基于靈敏度分析的轉向架構架有限元模型修正

劉樂天， 李凡松， 宋 燁， 劉潮濤, 鄔平波

(西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室,成都 610031)

構架是軌道車輛轉向架非常重要的部件之一，起承重、減振、傳力等作用，同時受到輪軌、車體以及吊掛設備等所產生的激振力[1]。目前，運營列車中存在很多由于線路激勵與構架模態產生共振而引發的構架開裂問題[2-8]，大量線路試驗數據表明，多數情況下，線路激勵頻率是確定的，因而轉向架構架模態參數的準確度對于研究此種開裂問題和轉向架后期優化變得十分重要，構架的模態試驗可以獲得準確的模態參數，開展相關研究需要同樣準確的有限元模型，如何獲得一個準確的構架有限元模型成為了一個受到普遍關注的問題。

有限元模型修正方法包括靈敏度分析法，粒子群算法，元啟發式算法和神經網絡算法等，靈敏度分析法相比于其他具有隨機性的算法更加高效合理，因而靈敏度分析算法是最為常用的模型修正方法之一[9-13]，國內外學者已經對模型修正方法進行了大量研究。李凡松[14]基于粒子群法對整備狀態動車組車體模型進行了修正；Hofmeister等[15]基于元啟發式算法提出了一種新的無導數全局優化方法，基于該算法對風力渦輪機中的轉子葉片進行了模型修正;Mottershead等[16]對敏感度方法計算的重要步驟進行了基本介紹，并利用直升飛機機身模型修正對其理論進行了驗證；邱飛力等[17]利用參數擾動比改進了模態靈敏度，采用模型修正的正則化算法完成了某鋁合金車體的模型修正；張淼[18]給出了靈敏度矩陣修正法求解模型的數學方法，同時歸納了其模型修正的一般步驟；張權等[19]采用二次規劃算法并在此基礎上研究了加權方法在模型修正上的應用。

構架的結構雖然較為簡單，但由于制造工藝的局限性和焊縫對材料剛度的貢獻，根據設計模型所建立的有限元模型與實際制造的構架難免有誤差，對于精準的振動模態計算具有很大影響。目前模型修正研究僅考慮了構架的局部板厚的建模誤差對模態參數造成的影響[20]，但還未有人對構架焊縫剛度的建模誤差產生的影響進行相關研究。本文基于靈敏度分析對轉向架構架有限元模型進行修正，同時考慮構架板材厚度加工公差[21]和焊縫對材料剛度的貢獻兩方面因素，通過對比模態頻率相對誤差和MAC(modal assurance criterion)值進行驗證，證明該方法可以為后續的仿真計算提供準確的有限元模型，并對轉向架的結構設計和參數選擇等方面具有一定的參考價值。

1 模型修正理論

在模型修正中，待修正參數是在模型的設計參數中選取的，可以是材料屬性，幾何參數或邊界條件等。當改變原始模型的待修正參數p=(p1,p2,…,pn)時，模型的模態參數、模態的MAC即模態置信準則，用于檢查兩階模態之間的相互獨立性和一致性、質量或剛度矩陣等修正對象f會隨之改變。因此可以將修正對象f視為待修正參數p的函數，記作f(p)。為了將問題線性化，在初始位置p0處，將f(p)進行一階泰勒展開

(1)

式中：Δp為待修正參數的變化量；p0為待修正參數的初始值。

靈敏度矩陣為

(2)

式中:m為修正對象的數量；n為待修正參數的數量。

式(1)可寫成

f(p)=f(p0)+SΔp

(3)

模型修正的目的是使修正對象與試驗結果的誤差達到最小，同時待修正參數仍具有物理意義，需給定待修正參數合理的取值范圍，故設置目標函數為

(4)

s.t.pmin≤p≤pmax

式中:fe(p)和fm(p)分別為修正對象的仿真值和試驗值；pmin為待修正參數取值范圍的最小值；pmax為待修正參數取值范圍的最大值。

結合式(3)和式(4)，利用拉格朗日數乘法得

ΔR=SΔp=fe(p)-fm(p0)

(5)

根據式(5)設計參數的變化量可寫為

Δp=S-1ΔR

(6)

但在多數情況下，靈敏度矩陣的秩l不等于待修正參數的個數n，當l>n時，引入廣義逆矩陣求解得

Δp=(STS)-1STΔR

(7)

當l>n時，引入廣義逆矩陣求解得

Δp=ST(STS)-1ΔR

(8)

待修正參數的類型不同時，很難比較靈敏度的大小，這種情況下靈敏度矩陣極易出現病態，所以靈敏度矩陣需要進行歸一化處理，則

(9)

歸一化后Δp需變換為

(10)

為了使迭代計算更加高效準確，分別對待修正參數的變化量Δp和修正對象的誤差ΔR進行加權處理，目標函數變為

minJ(Δp)=λ2ΔpTWpΔp+ΔRTWeΔR

(11)

s.t. Δpmin≤Δp≤Δpmax

式中:Wp和We分別為Δp和ΔR的加權矩陣；Δpmin和Δpmax分別為待修正參數修正量的最小值和最大值。

若修正對象為模態頻率和模態振型MAC值，We可表示為

(12)

式中，Wf和WMAC分別為模態頻率和模態振型MAC值的加權系數。

Wp可表示為

(13)

Г=diag[STWeS]

(14)

Δp=(STWeS+λ2Wp)STWeΔR

(15)

式中，λ2為加權系數，建議λ2的值取0～0.3，當待修正參數靈敏度不高的數量越多或STWeS條件數越大時，λ2取值越大。

通過式(15)求解出Δpk，獲得新的待修正參數pk+1，用pk+1替換舊的待修正參數pk，獲得新的有限元模型進行迭代計算。

pk+1=pk+Δpk

(16)

2 轉向架構架模態試驗

2.1 試驗方法

構架共選取42個測點，其中側梁、橫梁和縱梁分別選取24個、16個和2個，測點分布如圖1所示。

圖1 構架測點分布圖

構架采用鋼簧支撐，分別支撐在4個轉臂節點座處，彈簧剛度為300 kN/m，構架質量為1.9 t，所以構架支撐頻率為4 Hz，小于構架第一階模態頻率的1/10[22]。采用激振器掃頻激振法，使用激振器多次掃頻，每兩次掃頻移動傳感器的位置以完成所有測點的測量，如圖2所示。激振器掃頻范圍為0.1～200.0 Hz，采用三向5g加速度傳感器，采樣頻率為2 000 Hz。

圖2 構架模態測試照片

2.2 數據處理

利用LMS Test.Lab中的Polymax模態識別程序對構架模態試驗數據進行分析，模態頻率識別結果如表1所示，前6階模態振型如圖3所示。

表1 構架模態試驗頻率

(a) 1階模態振型圖

3 仿真計算

3.1 有限元模型建立

構架為H型全鋼焊接結構，主要由側梁、橫梁以及各部件安裝座組焊而成。故有限元模型的建立以殼單元為主，四面體單元為輔，單元的基本尺寸為10 mm。構架共劃分單元347 810個，節點數為207 468個。構架主體結構采用殼單元進行劃分，單元類型為shell181，制動吊座，電機安裝座和齒輪箱安裝座等結構采用四面體單元進行劃分，單元類型為solid185。構架有限元模型,如圖4所示。

圖4 構架有限元模型

有限元模型對構架焊縫進行簡化處理，并未畫出實際焊縫，為了避免焊縫本身存在的質量對構架模態計算精度產生影響，對焊縫位置的殼單元進行單獨分組，實際焊縫示意圖，如圖5(a)所示;有限元殼單元側視圖，如圖5(b)所示。A,B部分分別為兩薄板殼單元焊縫殼單元分組，根據實際板材的坡口尺寸確定實際焊縫質量，通過改變A,B部分殼單元的密度將焊縫的質量均分到兩板材交界處，實現焊縫質量等效。

(a)

實際中，質量良好的焊縫可以增加一定的結構剛度，但往往很難保證所有焊縫的質量，導致焊縫質量下降的因素很多，如單邊焊時未熔透，焊接表面有雜質和焊接環境濕度過大等，都會使焊縫質量下降，導致焊縫的等效彈性模量減小。因此，為了便于后面對焊縫等效彈性模量進行修正，焊縫等效彈性模量初值選取2.1×105MPa(與母材一致)。

3.2 模態對比

有限元模型計算出的構架模態需要與試驗結果進行對比，頻率誤差和模態振型誤差是兩個重要的評價指標，頻率誤差采用頻率相對誤差R表示，如式(17)所示，而以向量形式表達的模態振型的誤差很難以直觀的方式計算，所以模態振型使用向量對比的方法來評判兩種振型的相似度，其中MAC計算是最為常用的方法之一，MAC計算可用式(18)表示。當MAC值為1時，代表振型完全一致；當MAC值為0時代表兩個向量正交，即兩個完全不同的振型。

(17)

(18)

利用ABAQUS軟件對構架的有限元模型進行模態分析，初始有限元模型的模態分析結果和試驗結果的對比情況,如表2所示。

根據表2知，有限元模態分析的前10階模態最大頻率誤差為3.34%，最小MAC值為0.852。可以看出仿真結果各階振型與試驗結果相似度較高，而模態頻率有較大誤差。

表2 模態對比結果

4 轉向架構架有限元模型修正

構架結構較為簡單，主體結構是由鋼板焊接而成，故主要誤差來自于有限元模型對焊縫的簡化和鋼板厚度的理想化。實際上，焊縫不但影響構架的質量還會影響其剛度，根據GB/T 709—2019《熱軋鋼板和鋼帶的尺寸、外形、重量及允許偏差》知，鋼板由于加工精度的不足，構架所用鋼板厚度公差最大能達到±1 mm，也會影響構架的模態參數。焊縫對構架質量的影響已在有限元建模的過程中考慮到，故在修正時，選取焊縫區等效彈性模量和厚度為10 mm,12 mm,14 mm和18 mm主體結構鋼板厚度作為待修正參數。為了保證在修正模態頻率同時，模態振型也有較高的相似度，故選取前6階模態的頻率和MAC值作為修正對象，對初始有限元模型進行修正。

取Wf=1，WMAC=0.2，λ2=0，則目標函數為

minJ(Δp)=ΔRTWeΔR

一般要求關注的模態頻率誤差小于2%，MAC值高于0.9，利用第1章論述的修正理論進行5次迭代，模態頻率收斂過程如圖6所示;MAC值收斂過程如圖7所示;模型修正后的模態頻率和MAC值與試驗數值對比如表3所示;修正參數修正結果如表4所示。

表4 修正參數修正結果

圖6 前6階模態頻率收斂圖

圖7 前6階MAC值收斂圖

由表3可知:構架模型修正前，前6階模態頻率平均誤差為1.85%，最大誤差為2.58%;前6階MAC值平均值為0.940，MAC值最小值為0.914。構架模型修正后，前6階模態頻率平均誤差為0.59%，最大誤差為1.22%，6階MAC值平均值為0.942，MAC值最小值為0.915，滿足修正精度要求。

表3 模態頻率和MAC值修正結果對比

根據修正結果可以看出，經過模型修正模態頻率誤差有了很大程度的減小，而MAC值與初始模型的平均值僅相差0.002，沒有明顯變化，模態振型仍保持較高的相似度，板材厚度修正量在規定公差范圍內，而焊縫區等效彈性模量有所下降，在實際結構中存在很多單邊焊的焊縫，很容易出現未熔透的情況，導致焊縫區等效彈性模量下降，且下降量在合理變化范圍內。因此，修正后的構架模型達到了預期的修正結果。

5 討 論

同時修正模態頻率和MAC值模態頻率的相對誤差明顯減小，而MAC值基本不變，說明修正板厚和焊縫區等效彈性模量對模態振型影響甚微。那么考慮只修正模態頻率而不修正MAC值的方法是否可行，下面進行如下驗證，將修正對象改為模態頻率，有限元模型輸出結果仍為模態頻率和MAC值，驗證結果如表5和表6所示。

表5 僅修正模態頻率結果對比

表6 修正參數修正結果

由表5可知，采用僅修正模態頻率的方法修正后，前6階模態頻率平均誤差為0.65%，最大誤差為1.40%，6階MAC值平均值為0.940，MAC值最小值為0.914，滿足修正精度要求。

經驗證發現，通過同樣的模型修正方法，將修正對象由模態頻率和MAC值變為模態頻率依然能達到同樣的修正效果。因此，建議進行構架模型修正時，修正對象目標可以僅考慮模態頻率。

6 結 論

以轉向架構架的模態試驗數據為基準，基于靈敏度分析法對構架有限元模型的必要參數進行修正，得出如下結論：

(1) 對靈敏度矩陣加權法在有限元模型修正方面進行研究，通過激振器掃頻法獲得構架試驗模態，建立考慮焊縫質量影響的構架有限元模型，使用該模型結合模態試驗數據驗證了靈敏度矩陣加權法在有限元模型修正中的可行性。

(2) 以轉向架構架的模態試驗數據為基準，采用靈敏度分析法對轉向架構架的主要板材厚度和焊縫區等效彈性模量進行修正，修正后的模態頻率和模態試驗結果基本一致，且修正參數均在合理取值范圍內，模型可以為開展有關構架模態共振產生的開裂問題與后期優化設計提供基礎。

(3) 從修正參數修正結果可以看出，構架主要板材厚度變化量在公差范圍內，是由于鋼材加工精度導致的，焊縫區等效彈性模量降低是由于部分焊縫未熔透所導致。

(4) 同時修正模態頻率和MAC值的結果表明構架模型修正對MAC值影響極小，采用僅修正模態頻率而不修正MAC的方法驗證發現，僅修正模態頻率同樣可以到達預期效果，提出構架模型修正可僅考慮修正模態頻率的建議。