曲梁緩沖器的大變形及變形能的橢圓函數解

霍銀磊 ， 裴學勝， 李夢瑤

(1. 河南科技大學 藝術與設計學院， 洛陽 471000； 2. 河南科技大學 工業設計中心， 洛陽 471000)

隨著“雙碳”目標的提出，符合現代綠色環保要求又具有良好緩沖特性的輕質吸能材料或結構得到航空工業、機械工業以及物流行業的廣泛關注。金屬材料即使在有限或大的變形情況下仍然具有良好的回彈性，能夠克服植物纖維回彈性差[1]的問題，被越來越多的應用于緩沖防震系統，如彈簧。但簡單的彈簧系統一般具有線性變形特征，不具備泡沫塑料及纖維類結構材料等傳統緩沖材料的幾乎恒力的變形階段(平臺應力區)，對沖擊能量的吸收能力較差。然而，特定形狀的金屬結構件卻可能存在恒力變形階段，例如：Pham等[2]曾利用曲梁設計了一個可在區間內輸出恒力的恒力多穩態機構，并將此機構用于系統的過載保護。類似的，學者對曲梁的振動問題研究較多：例如準零剛度隔振器[3-5]，曲梁周期結構隔振器[6]，平面拱的振動問題[7]等。松田技術研究所[8]基于曲梁開發了用于大型精密儀器運輸減震的金屬球狀減震器，其試驗結果表明減震器能實現98.5%的減震效果。但上述研究沒有涉及到對其大變形及沖擊能量吸收特性的理論或者試驗分析。

此外，學者們很早就開始將橢圓積分和橢圓函數理論用于梁的大變形問題的分析，Born[9]于1906年首次使用橢圓積分對懸臂梁的后屈曲平衡構型進行試驗理論研究。21世紀初，Howell[10]在其著作中對柔順機構的分析和設計方法進行了詳細的回顧，給出了許多利用橢圓積分分析的例子。Kimball等[11]利用橢圓積分求解懸臂梁在端部力及力矩作用下的大撓度的Bernoulli-Euler梁方程，對梁的拐點存在條件及末端撓度進行了分析，分別給出了懸臂梁在純彎矩載荷、純力載荷、以及力和彎矩同時加載情況下的橢圓積分解。Zakharov等[12]研究了不同固定條件和末端靜載下細桿非線性彎曲問題，給出了彈性細桿的橢圓函數精確解；隨后，Zakharov等[13]又研究了末端隨從力作用下細桿的非線性彎曲問題，給出了任意角度隨從力作用下細桿的雅可比橢圓函數解，指出其撓度取決于由力的大小和斜率以及解的模式決定的橢圓模量。Levyakov等[14]以點載荷作用下的桿和圓環結構為例研究了桿件(包括懸臂)屈曲后平衡狀態的穩定性，并在討論中使用了Jacobi橢圓函數解。Batista[15]給出了自由端受到力矩和傾斜力作用的懸臂直梁的Jacobi橢圓函數解，詳細討論了懸臂梁可能的平衡形狀。烏榕江[16]引入了梁的軸向變形建立了更完整的懸臂梁平面大撓度變形的組合數學模型，運用橢圓函數的方法研究了懸臂梁的平面大撓度變形問題。近些年，一些學者還研究了固定-導向柔順梁的橢圓積分解：Holst等[17]用橢圓積分建立了梁的彎曲模型，研究了柔性機構中固定導向梁的撓度和屈曲問題。張愛梅[18]基于Bernoulli-Euler梁理論，通過引入表示拐點個數的變量以及表示彎矩方向的參數，得到了大撓度梁的完備橢圓積分解，該完備解可用來求解任意拐點數的變形以及各種末端載荷情況的細長梁變形形態。

以上研究主要針對懸臂直梁，針對曲梁的分析較少，Lin等[19-21]分別利用拉格朗日和歐拉描述分析了層合曲梁的有限變形，分給出了圓曲線和螺旋曲線層合梁的解析解，其在半圓曲梁大變形分析中利用了橢圓積分的思想。本文針對兩端固支的曲梁結構緩沖器，考慮壓力作用下曲梁的大變形特性，基于Euler-Bernoulli梁理論建立曲梁的大變形平衡方程，運用橢圓函數的知識求解懸臂梁的大變形問題，并分析端部固支的曲梁球形緩沖結構發生大變形時的位形及能量吸收特性。

1 大變形曲梁的一般平衡方程

考慮如圖1(a)所示的球形曲梁結構緩沖器，位于上下兩壓板間的緩沖器初始高度為H。組成緩沖器的單根曲梁如圖1(b)所示，兩端固支的圓形曲梁截面厚度t，寬度b，安裝端初始截面角為αL，曲梁在豎直外力F作用下發生彎曲變形，變形后緩沖器高度為h。

(a) 球形減震器

對于兩端固支曲梁，考慮曲梁變形的對稱性，可知曲梁軸線中點p0所在橫截面始終垂直于y軸。取其一半作為對象進行研究，以p0點為原點建立浮動坐標系xoy，曲梁軸線上任意點p的曲線坐標為s，以α∈(0,αL),θ∈(0,αL)表示變形前后p處軸線切向與y軸的夾角，曲梁變形前后的受力及變形情況如圖2所示。

圖2 一般曲梁的變形分析

則p處曲梁單元的長度可表示為

ds=r(θ)dθ=Rdα

(1)

式中，R,r分別為點p處變形前后的曲率半徑。

根據圖2可知曲梁單元的截面軸力N、剪力Q及彎矩M分別為

(2)

式中：EI為曲梁的抗彎剛度；κ為曲梁變形后的曲率。

根據Euler-Bernoulli梁理論，有曲梁變形后的幾何關系

(3)

浮動坐標系xoy中的點(x,y)在固定坐標系XOY中表示為

X=x-xL，Y=y-yL

(4)

式中，(xL,yL)為曲梁固定端在浮動坐標系中的位置。

由式(2)、式(3)可得曲梁平衡方程

(5)

式(5)有通解

(6)

式中：sn和cn為雅可比橢圓正弦和余弦；|k|<1為橢圓函數模；D為積分常數。

一般固支曲梁的邊界條件

θ(0)=0，θ(αL)=αL

(7)

2 方程的求解與討論

2.1 不考慮壓板的作用

不考慮壓板的作用，壓力始終作用于曲梁端部，考慮邊界條件θ(0)=0，利用式(6)可得D=0，即

(8)

考慮邊界條件θ(αL)=αL，利用式(8)可得

n=0,1

(9)

式中：n為θ在α∈(0,αL)上的極值點數目；K(k)為第二類完全橢圓積分；F(φ,k)為第一類非完全橢圓積分。

當θ恰好有極值點時，即θ在曲梁末端取得極值，有

(10)

聯立式 (10)可得

(11)

代入式(9)可得θ恰好有極值點時對應的臨界外力ηc1

(12)

當η>ηc1時，變形后截面角θ在α∈(0,αL)上有極值，令極值點處變形前的截面角為αc，代入式(8)可得

(13)

極值點對應的未變形的截面角αc可由式(14)求得

(14)

對于給定的壓力η，利用式(9)可得到對應的k值,進而由式(8)得到任意點變形后的截面角θ。

進一步由式(8)可得

(15)

式中，dn為雅可比橢圓δ函數。

將式(15)代入式(3)可得梁上任意點的位置

(16)

式中：am為雅克比橢圓幅值函數；E(φ,k)為第二類非完全橢圓積分。

由式(8)可得

(17)

(a) 變形后曲梁位形

2.2 壓板間曲梁的大變形分析

考慮壓板的作用，始終有Y≥0，當壓力η較小時，曲梁與壓板僅有一個接觸點(端點)，壓力作用在曲梁的末端，其變形方式和2.1節的一般情況相同。

隨著壓力η的增大，曲梁變形隨之增加；當η=ηc2時，曲梁中部與壓板剛好接觸于A點, 如圖4所示。

(a)

(18)

此時兩個接觸點A和O等高(即：yA=yL)，有

(19)

聯立式(18)、式(19)，則可求得：ηc2，k和α1。

隨著壓力η的進一步增大，當η>ηc2時，η1>0，可對曲梁進行分段研究。

對于oA段曲梁

有邊界條件

(20)

由式(6)可得oA段曲梁變形后的截面角及截面角的變化率

(21)

考慮邊界條件式(20)，利用式(21)可得

(22)

對于AO段

有邊界條件

(23)

由式(6)可得AO段曲梁變形后的截面角及其變化率

(24)

式中，η2=η1-η。

考慮邊界條件式(23)，θ在(α1,αL)上有極值。利用式(24)可得

(25)

再由yA=yL，可得

{2E[am(η2α+D2),k2]-F[am(η2α+D2),

(26)

對于給定的壓力，利用式(22)、式(25)、式(26)可解得k2，η2，k1，α1和D2，進而由式(21)、式(24)解得曲梁上任意點變形后的截面角θ。

令極值點處的未變形截面角為αc，有

(27)

利用式(27)可得截面角αc

(28)

由式(24)可得

am(η2α+D2,k2)=

(29)

進一步的可得梁上任意點的位置

(30)

(a) 變形后曲梁位形

當ηc1≤η<ηc2時，壓板對曲梁壓力的作用點仍然位于曲梁端部，變形后曲梁的截面角θ有極值，θ隨著α的增大先增大而后減小至αL；對于相對較大的作用力η，變形后截面角θ的極值也越大，取得極值的α越小。

隨著壓力η的進一步增大，當η>ηc2時，壓板對曲梁壓力的作用點離開曲梁端部向中部移動，此時壓板與曲梁有兩個接觸點，變形后曲梁的截面角θ有極值；對于相對較大的作用力η，變形后截面角θ的極值也越小，取得極值的α越小。

(a) 變形后曲梁位形

2.3 曲梁結構的變形及緩沖系數

曲梁緩沖器在受到外界沖擊時，如果不考慮機械能的損失，全部沖擊能量都轉化為曲梁的變形能。因此沖擊過程中曲梁結構能夠吸收的能量可由其彎曲變形能來描述，對于所研究的半段曲梁的彎曲變形能U可表示為

(31)

利用式(3)，不同壓力η作用下所討論的半段曲梁的彎曲變形能可分別寫為

當η≤ηc2時

(32)

當η>ηc2時

η2E[am(η2αL+D2),k2]-

η2E[am(η2α1+D2),k2]}

(33)

沖擊過程中作用在曲梁緩沖器上的沖擊壓力Ftol及在此沖擊力下曲梁緩沖器的變形量v(上壓板位移)及變形能Utol可分別表示為

(34)

式中：m為組成曲梁緩沖器的曲梁數目；F為作用于單根曲梁上的沖擊力。

對于高度為H的曲梁緩沖器，借鑒對實體材料的能量吸收評價方法[24]，曲梁緩沖器的緩沖系數可表示為

(35)

由式(35)可見緩沖器的緩沖系數與曲梁數量m無關，僅取決于曲梁的初始高度H和曲率半徑R(或初始安裝角αL)以及作用在單根曲梁上的外力η。

具有不同初始安裝角αL的固支曲梁緩沖器的力-變形曲線及緩沖系數曲線，如圖7所示。可見曲梁緩沖器受壓時體現出類似于實體緩沖材料的明顯的非線性變形特性，力-變形曲線雖然沒有嚴格的恒力變形階段，但也具有較為明顯的平臺階段；對于相同的壓力η，曲梁末端初始安裝角αL越小，緩沖器的變形也越小；隨著沖擊壓力η的增大緩沖系數C先是逐漸減小隨后開始逐漸增大，有明顯的極小值Cmin出現。工程上通常利用緩沖系數的極小值Cmin及其對應的沖擊力η作為緩沖設計的參考依據。對于末端初始安裝角αL較小的曲梁，緩沖系數的極小值Cmin也較小，意味著緩沖器的總體緩沖性能越好；但由于C取得極小值時對應的壓力η較大，表明緩沖器需在較大壓力下才具有較好的緩沖性能，意味著其更適用于重型產品的緩沖設計。

(a) 力-位移曲線

3 結 論

本文針對固支曲梁結構緩沖裝置，建立了以曲率半徑和截面角為基本參數的曲梁大變形平衡方程，并對其進行了分析，主要結論如下：

(1) 給出了一般固支曲梁在端部豎直外力作用下的平衡位形及截面角的Jacobi橢圓函數解析解，并與打靶法數值解進行了對比，解析解與數值解吻合較好。

(2) 在壓板壓力作用下，曲梁的變形情況較為復雜。隨著壓力的增大，緩沖器變形逐漸增大，曲梁中部可能與壓板接觸，曲梁由一點受力變為兩點受力；給出了平板壓力作用下曲梁的平衡位形及截面角的Jacobi橢圓函數解析解，其力-變形曲線具有明顯的非線性特性。

(3) 給出了平板壓力作用下固支曲梁變形能的Jacobi橢圓函數解。隨著初始末端安裝角的增大，緩沖器的變形變得容易，在相同的平板壓力作用下，結構的變形也越大；其緩沖系數曲線在較小外力下取到極值，相對應的Cmin也越大。