關注思維體驗，發展關鍵能力
——以“與圓有關的概念”為例

江蘇省無錫市華莊中學 劉振芹 周建平

縱觀近幾年的中考數學試題，不難發現題目均構思精巧且思維含量高，注重考查學生的關鍵能力和必備品格.因此，專題復習課的定位就要著力于學生思維的發展和關鍵能力的培養.那么，如何科學地選編復習題就顯得尤為重要！筆者在2022年無錫市初中數學教研活動中執教了一節“與圓有關的概念”復習課，現就本節課如何以問題驅動指引學生的思維做回顧與思考，與同仁交流.

1 教學實例

1.1 問題情境，引發思考

引例若AB=5，BC=3，求AC.

生1：2.

師：你是怎么想的？

生1：點C在線段AB上，AC=2.

師：有沒有不同想法的同學？

生2：8.

師：說說你的想法.

生2：點C在線段AB延長線上，AC=8.

學生的回答超出筆者的預設，根據回答，筆者啟發學生再思考有沒有其他情況.

圖1

生3補充：△ABC是直角三角形且AB邊為斜邊時，AC=4.(筆者順勢請該生板演作圖，如圖1.)

追問：BC的位置確定嗎？

筆者動手演示，學生意識到BC位置不確定.筆者繼續引導：這樣的點C有多少個？學生回答：無數個.這時強調AC并不是一個具體的取值，而是一個范圍，最后引導學生給出點C的軌跡：以B為圓心，BC長為半徑的圓(如圖2).

設計意圖：通過問題情境啟發學生獨立思考，在質疑情境中學生從特殊走向一般，再從一般走向特殊.既復習了圓的定義，又感受了運用確定性思維進行數學化思考的方法.這種創新概念復習的方式切實關注學生的思維體驗，比直接讓學生回憶概念，再用其解題的傳統方式更能讓學生達到對概念本質的理解.

1.2 問題拓展，搭建框架

圖2

問題1 這張圖(圖2)清晰地呈現了點與圓的位置關系，有哪幾種？如何判斷點與圓的位置關系？

問題2 類比，直線與圓又有怎樣的位置關系？

問題3 若在直徑上取點D，大家能作出過D點的圓的最短弦嗎？

學生通過板演作圖和計算，感悟垂徑定理的作用，如圖3.

問題4 既然垂徑定理涉及弧，那么弧的度數又與什么有關？

圖3

問題5 當∠EBN=72°時，求∠EMN的度數.

學生通過計算回顧圓周角定理，如圖4.

圖4

最后，筆者引導學生回顧圓的中心對稱性和旋轉不變性，進而得到圓心角、弧、弦之間的關系.

設計意圖：復習課是建構知識體系的過程，既要顧及基礎知識，又要提高思維含量.因此，筆者通過設置有序的問題串，把“知識線索”轉化為“問題線索”，引導學生在解決問題的過程中建構思維導圖(如圖5)，進而從知識結構的視角實現思維的優化.

圖5

圖6

體驗中考(2021年無錫中考第25題)如圖6，四邊形ABCD內接于⊙O，AC是⊙O的直徑，AC與BD交于點E，PB切⊙O于點B.

(1)求證：∠PBA=∠OBC；

(2)若∠PBA=20°，∠ACD=40°，求證：△OAB∽△CDE.

學生經過獨立思考，給出證明思路.

生4：由AC是直徑，得∠ABC=90°.由PB切⊙O于點B，得∠PBO=90°，故∠PBA=∠OBC.由∠PBA=20°，∠PBO=90°，得∠ABO=70°.又OA=OB，則∠AOB=40°，所以∠AOB=∠DCE.又∠DEC為△OBE外角，∠OBE=30°，得∠CED=70°，所以∠ABO=∠DEC，故△OAB∽△CDE.

師：有沒有更簡便的方法？

筆者適時總結，在解題方法多樣化的基礎上，引導學生關注方法的最優化，復習才能事半功倍.

設計意圖：中考復習課的落腳點要回歸到中考題，通過案例體驗中考，讓學生感受本節課復習的知識點是如何串聯起來的，同時在書寫的規范性以及方法的選擇上引導學生.

圖7

1.3 問題延伸，發展能力

1.3.1 一題多變，著力發散思維

例題如圖7，在三角形ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，交BC于點E.

(1)求證：BE=CE；

(2)若BD=2，BE=3，求AC的長.

學生容易想到用三線合一證明BE=CE.求解AC的問題，學生給出了兩種方法.

圖8

圖9

筆者稍加點撥：你還能找出其他相似三角形來求AC嗎？引導學生從相似角度，結合圖形深入思考.

圖10

設計意圖：本例題難度不大，通過勾股定理和相似兩種思路思考問題，并挖掘相似的兩種求解途徑，讓學生體驗解題方法的多樣性，在一題多解中有效培養學生的發散思維.

變式1如圖11，在△ABC中，AB=AC，若點O在AC上向點C移動，以O為圓心，OC長為半徑的圓交BC于E，ED⊥AB于D.求證：DE是⊙O的切線.

圖11

圖12

變式2如圖12，在△ABC中，AB=AC=5，若點O在AC上向點C移動，以O為圓心，OC長為半徑的圓與AB邊相切，作ED⊥AB于D.若BD=1，求DE的長.

設計意圖：變式1引起學生對直線與圓位置關系的關注，而變式2引導學生關注圖形中相切的特殊位置關系，并為解決追問1和追問2作鋪墊.這樣一題多變的訓練，不僅能加強知識的聯系，還可培養學生的應變能力和發散思維能力，從而提升學生分析問題、探究問題和解決問題的能力.

1.3.2 多題一解，讓發散走向集中

良好的思維品質除了要有發散性思維，集中思維也是不可或缺的一部分.集中思維以發散思維為基礎，對學生思維能力的形成與發展具有重要作用.

接下來筆者在問題的本質上做延伸，促使探究更深一步，引領學生的思維更進一步.

學生對正弦條件有點無從下手，筆者適時引導.

師：正弦是什么圖形里有的？

眾生：直角三角形.

師：那么∠A所在的直角三角形有沒有？

學生恍然大悟，意識到需要構造直角三角形，進而利用正弦定義建立方程求解.

教學中，筆者留給學生充分的時間進行觀察和思考，直至學生認識到問題的本質.

追問2：若將變式2中的條件BD=1換成S△ABC=10，其余條件不變，求DE的長.

筆者在巡視中發現多數學生愁眉緊鎖，說明他們不善于轉化條件.于是啟發學生思考：已知三角形的邊長和面積，能確定什么？學生意識到面積條件可以轉化為高，然后梳理出如下思路.

圖13

圖14

師：若是作AC邊上的高BM呢？

生7：△AHO∽△AMB，如圖14.

總結：題目的背景沒有變化，條件一直在變，但是面積條件本質上還是∠A的正弦值，所以我們在思考問題時要關注變中不變，即萬變不離其宗的思考方法，這樣才能得到從一題多解到多題一解的訓練提升.

設計意圖：追問1和追問2是對變式2條件的稍加改變，問題看似沒有關聯，但解決途徑是一致的，目的是利用多題一解的訓練，幫助學生感悟基本圖形，感知問題的本質，提煉解題思想和方法，讓思維從發散走向集中，提高綜合應用的能力.

追問3：若將變式2中的條件BD=1換成BC=6，其余條件不變，求DE的長.

鼓勵學生課后探索.

2 教學的進一步思考

2.1 思維誘發，需重視閱讀理解能力

閱讀能力是最基礎、最關鍵的學習能力，而解決數學問題的關鍵就是要學會審題.審題并非將題目誦讀一遍，而是在讀題時抓住“題眼”，即試題的核心與重點，從而看透問題的本質.作為教師，應認識審題的重要性，舍得花時間精耕細作，讓學生經歷“怎么做—怎么來的—怎么想到的”思維提升過程，教給學生審題技巧，提高獲取信息的能力，長此以往，學生的審題能力與解題能力將得以大幅度提升.

2.2 思維培育，要凸顯獨立思考能力

《義務教育數學課程標準(2022年版)》(以下簡稱新課標)明確指出，要使得人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展[1].不同的人在數學上得到不同的發展，主要表現在學生的思維力上.張楚廷教授指出：“教學，從根本上說，是思考著的教學引導著學生思考，又讓思考著的學生促動教師思考.而在這一過程中，問題是最好的營養劑；在這一過程中，教師的思考和問題意識起著主導的作用.”[2]因此，在思維培育上，教師要多給學生一點思考的時間，多給學生一點表達的機會，讓獨立思考與自由表達自然形成思維能力.

2.3 思維優化，要突出語言表達能力

新課標明確提出，會用數學的語言表達現實世界.表達能力是學習能力的最高體現和綜合反映.只有通過表達，知識才能被激活，才能真正被轉化、升華為能力.學生用書面語言或口頭語言從不同角度、不同側面闡述看法或發表意見，這既是理解的重要標志，也是從理解到創新的關鍵一步.因此，教師要鼓勵學生大膽地用自己的語言闡述自己的認識和想法，這樣不僅能促進他們獨立思考，同時也能活躍思維，在交流和互動中產生新穎的觀點和思路，從而增強思維的靈活性和廣闊性.