服役條件下提速地鐵車輛的橫向運動穩定性研究

吳俊漢， 文永蓬,3， 宗志祥， 周 月， 董昊亮

(1.上海工程技術大學 城市軌道交通學院,上海 201620； 2.上海市軌道交通振動與噪聲控制技術工程研究中心,上海 201620； 3.西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室,成都 610031；4.上海地鐵維護保障有限公司車輛分公司,上海 200235)

隨著我國經濟的高速發展，地鐵覆蓋地域不斷擴張，地鐵車輛提速成為必然趨勢，更高的運營速度成為人們關注的重點[1]。在服役條件下，隨著輪軌磨損的加劇，會導致車輛的橫向運動穩定性裕量不足，對低速地鐵車輛可以通過日常的輪軌鏇修來維持正常運行，但由于地鐵車輛本構的局限，一旦進行提速，可能會出現劇烈的橫向振動，影響行車安全性和舒適性。現役地鐵車輛由于成本問題不可能完全放棄，因此，服役條件下地鐵車輛提速可能產生的橫向運動穩定性問題引起了學者的廣泛關注[2]。

近年來，國內外學者對軌道車輛的橫向運動穩定性進行了大量的研究。蛇行運動是軌道車輛的特有現象，蛇行運動臨界速度是衡量車輛橫向運動穩定性的重要指標[3]。Zhang等[4]建立了二自由度輪對橫向動力學模型，給出了輪對系統的分岔圖、相圖、龐加萊截面和李雅普諾夫指數，并研究了車輪踏面錐度對Hopf分岔類型的影響。Yan等[5-6]建立了轉向架橫向模型，研究了等效錐度的變化對線性和非線性臨界速度的影響。Dong等[7]建立了半車橫向模型，發現了車輛系統存在亞臨界和超臨界Hopf分岔，并通過根軌跡法求解了Hopf分岔點。Zhang等[8]建立了完整的17自由度高速鐵路車輛橫向模型，利用特征值分析、分岔圖和第一Lyapunov系數對蛇行運動穩定性進行了研究。姜培斌等[9]建立了高速列車剛柔耦合車輛模型，探討了車輛系統與特定波長的軌道不平順激勵發生的共振特性。Zeng等[10]研究了車輛在直線和曲線軌道上的蛇行穩定性，并分析了曲線軌道半徑和軌道超高對車輛臨界速度的影響。李凡松等[11]針對動車組車輛偶然出現的抖車現象，發現動車組在服役過程中，車輪與鋼軌匹配關系出現異常，導致輪對等效錐度增大，使得轉向架蛇行運動頻率與車體一階菱形模態頻率發生共振，提出了可以通過打磨鋼軌和鏇修車輪來改善輪軌匹配關系或者提高車體的一階菱形模態頻率，來提升動車組車體對磨耗車輪和異常線路的適應性。宮島等[12]通過長期跟蹤測試發現，服役條件下的車輪等效錐度過大是車輛發生車體抖振的原因，提出了基于正交試驗的多目標車輛系統懸掛參數優化方法，對懸掛參數進行優化設計，提高了車輛運動穩定性及運行平穩性。滕萬秀等[13]仿真研究了高寒動車組在-40 ℃低溫環境下的動力學性能，服役環境下懸掛參數的改變會使轉向架與車體發生共振，導致車輛發生橫向晃動。張衛華等[14]研究了車輛結構特征和系統參數對高速列車運動穩定性的影響，考慮系統參數的非線性影響和服役特性，將臨界失穩速度為設計目標，給出了車體質量和二系懸掛剛度及阻尼、軸箱縱橫向定位剛度等懸掛參數的選擇范圍，從而實現了高速列車的運動穩定性的提升。李響等[15]分別研究了不同等效錐度的車輪踏面以及懸掛參數的變化對車輛動力學性能的影響，優化計算得出了一組適用于多種高速車輛的局部參數。綜上，上述研究中分析了等效錐度變化對車輛橫向運動穩定性的影響，但是對服役條件下車輪磨損引起的橫向動力學問題重視不足。

為此，論文建立包含抗蛇行減振器的地鐵車輛橫向動力學模型，通過調研上海某地鐵線路的車輪磨損情況，分析服役條件下車輪半徑和等效錐度隨運營里程的變化規律，獲取服役條件下地鐵車輛的橫向振動特性，研究安裝抗蛇行減振器對服役條件下提速地鐵車輛橫向運動穩定性的提升。

1 含抗蛇行減振器的地鐵橫向模型及驗證

論文建立的地鐵車輛橫向動力學模型[16]，包括1個車體、2個轉向架、4個輪對、連接輪對和轉向架的一系懸掛裝置、連接車體和轉向架的二系懸掛裝置、抗側滾扭桿以及抗蛇行減振器。車輛系統參數及含義如表1所示。

表1 某地鐵車輛橫向動力學模型的參數

假設車體和轉向架之間的受力可簡化為由二系懸掛裝置提供的縱向、橫向和垂向的二系懸掛力、抗蛇行減振器提供的縱向力以及抗側滾扭桿提供的扭矩，受力情況如圖1所示。車體運動包括橫移yc、搖頭Ψc和側滾φc，其中橫移和側滾是耦合運動，即滾擺運動，共計3個自由度。根據車體受力關系，得到車體的振動微分方程，分別為

圖1 車體的受力示意圖

(1)

(Fysl2+Fysr2-Fysl1-Fysr1)Lc+

(Fyawl1+Fyawl2-Fyawr1-Fyawr2)Wyaw

(2)

(Fysl1+Fysr1+Fysl2+Fysr2)H1-Tsφ2

(3)

式中:下標x、y、z為縱向、橫向和垂向；下標s為二系懸掛；下標yaw為抗蛇行減振器；下標l，r分別為左側和右側；Tsφ1，Tsφ2分別為1位端、2位端轉向架提供的抗側滾扭桿力矩。

車體與轉向架之間的二系懸掛力及抗側滾扭桿力矩為

(4)

式中，j為j位端轉向架(j=1,2)。

將抗蛇行減振器描述為經典的Maxwell模型，可得到左、右側抗蛇行減振器彈簧力為

Fyaw(lj,rj)=Kyaw(xyawlj±ΨbjWyaw)

(5)

式中：Kyaw為抗蛇行減振器的剛度；xyaw為抗蛇行減振器阻尼活塞的位移。

左、右側抗蛇行減振器阻尼力為

(6)

式中，Cyaw為抗蛇行減振器的結構阻尼。

因此，左、右側抗蛇行減振器的平衡方程為

(7)

構架除了會受到來自車體的反作用力外，還會受到來自構架與輪對之間的一系懸掛力，受力如圖2所示。同理，構架運動包括橫移ybj(j=1,2)、搖頭Ψbj(j=1,2)、側滾φbj(j=1,2)，共計6自由度。根據構架的受力關系，可得到構架的振動微分方程，分別為

圖2 構架的受力示意圖

Fyslj+Fysrj-Mbgφbj

(8)

(Fypl(2j)+Fypr(2j)-Fypl(2j-1)-Fypr(2j-1))Lb+

(Fxpl(2j-1)+Fxpl(2j)-Fxpr(2j-1)-Fxpr(2j))Wp+

Wyaw(Fyawrj-Fyawlj)

(9)

(Fzpr(2j-1)+Fzpr(2j)-Fzpl(2j-1)-Fzpl(2j-1))Wp+

(Fypl(2j-1)+Fypl(2j)+Fypr(2j-1)+Fypr(2j))H3

(10)

式中，下標p為一系懸掛。

構架與輪對之間的一系懸掛力為

(11)

式中，i為第i軸輪對，當j=1時，i=1,2，當j=2時，i=3,4。

輪對除了會受到來自構架的反作用力外，還會受到輪軌之間的蠕滑力、蠕滑力矩和輪軌法向力，受力如圖3所示。由于車輪踏面具有錐度，當輪對發生橫移時，輪對左右滾動圓半徑不同會使輪對產生一個側滾角，該側滾角可通過輪對的橫移量線性表示，故不單獨考慮輪對的側滾，僅考慮輪對的橫移ywi(i=1,2,3,4)、搖頭Ψwi(i=1,2,3,4)，共計8自由度。根據輪對的受力關系，可得到輪對的振動微分方程，分別為

圖3 輪對的受力示意圖

Fypli+Fypri-Mwgφwi-FRi

(12)

(Fcxri-Fcxli)Lw+(Fxpri-Fxpli)Wp+Tczri

(13)

式中:Fcx，Fcy，Tcz分別為縱向蠕滑力，橫向蠕滑力和自旋蠕滑力矩；Fn為輪軌法向力；FRi為輪緣力。

根據Kalker線性蠕滑理論[18-19]，輪對所受的蠕滑力以及蠕滑力矩可以表示為

(14)

式中：f11,f22,f23,f33分別為縱向、橫向、橫向自旋和自旋蠕滑系數；ξx(l,r)，ξy(l,r)，ξsp(l,r)分別為縱向、橫向、自旋蠕滑率，考慮輪對橫移和搖頭的情況下可表示為

(15)

式中:λ為等效錐度;?分別為左側和右側；v為車輛行駛速度；δ為輪軌接觸角。

考慮輪對為錐形踏面時，當輪對發生橫移時，輪軌法向力會產生一個橫向力來抑制輪對的橫移運動，可以表示為

(16)

輪對橫移超過輪緣-鋼軌間隙時，輪對在會受到輪軌碰撞產生的輪緣力，可以分別表示為

(17)

式中:K0為輪緣和鋼軌接觸剛度，取K0=1.617×107N/m；Δ為輪緣-鋼軌間隙，取Δ=9.23 mm。

對于17自由度橫向動力學模型，可以將振動微分方程統一表達為如下的矩陣形式

(18)

式中:M,C,K分別為地鐵車輛系統的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，均為17階方陣；X為地鐵車輛系統的自由度向量，為17×1階矩陣。

(19)

式中:A為地鐵車輛系統的雅可比矩陣，是與車速v相關的34階方陣;E為單位矩陣。

根據運動穩定性理論，判斷車輛系統是否穩定，可以通過系統的雅可比矩陣特征值實部的正負號來判斷。計算系統雅可比矩陣的特征值，使

|λ(v)E-A(v)|=0

(20)

式中，λ(v)為雅可比矩陣的特征值。

若存在v，使得雅可比矩陣最大特征值實部滿足

Reλ(v)≥0

(21)

那么，最大特征值實部為零的速度為蛇行臨界速度。

根據表1參數，采用特征值法計算蛇行臨界速度，如圖4所示。圖4中，最大特征值實部小于零時系統穩定，最大特征值實部大于零則系統失穩，可見，蛇行臨界速度約為124 km/h。

圖4 特征值法求解臨界速度

為了驗證該臨界速度的可靠性，根據表1參數建立了基于SIMPACK軟件的地鐵車輛模型，如圖5所示。

圖5 基于SIMPACK軟件的地鐵車輛動力學模型

采用根軌跡法計算車輛系統的阻尼比，可以求解地鐵車輛的臨界速度，如圖6所示。

由圖6可知，地鐵車輛的蛇行模態對應系統的最小阻尼比，當最小阻尼比小于零時，車輛系統會發生蛇行失穩，即該車輛的臨界速度為131.5 km/h，與特征值法求解的臨界速度誤差為5.7%，原因可能是SIMPACK建立的是空間模型，與論文建立的橫向模型存在可能誤差，但從結果來看，兩者求解的臨界速度是接近的。

(a) 蛇行模態分布

通過論文模型進行數值積分，求解車輛橫向動力學方程得到的車速與輪對橫移的分岔圖，如圖7所示。由圖7可知，車速在135 km/h前，輪對橫移幅值趨近于0，超過該速度后，輪對橫移幅值發生陡增，因此，135 km/h為數值法求得的蛇行運動臨界速度。該臨界速度與特征值法求得的臨界速度誤差8.1%，與SIMPACK求解的臨界速度誤差僅2.6%，說明數值積分求得的動力學響應是可靠的，可以用于進一步的仿真分析。

圖7 車速-輪對橫移分岔圖

綜上，通過特征值法、根軌跡法求解地鐵車輛的臨界速度，其結果與論文模型的數值模擬結果基本一致，從而證明了論文模型的正確性。

2 地鐵車輪磨損調研

地鐵車輪磨損是一個逐步累積的隨機過程[20]。車輪在磨損過程中不僅會改變車輪半徑，往往還伴隨著等效錐度的變化，具有動態時變性和隨機性[21]。通過對上海某線路車輛進行了長期的調研，得到了車輪磨損隨運營里程變化的實際數據。不同車輛各軸車輪半徑隨運營里程增加的變化圖,如圖8所示。

(a) 車輛1

由圖8可知:服役條件下，車輪半徑并非隨運營里程的增加而線性減小，同一車輛各車輪半徑演化在短運營里程內存在一定的相似性；不同車輛之間存在車輪磨損前期車輪半徑磨損速度較快，車輪磨損后期車輪半徑磨損速度減慢，原因可能是磨耗型踏面有利于減緩車輪半徑的磨耗。總體來看，輪對的半徑會隨著運營里程的增加而不斷減小。

由于地鐵車輛通常采用的是錐形車輪，導致踏面各位置的受力差異較大，使得踏面出現不均勻的磨耗，導致車輪錐度發生改變。考慮輪對橫移量3 mm處的等效錐度隨運營里程增加的變化，如圖9所示。由圖9可知，當運營里程較小時，等效錐度分布在0.05附近，等效錐度隨運營里程的增加呈上升的趨勢。調研發現等效錐度存在個別異常值，造成的原因可能是計算等效錐度需準確測量車輪踏面、軌面、左右車輪半徑、輪對內側距、軌距和軌底坡等尺寸存在人工測量誤差[22]；等效錐度偏大值可能是地鐵車輛在維護周期內，輪軌關系惡化導致。

圖9 等效錐度隨運營里程的變化

在服役過程中車輪磨損導致的車輪半徑減小和等效錐度增大，會對地鐵車輛的橫向運動穩定性產生一定影響，下面將具體分析。

3 車輪磨損對車輛橫向運動穩定性的影響

3.1 車輪半徑對車輛橫向運動穩定性的影響

隨著運營里程的增加，車輪磨損日益加劇，導致車輪半徑減小。為探究車輪磨損對車輛運動穩定性的影響，論文給出了新舊車輪在不同速度下的輪對橫移相圖，如圖10所示。

(a) 135 km/h

當車速135 km/h時的新舊車輪橫移相圖，見圖10(a)，該速度為新車輪的臨界速度，故新車輪的橫移幅值收斂于原點附近，而磨損車輪迅速發散形成了穩定的極限環，說明此時磨損車輪已經發生了周期性的蛇行運動，可以初步判斷，磨損車輪相較于新車輪具有更低的臨界速度，更易導致車輛失穩。當車速140 km/h時的新舊車輪橫移相圖，見圖10(b)，已經超過了新車輪的臨界速度，可以明顯看出，新舊車輪都形成了穩定的極限環，但磨損車輪形成的極限環無論從橫移幅值還是橫移速度，均大于新車輪，即該速度下磨損車輪發生更劇烈的蛇行運動。因此，服役條件下車輪半徑的減小，會降低車輛的橫向運動穩定性。

進一步地，研究了隨車輪半徑變化的車速-輪對橫移分岔，獲得了輪對橫移幅值與車速、車輪半徑的關系，如圖11所示。

圖11 輪對橫移幅值隨車速、車輪半徑變化圖

由圖11可知，圖像呈階梯狀分布，隨著車輪半徑的減小，輪對橫移幅值更快達到峰值，說明磨損后的輪對在更低的速度下就會發生蛇行失穩，這意味著車輪半徑減小會降低地鐵車輛的臨界速度，影響車輛的橫向運動穩定性。

3.2 等效錐度對車輛橫向運動穩定性的影響

等效錐度作為衡量輪軌接觸關系的重要指標，與車輛的橫向運動穩定性密切相關[23]。圖12為隨等效錐度變化的車速-輪對橫移分岔圖。

圖12 輪對橫移幅值隨車速、等效錐度變化圖

由圖12可知:當等效錐度較小時，車輛具有較高的臨界速度；隨著等效錐度的增大，輪對橫移幅值更容易達到峰值，車輛的臨界速度降低；同一速度下，隨著等效錐度的增大，輪對的橫移幅值逐漸增大，說明等效錐度的增大不僅會降低臨界速度，同時還會加劇蛇行運動，不利于行車安全。

對于沒有安裝抗蛇行減振器的地鐵車輛，只能通過鏇輪和打磨鋼軌的方式來降低等效錐度。雖然低等效錐度下，車輛具有較高的臨界速度，但等效錐度也不是越小越好。例如當等效錐度為0.01、車速為180 km/h時，懸掛參數異常匹配使車輛系統發生了一次蛇行運動，如圖13所示。車輛的蛇行運動不再僅僅表現為轉向架失穩的二次蛇行運動，而主要體現在車體失穩的一次蛇行運動。

圖13 一次蛇行下的輪對、構架和車體橫移圖

由圖13可知：從理論上車體的橫移幅值甚至達到了40 mm，遠遠大于輪對、構架的橫移幅值，嚴重影響了旅客的乘坐舒適性；輪對、構架橫移相圖形成了半徑為10 mm左右的極限環，而車體橫移相圖形成了半徑為40 mm左右的極限環，說明該速度下，輪對，轉向架和車體均發生了周期性的蛇行運動。

因此，在車輪鏇修和鋼軌打磨的過程中，需要嚴格管理等效錐度和車輪半徑。針對現役低速地鐵車輛，在車輪隨機磨損不可避免減小的情況下，適當控制等效錐度來提高臨界速度，能使車輛保持良好的橫向運動穩定性。此外，服役條件下，一旦地鐵提速，即使是小等效錐度條件，也可能帶來的車輛橫向運動穩定性裕量不足的問題，因此，下面采用抗蛇行減振器提高地鐵車輛的橫向運動穩定性。

4 抗蛇行減振器提高地鐵車輛的橫向穩定性

4.1 抗蛇行減振器參數的選擇

由3.1節可知，車輪半徑越小、等效錐度越大，車輛的臨界速度越小。因此，在低等效錐度下地鐵車輛的橫向運動穩定性往往具有較大的安全裕量。抗蛇行減振器參數的選取應充分考慮車輪磨損帶來的不利影響。因而，研究針對尤其可能引起橫向振動失穩的磨損到限車輪和高等效錐度情況，取車輪磨損到限半徑為385 mm，等效錐度為0.3。

根據現有研究[24]，大等效錐度下應匹配較小的抗蛇行減振器阻尼，取Cyaw=0.3 MN·s/m。同時，研究表明，不僅抗蛇行減振器阻尼能夠起到耗散車輛蛇行運動能量的作用，而且抗蛇行減振器剛度對車輛的橫向運動穩定性也有著顯著的影響[25-26]。因此，論文接下來在既定的抗蛇行減振器阻尼的基礎上，分析抗蛇行減振器剛度變化對車輛臨界速度的影響，選取合適的抗蛇行減振器剛度以滿足服役條件下地鐵車輛提速的橫向穩定性需求。

隨抗蛇行減振器剛度變化的車速-輪對橫移分岔圖,如圖14所示。由圖14可知：隨著抗蛇行減振器剛度的增加，輪對橫移發生分岔的速度逐漸增大；當剛度較小時，對臨界速度的提升較大，而后增速逐漸放緩，說明剛度對臨界速度的提高存在上限。為了滿足地鐵車輛提速的需求，臨界速度應大于120 km/h。因此選取對應的抗蛇行減振器剛度Kyaw=3.8 MN/m。

圖14 抗蛇行減振器剛度對臨界速度的影響

4.2 效果對比與討論

安裝4.1節設計的抗蛇行減振器，研究服役條件下安裝抗蛇行減振器對車輛臨界速度的提升效果，如圖15所示。

圖15 抗蛇行減振器效果對比

由圖15可知，等效錐度增大是服役條件下臨界速度降低的主要原因，車輪半徑的減小對臨界速度的影響相對較小。安裝抗蛇行減振器總體上能夠顯著提升車輛的臨界速度。在車輪磨損前期，即等效錐度在0.05～0.15時，臨界速度對等效錐度的變化敏感；當等效錐度較大時，等效錐度增大對臨界速度的影響力逐漸下降。在低等效錐度下，未安裝抗蛇行減振器的現役地鐵能夠達到地鐵提速要求，但是，等效錐度逐步增大可能將無法滿足橫向穩定性的要求。

總體看來，在服役條件下，如果未來地鐵實施提速，未安裝抗蛇行減振器的現役地鐵車輛可能引起橫向失穩問題；安裝抗蛇行減振器能夠有效地解決地鐵車輛車輪磨損以及提速帶來的橫向運動穩定性裕量不足問題。

并且，抗蛇行減振器的采用還能讓車輛的橫向振動具有一定魯棒性。例如，3.2節提及的在等效錐度為0.01時，懸掛參數異常匹配導致車輛發生了一次蛇行運動，該異常參數車輛安裝抗蛇行減振器前后車速與各結構橫移的分岔圖，如圖16所示。

(a) 無抗蛇行減振器

由圖16(a)可知，該異常參數下無抗蛇行減振器的車輛臨界速度約為165 km/h，主要體現為車體橫移過大，即發生一次蛇行運動，超過臨界速度后，橫移幅值存在一個緩慢提高的過程，說明系統發生的是超臨界Hopf分岔。

由圖16(b)可知，車輛超過臨界速度后，橫移幅值立刻發生突變，達到了峰值，說明系統發生的是亞臨界Hopf分岔，從行車安全的角度考慮，這種突變現象的發生是應該避免的。但是，含抗蛇行減振器的車輛臨界速度高達305 km/h，較無抗蛇行減振器的車輛提升了84%之多，且超過臨界速度后車體的橫移小于構架和輪對的橫移，沒有發生一次蛇行運動。

綜上，現役地鐵如果安裝抗蛇行減振器，不僅能大大提升車輛橫向振動的魯棒性，解決提速帶來的橫向運動穩定性裕量不足問題，而且還讓車輛異常出現的一次蛇行運動演變為二次蛇行運動。因此，安裝抗蛇行減振器是作為實現服役條件下的地鐵車輛提速的一種有效措施。

5 結 論

(1) 服役條件下地鐵車輛的車輪半徑會隨運營里程的增加而減小，導致車輛臨界速度降低且橫向振動幅值增大，將降低車輛的橫向運動穩定性，影響行車安全。

(2) 等效錐度隨運營里程的增加呈上升的趨勢，等效錐度的增大不僅會降低臨界速度，同時還會加劇蛇行運動，不利于行車安全。服役條件下，一旦地鐵提速，即使是小等效錐度條件下，若懸掛參數發生異常匹配將發生一次蛇行現象，可能帶來車輛橫向運動穩定性裕量不足的問題。因此，在車輪鏇修和鋼軌打磨等維保過程中，建議嚴格管理等效錐度，適當控制等效錐度來提升車輛橫向運動穩定性。

(3) 現役地鐵如果安裝抗蛇行減振器，不僅能大大提升車輛橫向振動的魯棒性，解決提速帶來的橫向運動穩定性裕量不足問題，而且還能避免地鐵車輛在異常參數匹配下發生一次蛇行運動。因此，面對服役條件下可能出現的橫向失穩問題，建議安裝抗蛇行減振器，以滿足現役地鐵車輛提速的需求。