淺談如何借助“意外”打造高質數學課堂

張 潔

湖北省大冶市第一中學

在新課改的推動下，數學課堂逐漸向多元化發展，更加關注學生主體作用的發揮，“自主、合作、探究”已成為高效數學課堂不可或缺的三要素，其在數學教學中發揮著不可估量的作用.為了提升數學課堂有效性，使課堂更加高效，教師在數學課堂上需要打破單一的、保守的“講授式”教學模式，將數學課堂打造成開放的動態課堂[1].為了打造高效動態的數學課堂，在教學中就需要引導學生經歷自主學習和合作探究，雖然在此過程中可能會出現一些不確定的因素，但這些“不確定”往往可能就是隱藏的意外驚喜.為此，在教學中，教師要鼓勵學生進行交流和探究，使不同思維碰撞出耀眼的火花，彰顯數學之美.

為了激發學生的積極性和探究欲，將課堂引入更深處，筆者結合教學中出現的“意外”，淺談了探究在數學教學中的重要意義，以期共鑒.

1 教學實錄

為了加深學生對圓錐曲線與方程的理解，教師在復習階段結合對下面一道例題的引導，以讓學生通過類比進一步實現知識的內化.

例已知兩定點F1(-2,0)，F2(2,0)，試分別求滿足下列條件的動點P的軌跡E的方程.

(1)|PF1|=|PF2|;

(2)|PF1|+|PF2|=6;

(3)|PF1|-|PF2|=2;

按照課前預設，該過程由小組探究合作完成，探究后學生板演求解過程，借助不同解題思路交流解題經驗，進而拓寬思維廣度.按照預期學生順利地完成了預設目標，教師想繼續進行下面的復習內容時，聽見有幾個學生在竊竊私語，他們在討論滿足|PF1|·|PF2|為固定值的動點P的軌跡方程該是什么樣子.面對教學中產生的這個“意外”，若教師選擇與學生一起探究可能會影響課程計劃，不利于教學目標的實現，但若置之不理將抹殺學生探究的積極性，不利于學習能力的提升，為此，教師選擇充分利用這次“意外”，讓學生通過探究消除疑惑，深化理解[2].

師：我們完成了前面四個題目，有些同學似乎又有新想法，我們一起來聽一聽.(教師引導學生大膽說出自己的疑惑.)

師：很好！確實我們上面只關注了|PF1|與|PF2|的“和、差、商”，忽視了“積”，那么這樣的曲線到底是什么呢？

師：現在大家思考一下|PF1|·|PF2|這個定值該如何表示？其與動點P到定點F1和F2的距離大小又有什么關系？(為了給學生指引探究的方向，教師將探究分成若干小問題，以淡化問題的抽象感，激發學生探究的熱情.)

生2：結合問題(2)和問題(3)，設定值為a2，并且將a分成a>2，a=2，a<2三種情況進行比較.

師：很好！那么我們就從特殊值入手，看看從這三種特殊情況中能否發現一般規律.取a=1，2，3這三個特殊值來探究曲線的圖形.即|PF1|·|PF2|=12，|PF1|·|PF2|=22，|PF1|·|PF2|=32三種情況.那么我們該如何進行探究呢？

生3：應根據特殊值a=1，a=2，a=3分別求出曲線方程，接下來結合曲線方程的幾何性質逐一進行探究.

師：我們常用哪些幾何性質來探究呢？

生3：對稱性、頂點坐標、x的取值范圍等.

師：很好！看來大家已經掌握了研究解析幾何的精髓，實現“數”與“形”的相互轉化.現在一共三種情況，分三個大組進行探究，探究后請各小組參照表1的要求填寫求解結果.(教師根據學生反饋設計了表1，以讓學生更好地將各種情況進行類比，進而使計算結果更加清晰明了，便于學生觀察和理解.)

表1 曲線的圖形與性質

通過小組合作探究，各小組都順利地求解并繪制出了草圖.在關于對稱性的探究中，有些學生出現了思維障礙，教師借助師生交流的方式為學生釋疑.

師：對于對稱性你們是怎么驗證的呢？

生4：設點P(x,y)在曲線上，若點P關于x軸對稱，則對稱點P′(x,-y)也應在曲線上，代入后即可驗證曲線是否關于x軸對稱.同理，通過該方法還可以進一步驗證曲線是否關于y軸和原點對稱.

師：很好！我們根據x的取值范圍并結合曲線的對稱性繪制出了草圖，若我們想進一步精確繪制曲線圖形還需要知道什么？

生5：需要知道y的范圍.

師：那么y的范圍如何求解呢？

生6：可以利用求函數值域的思路求解.(生6的思路給出后，學生提出了質疑.)

生7：函數中x值與y值是一一對應的，曲線方程不能滿足這一條件，因此其轉化不等價，不能這樣求解.

師：那該如何實現等價轉化呢？

生8：剛剛已經知曉該曲線方程關于x軸，y軸和原點對稱，那么我們在求解時可以僅考慮第一象限的圖形，第一象限的圖形繪制完成后利用對稱性完成整個圖形的繪制.第一象限的x值與y值顯然是一一對應的，這樣就可以應用值域的思路求解了.

師：說的太好了！利用曲線方程的對稱性完成了函數與曲線方程的轉化，這樣，我們后期就可以利用研究函數的思路進一步研究曲線.

為了實現特殊向一般的轉化，教師引導學生借助曲線方程的一般形式繼續探究，其一般形式為[(x+c)2+y2][(x-c)2+y2]=a4(a>0).

探究至此，學生可以結合圖形性質繪制出圖形.本節課雖然并未按照預期的效果完成預定教學目標，但通過利用“意外”學生收獲多多.通過類比探究不僅深化了對知識的理解，在此過程中函數與方程、特殊與一般的轉化也應用得淋漓盡致，大大地提升了課堂有效性.

2 教學反思

2.1 讓預設與生成同步發展

在教學設計階段，教師要善于從學生的角度進行思考，預判學生可能提出的問題，從而提前做出教學預案，這樣即使課堂中出現一些突發“小意外”時，教師也可以掌控教學方向，統籌全局.當然，只有教師課前精心地做好預設，課上才能及時捕捉這些“小意外”，實現精彩演繹.可見，預設與生成既對立又統一，教學中必須應用好這一對對立統一體，促進多元、動態課堂生成.

2.2 讓尊重扎根課堂

教學中要利用好思維差異的優勢，多鼓勵學生從不同角度提出問題，尊重學生的新想法和新思路，引導學生積極探究，進而達到發散思維、培養創新意識的目的.同時，教師要為學生營造平等、民主的學習氛圍，切勿只關注學優生的新思路而對學困生的問題置之不理，久而久之，勢必會挫傷學困生的積極性和自信心，不利于實現全員發展.

2.3 讓探究貫穿課堂始終

在新課改的推動下，學生的學習模式逐漸實現了由“接受式”向“探究式”的轉化，學生的學習模式也由“被動接受”向“主動建構”逐漸過渡，有助于課堂有效性的提升.同時，經歷探究使學生敢于聯想、勇于質疑、勤于思考，進而使學生的學習態度更加嚴謹，思維更加靈活，有助于學生自主學習習慣的形成.另外，通過探究，讓學生親身經歷知識生成的過程，有助于學生實踐能力和創新能力的提升.為此，在教學中，教師要鼓勵學生參與探究，去發現、去解決、去反思、去創新，進而使課堂變得生動又高效.

總之，課堂生成性資源是寶貴的教學資源，教師在教學中切勿只追求進度而忽視課堂生成性資源的利用，要鼓勵學生進行多角度、全方位地思考，引導其提出有價值的問題，讓學生在交流、合作、探究中不斷成長，進而培養學生良好的數學品質和數學素養，促進學生綜合能力全面提升.