應用固體力學實例的研究性教學與學習的具體實踐*

李世遠 劉丁源 姜不易

（中國石油大學（北京）石油工程學院 北京 102249）

引言

應用固體力學（原課程名為應用彈塑性力學）,是校級品牌課及研究生精品課程。應用固體力學以固體材料或結(jié)構的應力、應變理論以及在工程中的應用為主要對象的一門基礎性、實踐性很強的應用學科，在石油工程、航天航空工程、船舶與海洋工程、汽車工程、電力工程等領域均有重要應用。本課程的教學目標是使學生堅實地掌握彈塑性力學基本概念和方法，培養(yǎng)學生初步具備利用彈塑性力學知識解決實際工程問題的能力，并成為高層次工程科技研究人才。作為石油與天然氣工程學科的研究生課程，應用固體力學的特色在于行業(yè)應用，而針對研究生的培養(yǎng)，通過研討式以及研究小論文的撰寫，把課程的基礎理論與研究生進行科研訓練相結(jié)合，從而體現(xiàn)應用固體力學在油氣工程領域的應用背景和價值[1]。

一、研究性教學與學習方法在課程實踐中的應用

應用固體力學課程內(nèi)容主要包含的彈塑性理論，包括應力、應變、本構關系、彈塑性力學問題的提法、彈塑性平面問題、變分原理及其應用等內(nèi)容。對于這些內(nèi)容，學生普遍反映其理論性、抽象性都比較強。對于研究生工科專業(yè)，特別是以石油工程本科為主要教育背景的授課對象來說，要加強其力學基礎理論的培養(yǎng)，同時也要增加具體實例的研究性教學與學習。而具體實例的產(chǎn)生，可以由任課教師尋找，同時為了調(diào)動和挖掘?qū)W生的積極性和創(chuàng)造性，課程的研討性論文，主要讓學生們就自己感興趣的理論求解的案例，自己導師或課題組研究領域當中，涉及彈塑性力學并與工程緊密結(jié)合的案例，自己尋找、自己思考、自我結(jié)合，形成具體實例的實際分析與研究拓展[2]。

具體實例的引入教學法不是簡單地把實例作為例題分析與講解，而是在教學基本知識和內(nèi)容要求的基礎上，選擇適當?shù)木唧w實例，通過對這些實例的觀察、分析、建模，提出問題，并解決問題。石油與天然氣工程學科研究生選修應用固體力學課程的研究方向，主體是油氣井工程領域，包括油氣井力學與控制工程、油氣井巖石力學與工程、油氣井流體力學與工程等，也有油氣田開發(fā)工程領域，包括油氣田開發(fā)領域中的壓裂增產(chǎn)、滲流力學和流固耦合等。這些研究領域與彈塑性力學、應用固體力學緊密相關。研究生科研訓練當中很重要的素質(zhì)之一，就是將理論推導和理論模型，通過數(shù)值方式進行建模、計算和分析，把理論研究和數(shù)值研究作為重要的研究手段，相互驗證，相輔相成[3]。

二、研究性教學與學習的案例及分析

案例1 圓孔孔邊應力集中

這是一個典型的彈性力學問題，對一個含圓孔的平板進行均勻拉伸，孔邊的應力將遠大于無孔時的應力，這種現(xiàn)象稱為應力集中。本案例來自學生的探究，通過運用有限元軟件Abaqus，建立數(shù)值模型，開展數(shù)值模擬后，將數(shù)值結(jié)果和理論結(jié)果進行比較。

對邊均勻受拉力作用的圓孔平板，圓孔半徑為a，且與板的尺寸相比很小。可得到應力分布的理論解析式：

故根據(jù)教材的實例模型，建立下圖所示模型，板子尺寸為長100*寬50，圓孔尺寸為R=10.58，對板子兩側(cè)施加10MPa的均布載荷。米塞斯應力分布云圖，如圖1所示。

圖1 圓孔孔邊應力集中

根據(jù)書中公式的解析，我們可以知道，R=a，Θ=90°或270°時，孔邊最大拉應力為平均拉應力的三倍。R=a，Θ=0°或180°時，孔邊壓應力等于平均拉應力大小。但是，根據(jù)米式云圖分布計算來看并不滿足此規(guī)律，等效應力計算公式見下。

反觀書中的前提條件可知，當2a<

通過不斷縮小孔眼半徑，我們可以看到，數(shù)值越來越接近理論解析，故孔的半徑要遠遠小于板子時才能滿足等量關系（圖2）。

圖2 不同孔眼半徑對結(jié)果的影響

案例二 均布載荷作用的簡支梁的彈塑性力學求解

一個簡支梁，總長L=0.4m，橫截面尺寸b=6mm,h=10mm，彈性模量E=200GPa，泊松比μ=0.3。受向下的均布載荷 q=500 N/m 。示意圖，如圖3所示。求解簡支梁的等效應力、切應力以及各方向的位移。

圖3 簡支梁模型示意圖

第一步運用ANSYS中自帶的插件Geometry建立一個梁模型，長0.4m，寬6mm,高10mm，下一步設置20鋼的材料參數(shù)，然后選取Size為0.2mm的單元進行網(wǎng)格劃分。參數(shù)和網(wǎng)格如圖7所示。最后，設置應力和位移邊界條件：對梁的左端選取固定約束，對梁的右邊選取位移約束，Z方向自由，X,Y方向位移為0;在梁的上方施加一個500N/m的均布載荷。完成以上步驟即可開始求解，如圖4。

圖4（A） 梁的幾何參數(shù)

圖4（B） 梁的材料參數(shù)設置

圖4（C） 網(wǎng)格劃分圖

求解得到簡支梁總位移云圖和中性軸位移曲線，如圖5所示。觀察得到位移關于梁的中點呈對稱關系，位移方向向下，中間位移最大，達到1.673mm，兩邊位移最小，整個梁呈“凹”形。

圖5（A） 簡支梁位移云圖

圖5（B） 中性軸位移曲線圖

求解Y方向正應力得到應力云圖和中性軸應力曲線，如圖6所示，由于應力向下，因此Y方向最大正應力在兩端取到，除兩中點外，其余部分應力均較小，相差不大。

圖6（A） Y方向應力云圖

圖6（B） 中性軸Y方向應力曲線

求解Z方向正應力得到應力云圖和中性軸應力曲線，如圖7所示。觀察圖7可以發(fā)現(xiàn)，Z方向正應力關于中性層對稱，上部為負，即壓應力，下部為正，即拉應力。中性軸的Z方向正應力在中部分布均勻，在兩端有劇烈變化。

圖7（A） Z方向正應力云圖

圖7（B） Z方向中性軸正應力曲線圖

求解中性軸的切應力得到切應力云圖和切應力沿軸向的分布曲線圖，即圖8。左側(cè)切應力為負，右側(cè)切應力為正，切應力的分布曲線與材料力學分析得到的分布規(guī)律一致。切應力最大為2.3169MPa。

圖8（A） 中性軸切應力云圖

圖8（B） 切應力分布曲線圖

案例三 懸臂梁模型的數(shù)值模擬驗證圣維南原理

圣維南原理是指如作用在彈性體表面上某一不大的局部面積上的力系，為作用在同一局部面積上的另一靜力等效力系所代替，則載荷的這種重新分布，只在離載荷作用處很近的地方，才使應力的分布顯著的變化，在離載荷較遠處只有極小的影響。

通過對懸臂梁活動端用兩種不同的方式，施加20N的力，第一種為中間點施加20N的集中力，第二種方式為，給5個均布點分別施加4N的集中力，通過模擬看到云圖顯示基本相同（如圖9），故無法準確判斷不同力系對應力分布的影響，所以提取了固定端和活動端的應力數(shù)值。

圖9 模型和應力分布圖

通過米塞斯應力數(shù)值顯示，左端固定端四點數(shù)值相同，離載荷較遠處影響較小，但是離載荷作用很近的地方，應力分布發(fā)生顯著變化，故圣維南原理在此例中得到一定的驗證（如圖10、11）。

圖10 左端固定端四點應力顯示

圖11 右端自由端五點應力顯示

結(jié)語

本文主要展示了應用固體力學研究性教學與學習模式及具體實踐，以發(fā)揮學生主動性，運用數(shù)值模擬方法實現(xiàn)理論與解析分析的具體實例，分別以圓孔孔邊應力集中、均布載荷作用的簡支梁、懸臂梁模型驗證圣維南原理為例，學生運用數(shù)值模擬計算驗證了理論解和相關基本原理等[4]。通過案例研究，培養(yǎng)了學生的理論分析和數(shù)值模擬的能力，有助于滿足復合型創(chuàng)新人才的培養(yǎng)目標，同時有助于增加課程的實用性、創(chuàng)新性及學習主動性。研究生通過自主學習和模擬研究的過程，本身也是一種意志品質(zhì)和嚴謹科學精神的訓練，是一種課程思政育人過程。研究性的教學與學習模式會在今后課程中不斷得到深入實踐和發(fā)展。