基于比重因子的原材料的訂購與運輸決策優化模型

文/練瑤 唐振云 向福川 王建宏

本文主要研究生產企業原材料的訂購與運輸問題。通過建立0-1規劃模型分別研究供應商數量、最優訂購方案和轉運方案。

一、引言

本文針對2021年全國大學生數學建模競賽C題[1]的問題2，要求參考問題1，在滿足生產需求的基礎上，確定供應商的最少數量以及未來24周最經濟的原材料訂購方案，并根據所給近5年8家轉運商的損耗率數據，確定損耗最少的轉運方案。

二、模型準備

1.供應商選取范圍的確定。本文要求參考問題1，確定該企業至少應選擇多少家供應商供應原材料以滿足生產需求。在問題1中，通過建立基于熵權法的反映保障企業生產重要性的TOPSIS模型，得出重要性評價指標，以此確定了對于該企業而言的50家最重要的供應商。本文供應商的數量選擇問題的前提是滿足生產的需求，而問題1所求出的對該企業而言50家最重要的供應商也是基于滿足企業生產需求的考慮，因此，在第二問中我們沿用問題1中確定的50家最重要的供應商作為本文供應商的選取范圍。

2.決策變量范圍的確定。在解決供應商的數量選擇問題中，只需要確定供應商選取范圍中的50家供應商是否對企業進行原料供應，即這50家供應商在這一情況下存在兩種狀態，即：

其中，i代表第i家供應商（此處n=50），j代表第j種原材料（此處m=3，且j=1，2，3分別代表A、B、C類原材料）。在確定每周最經濟的訂購方案和損耗最少的轉運方案的問題中，第i家供應商每周的實際供貨量gi是不能保證也不需要達到其最大供應量的，同時考慮到經濟效益，即在滿足企業生產需求的基礎上，應該使得每周的原材料剩余量（不同于原材料的庫存量）盡可能少，這一點可以通過對被選擇進行原材料供應的供應商的供貨量賦予相應的比重因子wtj∈[0，1]，使得企業倉庫每周的原材料接收量在企業達到產能的條件下盡可能小。

3.引入浮動增量和浮動損失增量。通過分析可以知道，在實際“訂購—供貨—接收”的過程中，訂貨量不等于供貨量，由于運輸損失，供貨量也不等于接收量。所以在原材料的訂購與運輸中，如果忽略這一差異帶來的影響，經過時間周期的不斷累積，那么將會造成兩種情況：一是接收量小于訂購量；二是接收量大于訂購量。前者不能滿足生產需求，后者會造成運輸和倉儲的成本大大提高。因此，為了減少這一短期誤差帶來的長期影響，可以引入偏差變量[2]，同時偏差變量可以變硬約束為軟約束，更加貼合實際供應的情況。在實際情況中，企業在第k周的總供貨量gk，應該等于企業每周的產能E，加上由第k-1周實際貨物接收量與企業每周產能E的差值，定義為浮動增量β（+，-）；還應該減去第k-2周的浮動增量在第k-1周的轉運過程中的損耗量，定義為浮動損失增量β0（+），若第k-2周的浮動增量為正，則存在浮動損失增量，若為負，則代表在第k-1周需要減少貨物訂購，此時不存在浮動損失增量。

4.明確浮動增量與訂貨量、供貨量的關系。浮動增量將影響到下周的訂貨量，而訂貨量與實際供貨量、供貨量與實際接收量的值之間均存在差值（+，-）。所以，為了簡化問題，可以將浮動增量直接與每周的供貨量掛鉤，即定義每周所產生的浮動增量，將在下一周直接通過對供貨量的增減進行調節。

三、確定供應商數量：建立0-1整數規劃模型

1.決策變量的確定

在最少供應商的數量選擇問題中，引入0-1變量xij，表示第i個供應商是否被選擇進行原材料供應，令

其中j=1，2，3，分別代表A、B、C類原材料。

2.約束條件的確定

為滿足企業生產需求，需要總的供貨量G達到企業每周的產能E，即

其中，gi代表供應商的實際供貨量，bj代表第j類原材料生產1m3產品需消耗的相應類型的原材料量（單位：m3），E=2.82×104m3。

3.最優函數的確定

要確定企業在滿足生產需求的前提下，應選擇的供應商數量，即需要求的最小值。

四、制定訂購方案：建立類目標規劃模型

1.決策變量的確定

為了使企業倉庫每周的原材料接收量在企業達到產能的條件下盡可能小。引入比重因子wij∈{0，1}，即表示在第k周，第i個供應商供應第j類原材料的供應量占供應商總供應量Gk的比重。

2.約束條件的確定

(1)對總供應量Gk的約束

第k周的總供應量Gk應該等于企業每周的產能E、第k-1周產生的浮動增量βk-1和第k-2周產生的浮動損失增量β0k-2之和，即

其中，gi：供應商的實際供貨量；

bj：第j類原材料生產產品需消耗的相應類型的原材料量（單位：m3）；

βk-1：浮動增量，第k-1周的原材料接收量Sk-1與企業每周產能E的差值，即第k周的原料增減調節量，βk-1=E-Sk-1；

β0k-2：浮動損失增量，第k-2周的增減調節量在實際運輸過程中產生的損耗量，

β0k-2=βk-2·Pli·λk-2，其中Pli為第l家轉運商的運輸損耗率，浮動損失增量判別因子，即第k-2周若原材料的調節量為正，則在第k-1周的實際運輸中會產生一小部分的運輸損耗量βk-2·Pli，若原材料的調節量為負，則第k-1周的實際運輸中不存在運輸損耗量。

(2)對總接收量Sk的約束

在實際運輸過程中，轉運商會因為自身運轉能力的影響，造成在轉運過程中造成運輸損耗量，使得實際供應量與實際接收量有出入，因而，第k周的總接收量Sk應該等于企業每周的產能E、第k-1周產生的浮動增量接收量β'k-1，即

其中，sik：第k周第i個供貨商的原材料接收量；

bj：第j類原材料生產產品需消耗的相應類型的原材料量（單位：m3）；

β'k-1：第k-1周產生的浮動增量接收量，即第k-1周的原料增減調節量的實際接收量，β'k-1=βk-1-βk-1·Pli·λk-1，其中Pli為第l家轉運商的運輸損耗率，λk-1為浮動損失增量判別因子，描述是否產生正的原料調節量。

(3)對轉運商運輸量的約束

考慮到每家轉運商的運輸能力為6000m3/周，并且考慮到原材料的特殊性等原因，一家供應商每周供應的原材料應該盡量由一家轉運商進行運輸，即

其中，（wijgi）l：供應第j類原材料的第i家供應商由第l家轉運商進行運輸的供應量。

3.目標函數的確定

要制定最經濟的原材料訂購方案，則要使得第k周的訂購費用最小，而訂購費用與供應商的實際供應量有關，即要求訂購費用

取最小值。其中，aj：每消耗單位立方米的第j類原材料產生的產品量（單位：m3）；c：C類原材料的采購單價（單位：元）。

綜上所述，總的數學模型如下：

五、制定轉運方案：建立類目標規劃模型

1.決策變量的確定

要制定損耗最少的轉運方案，即要使在運輸過程中的損耗總量最小，而本周的損耗總量可以表示為本周的總供應量和總接收量的差。因此，可以繼續沿用訂購方案模型中的決策變量。即引入比重因子wij∈{0，1}，表示在第k周，第i個供應商供應第j類原材料的供應量占供應商總供應量Gk的比重。

2.約束條件的確定

(1)對總供應量Gk'的約束

第k周的總供應量Gk'應該等于企業每周的產能E、第k-1周產生的浮動增量βk-1和第k-2周產生的浮動損失增量β0k-1之和，即

其中，（wijgi）l：供應第j類原材料的第i家供應商由第l家轉運商進行運輸的供應量；βk-1、β0k-2與上一模型含義一致。

(2)對總接收量Sk'的約束

在實際運輸過程中，轉運商會因為自身轉運能力的影響，造成在轉運過程中造成運輸損耗量，使得實際供應量與實際接收量有出入，因而，第k周的總接收量Sk'應該等于企業每周的產能E、第k-1周產生的浮動增量接收量β'k-1，即

其中，（wijsik）l：供應第j類原材料的第i家供應商由第l家轉運商轉運至倉庫的接收量βk-1'；與上一模型含義一致。

(3)對轉運商運輸量的約束

考慮到每家轉運商的運輸能力為60003/周，并且考慮到原材料的特殊性等原因，一家供應商每周供應的原材料應該盡量由一家轉運商進行運輸，即

3.目標函數的確定

根據訂購方案所確定的供應商，通過合理分配轉運商，制定每周的損耗最少的轉運方案。要使損耗最少，那么在第k周，損耗總量Lk要最小，損耗總量=總供應量-總接收量，即目標函數為

minLk=Gk'-Sk'

綜上所述，總的數學模型如下：

六、模型求解

根據建立的確定供應商數量、制定訂購方案、轉運方案三個模型，得出在滿足企業生產需求的前提下：該企業至少應該選擇51家供應商；訂購費用最少的訂購方案與損耗最少的轉運方案。

第一，初值確定：1）設定企業初始庫存量，在開始兩周屬于庫存調節周期，兩周后庫存量趨于穩定，為滿足生產需求所需庫存量和企業的原材料庫存量不少于滿足兩周生產需求的要求，同時，結合近5年402家供應商的供貨量的每周歷史數據以及企業每周的產能要求，又分析可知后面每周的企業倉庫原材料接收量約為E。綜合上述要求，通過計算，可以得到企業初始庫存量約為1.9E，為了簡化模型求解，在此設定企業初始庫存量為2E。

圖1 庫存量變化概念圖

2）設定浮動增量初始值為E，即按照正常供貨量第1周倉庫原材料接收量約為E，但不能在后續的生產周內滿足兩周生產需求的原材料庫存量，因此，設定模型中的浮動增量初始值為E以滿足庫存量需求。第二，輪休機制：供應商在完成一周的原材料供應任務后，為避免其生產壓力過大，采用供應商不連續工作機制（輪休機制），即該供應商本周被選擇供貨后，在下周不再具備被選擇資格。第三，優先分配：首先對轉運商的轉運能力進行評估，運輸平均損耗率越低代表轉運能力越強，以此得到轉運商轉運能力的評估表，見表1。采用優先分配原則，即優先分配轉運能力強（平均運輸損耗率低）的轉運商給供貨量大的供應商。

表1 轉運商轉運能力評估

七、靈敏度分析

在實際的訂購和轉運過程中，考慮到需求量Q和庫存S對應的值與真實的值可能存在一定的偏差，至于不同種類材料的單位訂購費用C、運輸和存儲費用是確切值，故不需要再做考慮[3]。采取對需求量Q和庫存S做增加或減少10%大小的偏差處理。從圖2中可以看出，對于需求量小范圍的變化，相應的最小訂購費用的波動性也較低，即可以比較靈敏的求出不同需求量下的最小訂購費用，而受到的擾動較小。

圖2 靈敏度分析

八、結束語

本文針對生產企業原材料的訂購與運輸問題。通過建立0-1規劃模型分別研究供應商數量、最優訂購方案和轉運方案。從企業產能的角度，通過確定供應商的最小數量，根據生產需求制定生產原材料的訂購方案；從轉運損耗的角度，根據轉運商的運輸能力，以最小損耗總量為目標函數制定生產原材料的轉運方案。同時，本文對所建立的模型進行了靈敏度分析，反映出該模型的穩定性，可以解決生產實際中的類似問題。

引用出處

[1]2021年全國大學生數學建模競賽題[EB/OL].[2021-09-09].http://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/4d73a36cc88b35bd4883c276afe39d89.html.

[2]司守奎,孫兆亮.數學建模算法與應用[M].北京:國防工業出版社,2020:430-433.

[3]王圣東.時變需求下供貨商與銷售商聯合生產庫存模型[J].合肥工業大學學報(自然科學版),2005(02):201-205.