利用知識互聯破解初中“有理數除法”教學難點

陳潔

（上海市竹園中學 上海 200137）

一、簡介

1.背景介紹

當前階段，學生學習了滬教版教材預備年級下冊第五章“有理數”前六節的內容。掌握了分數的乘除法相關知識，以及有理數的加、減、乘法的運算法則，即將開始學習第七節“有理數的除法”的內容。該節內容的教學重點是熟悉有理數除法的運算規律，掌握運算法則，確定商的符號，難點是靈活運用除法法則。根據以往的教學經驗可知，初學時學生會遇到的障礙主要包括：①容易忽視除數必須非零；②不能便捷、清晰地確定運算結果的符號；③求解除數的倒數缺少方法。

2.本文貢獻

本文通過分析學生在“有理數除法”學習中遇到的困難，總結教學經驗和教學規律，設計了基于知識互聯的“有理數除法”教學方法。該方法引導學生借助觀察、思考、類比和歸納等方法，依據已經掌握的分數除法以及有理數加、減、乘法的運算法則，經歷有理數除法運算規律的分析與推理，初步形成感性認識。基于知識互聯的“有理數除法”教學方法，能夠培養學生主動挖掘各知識點之間的相互聯系，自主探索構建知識體系的能力。

二、基于知識互聯的“有理數除法”課堂教學

本文將“有理數除法”的課堂教學劃分為以下三個階段：知識準備；知識互聯探索；方法凝練。幫助學生依據已經掌握的知識點，自主探索整數運算、分數運算和有理數乘除法運算之間的知識互聯，明確有理數除法的運算規律與性質，理解運算法則，培養學生構建知識體系的能力，促使學生從感性經驗到理性認知的過渡，最終具備完成知識理論化描述的能力。

1.知識準備

知識準備是本教學方法的前導階段，主要包括以下兩個環節：（1）知識導入；（2）明確求除數倒數的方法。通過引導學生梳理分數除法運算中求除數倒數的方法，強調除數的取值范圍，探索有理數除法的特點，及其和整數除法、分數除法的差異。本階段的目的：借助乘除法運算的互逆關系，明確求倒數的方法和思考方式，將對有理數除法性質模糊認識逐步轉變為清晰的運算法則做好前期準備工作，為建立有理數運算與整數運算、分數運算之間的聯系奠定基礎。

（1）知識導入

在課堂導入1中，學生可以通過觀察整數除法中被除數、除數和商的符號之間的關系，類比整數運算法則，探索有理數除法運算法則，引導學生掌握從已知探索新知的數學學習方法，以及從直觀思維到抽象思維的數學學習規律。

課堂導入1 口算：5×（-7）=__；（-5）×（-7）=__；35÷（-5）=__；35÷（-7）=___。

根據課堂導入1，請學生嘗試歸納算法。

生1：兩數相乘或者相除，如果是兩個正數，結果就是正的。如果是一正一負，結果就是負的；

生2：兩數相乘或者相除，同號為正，異號為負；

生3：兩數相除，等于被除數乘以除數的倒數。

（2）明確求倒數的方法

利用課堂導入2和例題1，引導學生明確有理數除法運算和分數除法運算中求除數倒數方法的一致性。即先將帶分數化為假分數，或者小數化為分數后，再將除數的分子與分母顛倒求其倒數，最后分析題目中標注各個字母取值范圍的必要性。學生明確了求有理數倒數的方法與思考路徑后，有必要將新知建構活動難度增大。筆者設計了例題2，求字母的倒數。設計的新問題再次引起學生的注意。在探索有理數運算與整數運算、分數運算乃至整式運算各知識點之間的聯系過程中，培養學生數學思維的系統性和條理性。

課堂導入2 填空：①0÷4=____；② 0÷（-2）=____。

例題1：求下列各數的倒數：

例題2：求下列各數的倒數：

2.知識互聯探索

知識互聯是本教學方法的核心階段。主要包括以下三個環節：（1）形成理性思考，總結有理數除法規律；（2）初步掌握規律；（3）練習鞏固提高。有理數運算是對整數運算和分數運算的整合與拓展，因此它們的運算規律具有可比性。知識互聯的教學方法即是依據有理數運算的上述特點，引導學生利用整數和分數的運算性質解決有理數乘除法運算轉換的問題。本階段的目的是：挖掘各個知識點之間的相互聯系，將零散的知識編織成網，完善學生的知識體系，提升學生構建數學思維模式的能力。

（1）形成理性思考，總結有理數除法規律

在本環節中，利用例題3引導學生通過觀察、思考、類比和歸納整數運算與有理數運算的知識內部聯系，將感性認識以文字語言的形式表現，鼓勵學生嘗試自主突破教學重難點。學生從會做練習到熟悉有理數除法運算性質的過程中，厘清問題的本質，得到解決問題的通法，體會數學知識之間具有的關聯性，強化對有理數除法運算法則的理解。

例題3：計算：

請學生再次嘗試總結運算規律。

生4：除以一個數等于乘以一個數的倒數；

生5：除以一個分數等于乘以一個分數的倒數；

生6：除以一個不為零的數等于乘以一個不為零的數的倒數。

鞏固練習：填空：有理數除法法則。

兩數相除，____得正，____得負，并把____相除；零除以任何一個不為零的數，都得_______；除以一個_______，等于乘以________。

（2）初步掌握規律

本文的設計重點是熟悉有理數除法的運算規律，掌握運算法則。因此，教學過程中，借助例題4解決熟悉有理數乘除法運算邏輯順序。常規的運算邏輯順序是先確定結果的符號，然后將除法變為乘法，最后類比分數的運算完成化簡，得到最終結果。在建立了分數運算、整數運算與有理數運算的知識互聯后，學生初步具備化繁為簡的能力，為提升解決數學問題的思維能力奠定了基礎。

例題4：計算：

通過例題4，學生經歷反復領悟有理數除法法則的過程。

生7：要將除法都變成乘法才能做；

生8：首先，觀察題目中正負號的個數確定結果的符號，然后，通過求倒數的方法將除法轉化為乘法后再做；

生9：如果乘除法中出現零，結果就為零；

生10：審題時先看有沒有出現零，如果有，那么結果就為零。如果沒有就先確定結果的正負號，然后除法都變為乘法，先化簡，最后得到結果。

3.總結凝練

總結凝練是本教學方法的關鍵階段，其包括從總結有理數除法運算的恒等變形規律，到凝練有理數除法的常規運算邏輯順序，目的是培養學生在知識學習過程中從感性經驗過渡到理性認知，從解決特殊案例拓展到解決普遍問題的能力。

（1）實現有理數除法法則表述

為達成教學目標，如果只是一味地增加練習會導致學生對于運算法則僅限于機械模仿和淺表理解，無法做到用已有的知識經驗解決新情境中的問題。此處教學設計利用知識互聯關注運算法則的細節辨析，加深學生對于有理數運算法則特征的理解，深刻地理解數學概念和法則等數學結論。

（2）建立思考模式

為了促使學生建立學習數學的思考模式，筆者設計了一道從具體的數字過渡到未知字母、從特殊到一般的變式練習，為今后學習整式除法和分式的除法建立必要的知識互聯，做好前期的知識儲備。

三、效果評估

為了驗證本文所提出的利用知識互聯破解初中“有理數除法”教學難點的方法應用有效性，分析該方法對于改進學生學習體驗和提高學生掌握知識的程度的作用。筆者選取所教的六（1）班和六（2）班的學生參與實驗。兩個班級是平行班級，可以認為無顯著差距。將1班作為實驗班，采用利用知識互聯破解初中“有理數除法”教學難點的教學方法；將2班作為對比班，采用傳統的教學模式。

1.學生學習體驗情況分析

教學結束后，針對兩個班級學生的學習過程進行問卷調查。題目采用4級記分制：從“完全可以”“基本可以”“基本不能”到“完全不能”，依次計分4到1分。具體問卷見表1所列。

表1 學生學習體驗問卷

利用知識互聯的教學方法注重分析數學知識之間的互聯，引導學生明確有理數除法運算的邏輯順序和思維方法，幫助學生在學習過程中形成了清晰的解題思路，強化學生對于有理數除法法則的理性認識，從而緩解了學生對于本節課學習數學的畏難情緒[2]。問卷結果符合教學設計理念。實驗班在第3個問題、第7個問題和第8個問題中得分明顯高于對照班。說明利用知識互聯破解初中“有理數除法”教學難點的教學方法，在培養學生厘清知識之間的聯系和自主探索構建知識體系的能力方面具有顯著的效果（圖1）。

圖1 學習體驗分析表

2.學生知識掌握程度情況分析

筆者對兩個班級進行數學測試檢查學生課后的知識掌握情況。測試卷滿分為100分，80分及以上為優良，60分及以上為及格，低于40分為低分。測試結果顯示，實驗班的均分高于對比班4.8分，優良率無明顯變化，及格率高出接近14%，低分率低于對比班11.4%。說明利用知識互聯破解初中“有理數除法”教學難點的教學方法對于學習成績優良段的學生影響不大，但是能夠明顯提升班級及格率和降低低分率（表2）。

表2 數學測試成績對比

結語

基于知識互聯分析的教學方法，利用學生的已有知識結構基礎和認知規律，在“有理數除法”的教學中進行實踐應用。結果表明，該方法具有培養學生構建知識體系和明確數學學習邏輯順序的能力，以及養成較好的思維模式等優點。在提升學生的學習能力方面表現突出，證明了其在教學實踐中的有效性，能夠較為容易地推廣到一般其他的教學實踐中，具有良好的普及價值。在完成知識的理論化描述和抽象表達的過程中，實現課程標準所提出“讓學生學會自行獲取數學知識的方法，體會數學思考和創造的過程”的目標。