壓電懸臂梁振動模糊滑模控制

陳紅霞,劉文光,方孟翔,吳興意,高銘陽,馮逸亭

(南昌航空大學 航空制造工程學院，江西 南昌 330063)

0 引言

振動存在于飛行器的滑跑、起飛、飛行直至降落的整個過程。由于日益追求高性能、長續航和高穩定性，故現代飛行器要求應用輕質和低阻尼結構[1-2]。飛行器結構(如飛機壁板和機翼)服役時，不但受振動載荷作用，且結構振動自由衰減速度較慢，由此導致疲勞損傷，嚴重危及飛行器結構的安全可靠性[3-4]。因此，為保障飛行器結構的工作穩定性和延長其使用壽命，研究結構振動控制方法具有重要意義。

滑模控制是通過控制量的切換使系統狀態沿滑模面滑動[5]，使系統在受到參數攝動和外界干擾時具有良好的魯棒性，因而被研究者廣泛應用于結構振動控制中。潘成龍等[6]針對柔性自旋導彈振動問題設計了模糊滑模控制器，有效地抑制導彈尾部振動。董彬等[7]采用準滑模控制方法減小了風力機葉片在風載荷作用下的振動位移，在結構參數不確定情況下該方法具有良好的魯棒性。Do等[8]開發了模糊滑模控制器，有效地抑制了汽車座椅懸架的振動，增強了系統對不確定性和干擾的魯棒性。Qiu等[9]提出了滑模預測控制方法，實現了壓電柔性懸臂板振動的快速抑制。與PID控制相比，該方法具有更好的控制性能。Qi等[10]提出了滑模控制策略，在存在時變測量延遲的情況下有效地抑制了亞音速壓電復合板的振動。袁明新等[11]設計了帶濾波的滑模控制器，并采用融合云模型和反向學習的克隆算法優化滑模參數，有效地抑制鍛壓機沖擊對鍛造機器人造成的殘余振動。Li等[12]研究了受擾離散系統中存在的各種未知不確定性抖振問題，提出了基于切換的離散時間模糊滑模控制方法，提高欠驅動機器人系統的控制性能。Xie等[13]設計了基于創新強化學習的模糊自適應滑模控制器，在保持魯棒性的同時減小了抖振效應。Song等[14]開發了分數階積分模糊滑模控制方案，利用神經模糊網絡系統逼近分數子系統中存在的不確定非線性函數，使系統狀態軌跡在有限時間內收斂。Suilun等[15]針對具有障礙物約束、模型不確定性和分布擾動的非線性柔性懸臂梁系統，發明了基于自適應非對稱障礙函數的滑模控制律，實現了分布式干擾抑制和模型不確定性補償。Tian等[16]開發了積分終端滑模魯棒控制方法，抑制空間智能桁架結構的受迫振動。

對振動滑模控制已有大量研究，但是對如何消除滑模控制帶來的抖振現象研究較少。抖振不僅影響控制的精確性，而且易激起系統其他模態振動，破壞系統性能。因此，本文在采用滑模控制抑制懸臂梁振動的基礎上，引入模糊規則調節切換增益，利用飽和函數替換符號函數，以減小滑模控制帶來的抖振問題。

1 壓電懸臂梁的有限元建模

1.1 壓電梁單元的建模

圖1為壓電懸臂梁幾何模型。在梁的根部上下表面貼壓電陶瓷分別作為作動器和傳感器。將壓電懸臂梁分為若干個梁單元，包括壓電梁單元以及基于Euler-Bernoulli理論假設的均質梁單元。梁的總長為L，壓電梁單元長為le，壓電梁單元用于模擬壓電元件作為傳感器/作動器結合的區域，而梁的其余部分由均質梁單元模擬。

圖1 壓電懸臂梁幾何模型

根據拉格朗日方程，可推導出均質梁單元的運動方程[17]為

(1)

式中：fb為均質梁單元受到的外界力；qb為梁單元節點的位移矩陣；Mb，Kb分別為均質梁單元的質量陣、剛度陣，且有：

(2)

(3)

式中：ρb為均質梁的密度；Ab為均質梁單元的表面面積；Eb,Ib分別為均質梁單元的彈性模量和轉動慣量；x為梁長度方向坐標；N為梁單元形函數向量。

同理，可推導出壓電梁單元的運動方程

(4)

式中：fp為壓電梁單元受到的外界力；qp為壓電梁單元節點的位移矩陣；Mp，Kp分別為壓電梁單元的質量陣、剛度陣，且有：

(5)

(6)

式中：EI為壓電梁單元的等效抗彎剛度；A為壓電梁單元表面面積；ρ為壓電梁單元的密度。

1.2 壓電傳感與作動方程

懸臂梁振動時，傳感器層不受外場作用，粘貼于梁表面的壓電傳感器將會產生電荷，壓電傳感層兩個表面電極間的電壓Vs(t)為

(7)

(8)

式中:Cp為壓電傳感器電容;Q為電荷；b為寬度。

在壓電作動器上施加外部電壓Va，壓電片將產生形變抑制梁的振動，壓電梁單元產生的彎矩Ma為

(9)

作動器施加在壓電梁單元上產生的控制力為

fctrl=hVa

(10)

(11)

1.3 壓電懸臂梁的動力學方程

將壓電懸臂梁的單元剛度陣、單元質量陣組裝成總質量陣、總剛度陣，可推出考慮比例阻尼的壓電懸臂梁的運動方程[18]為

(12)

式中：M,K分別為壓電懸臂梁總質量矩陣和剛度矩陣;Fctrl為懸臂梁所受控制力。

整體節點位移列陣q和模態阻尼矩陣D分別為

(13)

D=αM+βK

(14)

式中：α，β為結構阻尼常數；m為單元節點個數。

(15)

式中：系數A，B，C分別為輸入矩陣、輸出矩陣和傳輸矩陣；u(t)為輸入電壓；y(t)為輸出電壓。

2 壓電懸臂梁有限元模型的降階

利用平衡截斷法簡化壓電懸臂梁模型可得到相應降階模型。當方程(15)可控、可觀且漸進穩定時，則其可控Gramian矩陣Wc和可觀Gramian矩陣Wo都是正定的，且滿足Lyapunov方程[20]：

(16)

假設存在非奇異矩陣T1，使Wc=Wo且為對角陣，則系統內部平衡，方程(15)可轉換為

(17)

當系統內部平衡時有：

(18)

且λ1>λ2>…>λn，對角陣可寫成兩組奇異值的形式:

(19)

式中：λ(1)為要保留的可控性和可觀測性強的子系統；λ(2)為要刪除的可控性和可觀測性弱的子系統。

當λ(1)取合適的階數時，該“強”子系統保持了原始系統的固有屬性。

將降階模型和殘差模型簡化為

(20)

式中(A11,B1)為最高可控性和可觀測性對。

3 模糊滑模控制策略

3.1 滑模控制

利用滑模控制對建模誤差的不靈敏性設計主動控制器，存在線性時不變系統[21]：

(21)

式中A12X2為建模誤差。

滑模控制律由等效控制ueq和切換控制usw構成。切換函數設計為

(22)

式中Cs為滑模面參數。

ueq=-KeqX1(t)

(23)

式中Keq為等效控制增益，且：

Keq=(CsB1)-1CsA11

(24)

定義Lyapunov函數：

(25)

到達條件為

(26)

usw=(CsB1)-1(-εsgns-ks)

(27)

式中：ε>0，k>0，ε為增益系數；k為指數趨近參數。增益系數ε必須滿足以下條件：

ε>‖CsA12X2‖

(28)

等效滑模控制律為

u=ueq+usw

(29)

則：

sCsB1[-KeqX1+(CsB1)-1(-εsgns-

ks)]+sCsA12X2+sCsA11X1=s(-

εsgns-ks+CsA12X2)≤-ε‖s‖-

k‖s‖2+‖s‖‖CsA12X2‖

(30)

3.2 模糊滑模控制

選用飽和函數sat(s)代替符號函數以降低滑模抖振。飽和函數為

(31)

式中飽和函數參數δ>0。

(32)

(33)

式中：NB為負大；NM為負小；ZO為零；PM為正小；PB為正大。

模糊系統的輸入輸出隸屬函數如圖2、3所示。模糊控制規則設計如表1所示。

圖2 輸入隸屬函數圖

圖3 輸出隸屬函數圖

表1 模糊控制規則表

(34)

式中G為比例系數，根據經驗確定。

根據式(30)可得：

k‖s‖2+‖s‖‖CsA12X2‖

(35)

圖4 模糊滑模控制系統結構圖

4 結果與討論

通過COMSOL軟件建立壓電懸臂梁的有限元動力學模型，將壓電梁劃分為6個單元，對壓電懸臂梁的一端進行完全固支，形成懸臂梁邊界條件。壓電懸臂梁的材料參數如表2所示。表3為計算與仿真固有頻率結果比較。由表可知兩者基本吻合。

表2 壓電懸臂梁的材料參數

表3 計算與仿真固有頻率結果比較

圖5為原系統和降階模型頻響曲線。由圖可知，壓電懸臂梁模型狀態從24階降到8階，兩者頻響曲線基本一致，說明降階模型與原系統具有相似的輸出特性，并保留了原系統的主要模態，該降階系統在頻域上對原系統有很好的近似效果，驗證了降階方法的有效性。以降階模型為對象，在梁的自由端施加15 mm的初始位移激勵，利用仿真驗證模糊滑模控制器的有效性。

圖5 原系統和降階模型頻響曲線

圖6為未控制時仿真結果。由圖可知，壓電懸臂梁在受到外界初始激勵作用下會產生較大振動，在自身阻尼的影響下2 s后停止。隨著振幅的減小，傳感器電壓逐漸減小。圖7為滑模控制參數k不同時曲線比較。圖8為滑模控制參數ε不同時曲線比較。由圖7、8可知，壓電懸臂梁施加滑模主動控制后，振動得到明顯抑制。當ε=3時，指數趨近參數k值越大，振動抑制效果越好，但不能改善滑模抖振現象。k=5時，ε越大，曲線趨近于0時速度越快，振動抑制時間越短。

圖6 未控制時仿真結果

圖7 滑模控制參數k不同時曲線比較

圖8 滑模控制參數ε不同時曲線比較

隨著ε的增大，施加在作動器上的控制電壓產生的抖振越明顯。指數趨近參數k主要影響趨近模態，ε主要影響滑動模態，當系統狀態遠離滑模面時，k值越大可使其快速到達滑模面。ε值越大,使系統狀態趨近于滑模面時的速度越大，且在滑模面滑動時抖振也越大。因此，選取合適的k和ε可使系統狀態快速到達滑模面,并減小抖振。

引入模糊規則適時調節切換增益ε，設置ε=3,k=5,G=900。圖9為滑模控制和模糊滑模控制比較。由圖可知，單純使用滑模控制時振動抑制時間更短，但抖振較大，引入模糊規則后，施加在作動器上的最大控制電壓減小，且能有效地降低抖振，但調節時間增加。由于符號函數不連續，因而模糊滑模控制時作動器輸入電壓還是存在較小的抖振。

圖9 滑模控制和模糊滑模控制比較

圖10為飽和函數模糊滑模控制結果。由圖可知，用飽和函數替換符號函數，抖振得到了明顯改善。當飽和函數參數δ取值越小時，振動抑制速度越快。因此，基于飽和函數的模糊滑模控制不僅能抑制壓電懸臂梁的振動，還能有效地降低滑模控制的抖振。

5 結論

以壓電懸臂梁為對象，基于狀態空間動力學模型設計模糊滑模控制器，考慮建模誤差下對懸臂梁進行振動控制。主要結論如下：

1) 利用平衡截斷法對模型進行降階處理，將24階系統模型簡化為8階，提高了計算速度。

2) 基于降階模型設計滑模控制器，控制存在較大抖振，增大k、減小ε不僅能加快振動抑制，還可削弱抖振。

3) 引入模糊規則，適時調節增益系數ε，用飽和函數替換符號函數，可改善滑膜控制存在的抖振現象，參數δ取值越小，振動抑制效果越好。