基于模態局部化的可調式壓電驅動諧振質量傳感器的設計

劉漢彪，王發光，劉 晨，李 磊，馬馳騁

(山東理工大學 交通與車輛工程學院，山東 淄博 255049)

0 引言

微懸臂梁傳感器具有體積小、靈敏度高、結構易加工及制作成本較低等優點，通過諧振元件吸附質量前后的力學特性變化檢測微質量、輪胎壓力等參數[1-4]。研究高性能的諧振質量傳感器在工業、車輛、航空航天等領域具有特別重要的作用。

1958年，諾貝爾獲獎者菲利普·沃倫·安德森[5]首次發現模態局部化原理，成為模態局部化諧振傳感器發展的起源。模態局部化指初始振動系統由于外部擾動導致各諧振器振動幅值發生變化及振動系統產生能量集中現象[6]。Zhang等[7]利用振幅比實現外部物理量的變化，設計出模態局部化加速度傳感器，此類傳感器的靈敏度取決于諧振器剛度與耦合器剛度之間的比率。當采用弱模態耦合剛度時，其靈敏度比傳統頻率移動變化的諧振器靈敏度高2～3個數量級。Tony等[8]設計了兩自由度機械耦合等長諧振傳感器，在模態局部化作用下，傳感器的靈敏度較單自由度頻移檢測傳感器的靈敏度、檢測范圍得到顯著提高。張等[9]研究了兩懸臂梁的本征頻率和振型的變化規律，在兩個懸臂梁之間機械耦合形成諧振傳感器，質量剛度的差異是改變轉向模態的調諧參數。趙等[10]提出了一種三自由度弱耦合諧振器系統，通過測量共振模態下振幅比值作為靈敏度輸出量，可以同時實現高靈敏度和良好的共模抑制。Li等[11]實驗研究了基于單懸臂梁、雙懸臂梁、三懸臂梁的諧振頻移的靈敏度方程。目前對可調式諧振質量傳感器檢測性能的研究較少。

模態局部化現象中同時伴隨著能量的局部化，能量的變化與耦合剛度、擾動質量有關[12-13]。本文基于模態局部化原理，利用雙自由度非對稱耦合梁，通過施加調諧質量，設計了一種可調式諧振質量傳感器，用以提高傳感器的靈敏度和擴展檢測范圍，并對調諧前后結構諧振模態下的振動特性和檢測性能做了對比分析。最后在較高電壓下驅動諧振傳感器，利用超諧共振現象對諧振器進行檢測性能分析。

1 模型分析

1.1 理論建模

圖1 諧振梁模型示意圖

(1)

(2)

機械耦合共振傳感器的邊界條件為

(3)

(4)

表1為實驗尺寸參數。表中，L1為諧振梁1長度，L2為諧振梁2長度，L為耦合梁寬度，L3為壓電陶瓷長度，wb為諧振梁寬度、耦合梁長度，hb為諧振梁、耦合梁厚度，wp為壓電陶瓷寬度，hp為壓電陶瓷厚度。

表1 模型參數 單位：mm

(5)

(6)

其中：

(7)

為了簡化式(1)、(2)，引入無量綱量：

(8)

得到無量綱方程：

C0V(x,t)[δ′(x)-δ′(x-L3)]+

k′(y2-y1)δ(x-l1)

(9)

y2)δ(x-l1)

(10)

其中:

(11)

邊界條件為

y′1(0,t)=y1(0,t)=y″1(1,t)=

y?1(1,t)=0

(12)

y′2(0,t)=y2(0,t)=y″2(l′,t)=

y?2(l′,t)=0

(13)

式(9)、(10)的解可以表示為

(14)

(15)

式中φ1,i與φ2,i分別是第i個線性無阻尼振型。特征值方程為

(16)

(17)

將式(16)、(17)代入式(9)、(10)中，求解[18]得到：

C0V(x,t)[φ′1(L3)-φ′1(0)]+

(18)

(19)

其中:

(20)

只考慮一階和二階振型，取n=1，為了方便簡化，將u1、u2、φ1、φ2、β1、β2分別代替式(18)、(19)中u1,1、u2,1、φ1,1、φ2,1、β1,1、β2,1，得到二自由度的動力學控制方程：

C0V(x,t)[φ′1(L3)-φ′1(0)]+

(21)

(22)

不考慮質量擾動的情況下，通過COMSOL軟件[19]仿真分析，保持諧振梁1的尺寸不變，調節諧振梁2的尺寸，使前兩節固有頻率近似相等，如圖2所示,得到耦合諧振器結構前兩階振型，其固有頻率分別為57.1 Hz、58.2 Hz，耦合強度系數k=0.000 1 N/m。為了充分展現系統能量局部化的現象，此處耦合剛度不易太大。

圖2 諧振梁前兩階振型

求解式(21)、(22)可得二自由度線性系統的雅克比矩陣：

(23)

求解式(23)的特征值得到系統的諧振頻率：

(24)

假設不添加附加質量，即η′1=η′2=η′3=0，由式(24)計算得到諧振梁1、2對應的前兩階固有頻率值分別為56.9 Hz、58.5 Hz。與仿真結果相比，驅動諧振梁1固有頻率誤差為0.357%，諧振梁2固有頻率誤差為0.515%，由此驗證上述COMSOL有限元軟件分析模型及分析方法的可靠性。

1.2 實驗模型分析

諧振梁選取的實驗材料為鈹青銅，壓電驅動片為PZT-5H，尺寸參數與理論建模和仿真保持一致。圖3(a)為諧振傳感器實驗原理圖。壓電陶瓷片受到交變電場的作用驅動諧振器，位移傳感器測量圖3(b)中諧振梁1(A點)和諧振梁2(C點)的振幅變化。研究過程中使用的質量塊分為兩類：

圖3 實驗裝置原理圖

1) 調諧質量。材料選取釹鐵硼磁鐵，附加位置為諧振梁1中點。

2) 待測質量。材料選擇質量為1 mg鐵質量塊，待測質量范圍選取0～15 mg。

在無調諧質量、無待測質量擾動時，通過掃頻得到諧振梁1、2的固有頻率分別為58.2 Hz、57.1 Hz。與前述相比，固有頻率存在較小的波動，原因是耦合梁寬度的微小變化和壓電驅動器粘結的膠水等因素產生的誤差。下面分別研究無調諧質量、B點施加調諧質量下，A、C點附加待測質量后前兩階的振動特性。

無調諧質量下，以諧振梁1為檢測梁，在A點逐漸添加待測質量塊，系統的一階共振頻率逐漸減小，二階共振頻率基本保持不變，頻率變化如圖4(a)所示，諧振系統產生頻率轉向。若以諧振梁2為檢測梁，在C點逐漸添加質量塊后，變化趨勢如圖4(b)所示，一階共振頻率逐漸減小，二階共振頻率基本不變。

圖4 共振頻率隨著擾動質量變化趨勢

圖5為無調諧質量下，諧振梁1，2分別為檢測梁時呈現的振幅變化，A1為諧振梁1的位移，A2為諧振梁2的位移。圖5(a)、(b)分別表示在前兩階模態下質量附加在A、C振幅大小。

圖5 諧振梁振幅隨著質量變化曲線

由圖5(a)可見，在57.1 Hz驅動下，當諧振梁1作為檢測梁，振幅的變化皆隨著待檢測質量的增加而逐漸減小。諧振系統由于模態局部化現象，系統能量聚集在諧振梁2上，抑制能量向諧振梁1傳遞，故諧振梁2的振幅在第一模態驅動頻率下變化相對平緩，有利于諧振傳感器的質量檢測。

由圖5(b)可見，當諧振梁2作為檢測梁，隨著質量的增加，一階驅動頻率下，諧振梁1的位移呈先減小后增大的趨勢，施加待檢測質量后，系統共振頻率遠離驅動頻率，引起振幅減小；再持續添加待檢測質量，能量集中于諧振梁1，抑制能量傳遞至諧振梁2。二階驅動頻率下諧振梁1的振幅具有平緩減小趨勢。

綜上所述，在一階模態下以諧振梁1、2作為檢測梁、二階模態下以諧振梁2為檢測端可以得到高分辨率并具有良好幅值比的振動幅值曲線。振幅是以幅值比為輸出參數的傳感器的重要參數，提高振動的幅值是提高傳感器分辨率的重要途徑。

如圖6(a)、(b)所示，在諧振梁1作為檢測梁時，選取振幅的實驗數據A2/A1為輸出參數，一階模態下初始振幅比為1.4，二階模態下初始振幅比為0.96。如圖6(c)、(d)所示，以諧振梁2作為檢測梁時，選取振幅的實驗數據A1/A2為輸出參數，一階模態下振幅比初始值為1.01，二階模態下振幅比初始值為0.989。

圖6 諧振梁振幅比變化曲線

引入無量綱擾動系數：

(25)

靈敏度：

(26)

(27)

由圖6(a)可見，以諧振梁1作為檢測梁，諧振器在添加擾動質量塊后，其振幅比值持續增加，在1～6 mg具有線性的振幅比變化趨勢。由圖6(c)、(d)可知無調諧質量，以諧振梁2為檢測梁，諧振器在2～10 mg內具有良好的檢測范圍和靈敏度。通過實驗數據擬合一次函數，根據線性回歸方程的決定系數R2，若R2接近于1為理想狀態值，圖6中線性區間的R2>0.99保證了傳感器測量線性區間數據的準確性。

2 可調式諧振質量傳感器的設計

在諧振器1中間添加調諧質量，諧振梁1共振頻率為56.4 Hz，諧振梁2共振頻率為57 Hz。以諧振梁1作為檢測梁，由圖7(a)可知，添加待檢測質量后，振幅隨著質量的增加而持續下降，諧振梁2的振幅下降趨勢較平緩，模態局部化現象表現減弱；由圖7(b)可見，以諧振梁2作為檢測梁，在一階模態下諧振梁1的振幅先減小后增大，諧振梁2的振幅先增大后減小，原因是在諧振梁2的端部添加待檢測質量引起諧振梁2固有頻率逐漸接近于驅動頻率達到共振現象，隨著質量的增加，諧振梁2的固有頻率在遠離驅動頻率，故振幅逐漸減小。系統的能量變化趨勢由初始狀態轉變為能量聚集在諧振梁1，并抑制能量傳遞至諧振梁2，體現出了通過能量局部化現象設計模態局部化傳感器的可行性。綜上所述，添加調諧質量可使振幅變化趨勢明顯，提高傳感器的分辨率。

圖7 諧振梁振幅隨著質量變化曲線

圖8(a)、(b)為當諧振梁1中間(B點)施加調諧質量后，以諧振梁1作為檢測梁的前兩階模態下所得振幅比值A2/A1，振幅比值變化趨勢平緩。圖8(c)、(d)為當諧振梁1中間施加調諧質量后，以諧振梁2作為檢測梁的振幅比值A1/A2變化趨勢，相對于無調諧質量，在3～14 mg時，由于模態局部化的影響，諧振結構的靈敏度不僅得到提高，且線性檢測區間提高了30%，這有利于增加傳感器的檢測范圍。圖8(d)在相對于無調諧質量結構，其線性度區間增加、靈敏度降低，在提高檢測范圍的同時，可能會降低線性傳感器的靈敏度，使用適當的靈敏度換取寬檢測范圍在未來傳感器的研究中是有必要的。

圖8 諧振梁振幅比變化曲線

3 非線性分析

研究發現，在無調諧質量下，當驅動電壓為90 V，驅動頻率為28.9 Hz時，諧振系統出現超諧共振現象。以諧振梁1、2分別作為檢測梁，得到質量-振幅、質量-振幅比的關系，為了使超諧共振現象明顯，選取驅動電壓為120 V，在諧振梁1的A點、諧振梁2的C點分別施加檢測質量，如圖9所示。由圖可見，振幅在A點產生的諧振梁1的變化速率小于質量檢測在C點產生的諧振梁1的變化速率。

圖9 諧振梁振幅隨著質量變化曲線

圖10為諧振梁振幅比變化曲線。由圖可見，超諧共振下，以諧振梁1作為檢測端時，選取振幅比A1/A2為輸出量綱，線性識別區間為1～9 mg。以諧振梁2作為檢測段，選取振幅比C1/C2為輸出量綱，線性識別區間為1～7 mg，靈敏度相對于無調諧質量有所提高，線性區間變小。

圖10 諧振梁振幅比變化曲線

4 結束語

建立基于模態局部化的非對稱壓電驅動的質量傳感器動力學理論模型，并對其進行求解。首先通過實驗研究了無調諧質量結構模型在不同共振模態下，以諧振梁上A、C點作為檢測點，施加不同大小的待檢測質量，對質量傳感器的頻率移動、振動幅值、振動幅值比的變化趨勢進行了分析和探討。給出了文中以振動幅值比為輸出參數的靈敏度計算方式，為了保證檢測準確度，對實驗數據的線性區間進行一次擬合，并給出決定系數R2作為準確度參考系數。其次為了對質量傳感器結構的優化設計，提出了在非對稱壓電驅動諧振結構的B點施加調諧質量，達到有效、靈活地改變質量傳感器的檢測范圍、靈敏度及分辨率。實驗結果表明，相對于無調諧質量諧振器的檢測范圍提高了30%，靈敏度可以保持在10數量級。最后對質量傳感器進行非線性分析，即系統在一定的驅動頻率和驅動電壓下產生超諧共振，并研究了超諧共振在附加待檢測質量后的振幅特性變化。結果表明，檢測范圍變化減小，靈敏度提高了80%。