基本事件:辨析古典概率問題的關鍵

鄭 燕

西華師范大學數學與信息學院

在古典概率的學習中，學生總是容易混淆“非等可能”與“等可能”、“有放回”與“不放回”問題，究其原因就是對試驗所包含的基本事件的認識存在問題.針對這種情況,筆者從具體案例入手分析如何從基本事件角度解決問題.

1 “非等可能”與“等可能”

例1同時擲兩枚骰子，求向上的點數之和為5的概率.

正解:設向上的點數之和為5的事件為A.把兩個骰子標上記號1，2以便區分，試驗所包括基本事件如表1所示.

表1 一次試驗包括的基本事件

錯解:設向上的點數之和為5的事件為A.兩個骰子不標識，則可列出基本事件如表2所示.

從表2可以知道一次試驗包含的基本事件有21個，向上的點數之和為5包含的基本事件有(1，4)，(2，3)共2個.

表2 一次試驗包括的基本事件

這兩種解法如果從等可能的角度來判斷，顯然第二種解法錯誤.但是實際情況是學生不能區分基本事件是等可能發生的還是非等可能發生的.因為他們對于試驗所包含的基本事件的定位都不清楚，不知道基本事件由哪些元素構成.要弄清楚基本事件的構成，就要追根溯源，弄清基本事件的形成過程[1].正解中試驗的基本事件是由骰子的點數構成的，即1號骰子的每一結果與2號骰子的任一結果匹配.所以每個基本事件的發生都是等可能的，且他們的結果是有限的，因此可用古典概率的計算公式計算.錯解中事件A的基本事件是由點數和為5的事件構成，而在這里面構成5的比如有(1，4)，(4，1)兩種，但如果只看結果“和為5”的話，就認為(1，4)，(4，1)這兩種結果是一樣的，只把其中一個當成基本事件，實際上錯解中每個基本事件的發生都是非等可能的，這時使用古典概率公式就會計出錯.

2 “有放回”與“不放回”

例2設袋子中有3個黑球，2個白球，它們除顏色外沒有區別.

(1)從袋子中不放回地隨機摸出兩個球，求兩個球都是黑色的概率.

(2)若從袋子中隨機取一個球記下顏色后放回袋子中，再隨機摸一個球，求兩次摸到的球都是黑色的概率.

對于第(1)問，先將5個球編號為1，2，3，4，5.其中編號為1～3號的球為黑球，編號為4，5的球為白球.記兩次摸到的球都是黑色為事件X.第(1)問有 “分次摸球”與“一次摸出兩個球”兩種方法.

方法1：“分次摸球”包含的基本事件如表3所示.

表3 基本事件

方法2：“一次摸出兩個球”包含的基本事件如表4所示.

表4 基本事件

從“分次摸球”和“一次摸出兩球”的基本事件來看， “分次摸球”的基本事件是由第一次摸球顏色與第二次摸球顏色的任意結果組成，每個基本事件發生是等可能的.“一次摸出兩球”的基本事件是由一次摸出的兩球的顏色組成，一個基本事件就是一次摸球的結果，且一次摸出兩球是等可能發生的.從基本事件分析可知這兩種方法都是正確的.比較這兩種方法，雖然“隨機摸出兩球”包含的基本事件不同，事件X包含的基本事件也不同，但它們的基本事件都是等可能發生的，且二者利用古典概率計算的結果是相同的，因為它們的計算過程都滿足古典概率的概率公式的計算要求.這就說明對于“不放回”摸球類型問題，在考慮解題方式時，從“有序”或“無序”入手求解的結果相同.再遇到這種問題時，只需兩種角度二選一即可.

對于第(2)問，屬于有放回的摸球.將3個黑球編為1～3號，白球編為4，5號.記兩次摸到的球都是黑色為事件A.第(2)問也從“有序摸球”與“無序摸球”分別入手.

正解：“有序摸球”.第一次摸出的球與第二次摸出的球有先后之分，包含的基本事件如表5所示.

表5 基本事件

錯解：“無序摸球”.在列基本事件時第一次摸的球與第二次摸的球視為無序，只要摸出兩個球即可，包含的基本事件如表6所示.

表6 基本事件

類比例1，“有序摸球”的基本事件是由第一次摸出的球和第二次摸出球的顏色組合而成，且它們發生都是等可能的.“無序摸球”的基本事件是由摸出的兩球的顏色構成，這個基本事件不是等可能發生的.所以對“有放回”摸球問題，在考慮解題方式時，必須強調“有序”，因為“無序”不能滿足基本事件的等可能性.

3 總結

從上面的分析可以看出，基本事件在解決概率問題時起著關鍵作用.所以在平時的教學中，教師不僅要教學生基本事件的概念，還應該分析基本事件的形成過程.為了讓學生了解基本事件的形成過程，在對基本事件進行分析時，可借助樹狀圖、列圖表等形式羅列基本事件，以便學生在羅列時判斷基本事件是否等可能發生.對于基本事件較少的隨機試驗，教師可以在課堂上開展“游戲”活動，使學生在游戲參與中體會基本事件的形成過程.教師也可以在課堂上進行多媒體演示，比如同時擲兩枚骰子的問題，可以通過多媒體演示，使學生明晰基本事件的形成過程.學生只有在理解試驗的基本事件形成過程后，對于基本事件的選擇才不會出錯.