產品更新時機模型求解與分析

4 案例分析

4.1 案例背景

近年來，蘋果公司在高新技術行業處于領先地位。蘋果公司的產品科技含量高、種類繁多以及更新換代頻繁，與本研究的高新技術生產企業背景相符。因此，從數據的可獲得性以及實際問題出發，以iPad 9內存256 GB為研究對象，利用本文所構建的易逝性高科技產品更新時機模型對更新時機進行研究以驗證模型的應用價值。

4.2 數據來源

采購價格來源于蘋果官方網站（https://www.apple.com/shop/iPad），購置后維護費用來源于此網站（http://www.squaretrade.com/pages/iPadreliability-1109），經計算后所得到相關數據如下表1所示。

表1 iPad 9性能衰退值

（1）利用MATLAB對上述收集的數據進行仿真計算，求得參數值為同時，為了避免外部因素對易逝性高科技產品更新時機結果的影響，現將波動強度系數賦值為 ，下面將對不同波動強度對更新時機的影響進行具體分析，將以上數據代入易逝性高科技產品更新時機模型式子（5）從而求得 iPad 9更新時機模型為：

同樣地，將數據帶入性能可靠度函數式子（8）可進一步求得：

（2）借助MATLAB對式（12）和（13）仿真分析，得到結果如下圖1所示。

圖1 iPad 9的性能可靠度曲線

（3）從圖1中的性能可靠度曲線可以看出，當性能可靠度閾值取0.92時，此時iPad 9的使用壽命為2～3年，在此之后iPad 9的性能可靠度出現了急劇下降。基于此可以判定當iPad 9性能可靠度閾值低于0.92時，可考慮更換新產品。

（4）為了更清晰地分析高技術性與價值易逝性等外部因素對易逝性高科技產品更新時機的影響關系，用MATLAB仿真分析外部因素對易逝性高科技產品更新時機的影響情況，仿真結果如下圖2所示。

圖2 外部因素對iPad 9更新時機的影響

4.3 案例分析結果

根據上述案 例分析得到如下結果:

（1）根據圖中曲線可以看出，當閾值為0.92時iPad 9的可靠度發生顯著變化，基于此可得到iPad 9的最佳更新時機為2023—2024年，蘋果公司可選擇此時推出新產品以獲得市場份額。

（2）在前2年的使用時間內，iPad 9的性能狀況沒有顯著變化，此研究結果表明，iPad 9的更新不宜太頻繁；否則，會使得過度更新的情況發生而導致企業的利潤受損。

（3）從圖1中曲線可以看出，iPad 9性能可靠度的變化不是一條光滑曲線，而是一條上下波動的曲線，這充分反映了外部因素對iPad 9更新時機的影響波動情況，顯然影響程度取決于波動系數的大小，企業可根據新一代產品的創新程度來判斷易逝性高科技次產品的更新時機。

（4）從圖2可以看出，外部因素影響下的更新時機波動強度系數σ是一個關于時間的遞減函數。同時，外部因素的影響程度越大，產品性能衰退的速度越快，進而導致iPad 9產品的更新時機會越提前，這與式（11）易逝性高科技產品更新時機波動的強度系數σ與易逝性高科技產品性能狀況變化所反映的關系相一致。

5 結論與展望

本文 以易逝性高科技產品為研究對象，從高新技術生產企業的角度首先建立了易逝性高科技產品使用壽命模型，而后在此基礎上建立考慮外部因素影響下的易逝性高科技產品更新時機波動率模型，最終確定了易逝性高科技產品更新時機模型，該模型準確地刻畫了易逝性高科技產品性能狀況以及時間的變化關系，可為企業在解決易逝性高科技產品的更新時機問題時提供科學的思路與方法。對于高新技術生產企業來說，易逝性高科技產品何時更換的問題，回歸本源還是取決于易逝性高科技產品的性能狀況以及外部因素的干擾程度情況。這一研究結果表明，企業可在合適的時機進行更新產品的更新換代以充分利用企業自己的資源和技術優勢，如企業的新產品創新程度較大且新產品的價格又較低時，可盡早推出新產品加快易逝性高科技產品更新換代的步伐，以更換正在使用的產品來獲取收益，同時保持產品在市場上的技術優勢。此外，研究易逝性高科技產品更新時機問題不僅豐富了電子電器產品的生命周期理論，還有 助 于企業更加準確地了解消費者的需求，同時獲得市場競爭優勢，搶占市場先機。本文研究的不足之處在于對更新時機問題的影響因素考慮不夠全面。現實生活中，競爭環境日益激烈，可進一步探究高新技術企業相互競爭時的更新時機。此外，本研究在構建模型時未考慮政府的市場監管行為對更新時機的影響，下一步可考慮政府補貼或懲罰展開更深入的探究，更好地揭示經濟社會中的現象。