巧用畫圖策略　助力難點突破

楊燕華

難點一：以圖辨析，明確概念本質

平行線的定義中含有三要素：①在同一平面內；②不相交；③兩條直線。對平行線的概念，我們可以分三個方面進行解讀：第一層次，不能忽略或丟掉“同一平面內”這個前提條件，否則不一定是平行線；第二層次，平行線是指兩條直線，而不是兩條射線或線段；第三層次，線段和射線平行都是指線段或射線所在的直線平行。

案例1 圖1—圖3中的兩條直線平行嗎？

【解析】圖1—圖3中的兩條直線都不平行。平行線的概念比較抽象，有些同學不理解概念，不妨借助圖形明確概念本質。

難點二：以圖助析，理清性質要點

學習垂線的性質，要與平行線的性質前后關聯。垂線的性質1說明了垂線的唯一性，即過一點“有”且“只有”一條直線與已知直線垂直，并且這一點具有任意性。注意，“任意一點”有兩種可能：一是點在直線外，二是點在直線上（如圖4）。這與平行線的性質中“必須過直線外一點”有區別，同學們在解有關問題時要特別注意。

垂線的性質2指出垂線段最短。從直線外一點向直線作垂線，這一點與垂足之間的線段叫作垂線段，這一點與直線上其他各點之間的線段都可以叫斜線段。根據性質1，垂線段是唯一的，而斜線段可以有無數條，并且垂線段的長度總是小于斜線段的長度。

如圖5，直線l外一點P與直線l上的點連接所成的線段中，因為PC⊥l，所以線段PC比PA、PB、PD都短。

案例2 鐵路l旁有一座村莊A，現要建一個火車站，為了使村莊人乘火車方便，請你選址建火車站，并說明理由。

【解析】乘車最方便，也就是要求距離最近，而根據垂線段最短，則過點A作垂線段即可。

難點三：以圖為媒，指明畫圖方法

1.平行線的畫法

在小學，同學們就學過畫平行線的方法：①平移三角板畫平行線；②利用網格線畫平行線。在網格紙上，所有橫線互相平行，所有豎線也互相平行，我們也可沿著網格的對角線斜著畫，如：斜線段AB是a×b長方形的對角線，所以平移后的線段也是a×b長方形的對角線。畫平行線的依據就是圖形的平移。

2.垂線的畫法

根據垂直的定義可知，畫垂線也就是作直角。因為直角的兩條邊所在的直線是垂直的，所以，垂線的畫法通常有三種：①利用三角板的兩條直角邊或刻度線與所在邊的垂直關系，基本步驟是：一靠、二過、三畫；②利用量角器畫，主要通過畫一個90°的角來得到垂線；③利用網格線來畫，如：以線段AB為對角線的a×b長方形繞著某一點逆時針旋轉90°后得到的b×a長方形的對角線即是符合要求的圖形。

案例3 請利用網格畫線，過點C畫AB的平行線，過點B畫AB的垂線。

【解析】如圖7，畫平行線和垂線的本質就是圖形的運動變換。

難點四：以圖為引，探索操作類題目

同一平面內兩條直線的位置關系，要么是平行，要么是相交。要研究交點的問題，同學們可以借助畫圖的方法，在操作中加以體驗和理解。

案例4 同一平面內的兩條直線，平行沒有交點，如果相交，只有一個公共點。在同一平面內，三條直線公共點的個數可以是____________。四條呢？在同一平面內，n條直線最多有多少個交點呢？

【解析】同一平面內，三條直線的交點個數可以是0、1、2、3，如圖8。

四條直線的交點個數可以是0、1、3、4、5、6。

n條直線的交點個數最多是1+2+3+…+（n-1）=[n（n-1）2]。

變式：1條直線可以把一個平面分成二部分，2條直線可以把一個平面分成三部分或四部分；那么，3條直線可以把平面分成幾部分呢？4條呢？

同學們，畫圖時要注意圖形位置的各種可能性，不能想當然，不能想怎么畫就怎么畫，解題時既要做到心中有數，更要做到心中有圖。

（作者單位：江蘇省無錫市新城中學）