幾何直觀素養(yǎng)培育的基本路徑
——以“勾股定理”數(shù)學(xué)實驗教學(xué)為例*

孫朝仁 張 靜

(江蘇省蘇州市高新區(qū)實驗初級中學(xué) 215000) (江蘇省蘇州市教育科學(xué)研究院 215004)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》將“幾何直觀”作為初中學(xué)段核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，并明確其內(nèi)涵為“運用圖表描述和分析問題的意識和習(xí)慣．”具體分為4個層次：一是能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進行分類；二是根據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)；三是建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型；四是利用圖表分析實際情境和數(shù)學(xué)問題，探索解決問題的思路．幾何直觀的作用就在于“把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑”，不止于把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，更在于通過思維交往，探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果．

本文主要以“勾股定理”實驗教學(xué)為思維交往執(zhí)行載體，通過識圖抽象、畫圖建模,以及算圖推理等思維交往方式，在“直觀懂”的組織運演過程中，產(chǎn)生新思路、新方案和新方法，促進學(xué)生核心素養(yǎng)的長足發(fā)展．

1 識圖抽象：幾何直觀素養(yǎng)培養(yǎng)的先行組織

識圖抽象就是在直觀觀察的基礎(chǔ)上，通過對事物共同屬性的概括，剔除概念的非本質(zhì)屬性，抽象出概念本質(zhì)特征的一種認知行為傾向．心理學(xué)認為，直觀是從感覺的具體對象背后，發(fā)現(xiàn)抽象的、理想的能力．就這一認識來說，識圖抽象的前提是呈現(xiàn)先行組織材料，識圖抽象的過程是直觀到具體，識圖抽象的結(jié)果是抽象與表征．換句話說，識圖抽象本身就是一種幾何直觀，是一種先行組織行為，是直觀引起的行為潛能的持久的心理變化．

蘇科版初中數(shù)學(xué)教材設(shè)置的“章頭圖”，一方面突出了概念的直觀，另一方面凸顯具體概念的本質(zhì)特征．這有助于學(xué)生站在系統(tǒng)的高度認識數(shù)學(xué)，從直觀過渡到抽象，建立概念表象，形成概念認知產(chǎn)生式．七年級數(shù)學(xué)第1章“數(shù)學(xué)與我們同行”的設(shè)置，旨在引領(lǐng)蘇科版整套教材教學(xué)導(dǎo)向，讓學(xué)生從生活到數(shù)學(xué)、從活動到思考、從具體到抽象、從圖形直觀到概念客觀，形成概念產(chǎn)生式．因此，圖形是從實物和模型第一次抽象后的產(chǎn)物，也是形象、直觀的語言表征，是識圖抽象的結(jié)果形態(tài)，是幾何直觀素養(yǎng)發(fā)展的先行組織行為．

一般情況下，抽象的理論概念“只有通過更為具體的解釋這些概念的模型才能描述世界”[1]．也就是抽象往往需要從具體開始，帶有“特殊→一般→特殊”的思想意義．數(shù)學(xué)教育中的“問題情境”抑或“先行組織”都是數(shù)學(xué)抽象的思維基礎(chǔ)，是概念形成的思維運行載體，是幾何直觀作用的結(jié)果．蘇科版教材中的“數(shù)學(xué)實驗室”“數(shù)學(xué)活動”“閱讀”“讀一讀”“小結(jié)與思考”“課題學(xué)習(xí)”都是一種先行組織材料，起到幾何直觀的作用，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解與把握．當然，數(shù)學(xué)作為科學(xué)是不可以有情境的，但作為數(shù)學(xué)教育是可以有情境的．這能讓學(xué)生從具體到抽象，從感性到理性，這就是一種幾何直觀素養(yǎng)．而識圖抽象的意義就在于讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，讓學(xué)生在直觀的識圖中，獲得概念抽象的能力，從而發(fā)展幾何直觀、用好先行組織材料．為此，在識圖抽象層面需要做好三個方面的工作：一是確立適合的學(xué)習(xí)目標，為識圖提供具體指向；二是在識圖的過程中進行自然的數(shù)學(xué)抽象，形成事實概念；三是用好先行組織材料，讓學(xué)生在“模型→圖形→文字→符號”[2]這個抽象的過程中，建立客觀概念．

不妨以“勾股定理”的概念發(fā)生為實驗載體，從“跳一跳，夠得到”的學(xué)習(xí)目標出發(fā)，說明識圖抽象的微言大義，突出幾何直觀的躍遷作用，強調(diào)用好“先行組織材料”的指導(dǎo)意義，落實核心素養(yǎng)發(fā)展的根本任務(wù)．具體識圖抽象過程如下：

(1)學(xué)習(xí)目標的確立

目標1是在具體情境中，探索勾股定理，發(fā)展合情思想；目標2是在應(yīng)用勾股定理求直角三角形的未知邊長中，發(fā)展數(shù)形結(jié)合思想．這里的第一個目標的關(guān)鍵詞是“探索”，第二個目標的關(guān)鍵詞是“應(yīng)用”，前者指向概念合情思想的建立，后者旨在建立數(shù)感、符號意識，以及形成初步的數(shù)形結(jié)合思想．無論探索還是應(yīng)用，都是“具體→直觀→畫圖”的先行組織行為，這為識圖抽象提供思維交往的基礎(chǔ)．

(2)欣賞與思考的設(shè)置

包括兩個問題：問題1是數(shù)一數(shù)圖案(圖1)中3個正方形內(nèi)小方格的個數(shù)，你有哪些發(fā)現(xiàn)？問題2是說說圖案的文化內(nèi)涵，簡單畫出圖案蘊含的基本圖形，并說明畫法．問題1的設(shè)置，旨在讓學(xué)生從“直觀的數(shù)與算→三個正方形面積關(guān)系的初步建立→直角三角形三邊關(guān)系的初步確立”，即“9個小正方形+16個小正方形=25個小正方形”，也就是“兩個較小的正方形的面積和等于較大的正方形的面積”；問題2的設(shè)置，旨在讓學(xué)生經(jīng)歷“模型→圖形→概念”，即“模型”是1955年希臘發(fā)行的一枚郵票，以此紀念畢達哥拉斯對“勾股定理”證明這一文化內(nèi)涵．畫圖方法是以直角三角形的三邊為邊，向外作正方形，構(gòu)造基本圖形 (圖2)，這就完成了“模型到圖形”的第一次識圖抽象，為概念符號的建立，以及文字表征奠定了直觀的先行組織行為，有效地落實了核心素養(yǎng)的發(fā)展目標．

圖1 圖2

2 畫圖建模：幾何直觀素養(yǎng)培養(yǎng)的心理前提

畫圖建模是引起幾何直觀能力變化的持久性心理傾向，是培養(yǎng)初中階段學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的思維途徑．“畫圖→建模”的本質(zhì)就是建立概念的心理原型，它起于“畫圖”，成于“建模”，終于“直觀的懂”．實驗教學(xué)過程中的“說一說”“做一做”“議一議”“試一試”都是畫圖建模的重要方式，是幾何直觀素養(yǎng)得以培養(yǎng)和緩存的心理前提．具體來說，我們通過畫“線段的垂直平分線”，不止于“會畫”，更在于通過“動手畫”，建立概念原型，揭示“線段垂直平分線上的點，到這條線段的兩個端點的距離相等”，促進線段是軸對稱圖形這一概念表象的建立；我們依據(jù)作法，畫“角的平分線”，不止于畫，不止于建立軸對稱性，更在于揭示畫法的合情依據(jù)(“邊邊邊”或SSS)，從而使得畫圖、猜想、驗證在實驗教育學(xué)體系內(nèi)，有了高度的統(tǒng)一性．這就是一種實驗哲學(xué)，具體與抽象，或者畫圖與建模．在希爾伯特看來，了解一種理論的最好方法是找出然后研究那種理論的原型的具體例子[3]．這里的“原型”可以理解為概念對象，而“具體例子”就相當于“舉例說明”的直觀作用．基于這樣的認識，畫角平分線、線段的垂直平分線，就是建立“軸對稱圖形”這一概念原型，形成概念產(chǎn)生式．

不難理解，幾何直觀是一種思維活動，是人腦對客觀事物及其關(guān)系的一種直接識別或猜測的心理狀態(tài)[4]．畫圖本身就是一種幾何直觀，而“畫圖→建模”則是對象關(guān)系識別與建立的通用技術(shù)，有助于幾何直觀素養(yǎng)層級的提升與轉(zhuǎn)化，是學(xué)生直觀理解概念的思維抓手．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》在“課程內(nèi)容”部分明確指出，在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖痕跡，不要求寫出作法．其中，“探討作圖道理+保留作圖痕跡”的過程就是畫圖建模的實踐形式，有助于建立識別和猜測，促進“直觀懂”的從天而降，落實概念的有質(zhì)量形成．教師應(yīng)當努力開發(fā)制作簡便實用的教具和學(xué)具，有條件的學(xué)校可以建立“數(shù)學(xué)實驗室”供學(xué)生使用，這也在結(jié)論的背后，強調(diào)發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)的重要性和方法指導(dǎo)．為此，在畫圖建模維度，需要做好三個方面的工作，方能提高幾何直觀素養(yǎng)培養(yǎng)的水平：一是任意畫圖，在辨別中形成直觀概念心理；二是畫一畫，在直觀猜想中建立概念屬性；三是變式畫圖，促進概念本質(zhì)特征的形成，形成“完形”概念產(chǎn)生式．

不妨以“勾股定理”的概念形成為實驗載體，基于畫圖建模，突出幾何直觀素養(yǎng)培養(yǎng)的能力傾向，落實“直觀懂”的意義．具體實驗操作如下：

首先要求在方格紙上進行“畫一畫”活動．(1)任意畫一個直角三角形，兩條直角邊的長分別為a,b，斜邊為c，并以三邊為邊向外作正方形，其中兩個小正方形的面積與大正方形面積之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并說明理由；(2)任意畫一個銳角三角形，三邊長分別為a,b,c，并以三邊為邊向外作正方形，其中兩個小正方形面積與大正方形面積之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？任意畫一個鈍角三角形呢？為什么？活動(1)旨在讓學(xué)生從問題到建模，借助探討正方形面積關(guān)系，形成勾股定理的初步概念；活動(2)旨在讓學(xué)生通過補償畫圖，產(chǎn)生概念辨別心理，直接對概念對象進行理解與把握．其中，任意畫一個直角三角形是一種半開放問題，而任意畫一個銳角三角形和一個鈍角三角形，是一種變式畫圖，有助于學(xué)生在直觀畫中，形成猜想、形成辨別能力，突出直角三角形的三邊關(guān)系，這就是畫圖建模的思維通道，有助于幾何直觀素養(yǎng)的自然積淀．

接下來，教師呈現(xiàn)3個所畫圖形(圖3)．其中，圖3(1)旨在強調(diào)割補法對勾股定理概念形成的不可或缺性，是幾何“三大語言”轉(zhuǎn)換的思維現(xiàn)場(a2+b2=c2)；圖3(2)和圖3(3)旨在讓學(xué)生建立一般三角形的三邊關(guān)系，即a2+b2>c2或a2+b2

圖3

3 算圖推理：幾何直觀素養(yǎng)培養(yǎng)的運演條件

算圖推理起于直觀，終于邏輯，是邏輯推理的初級形式，有助于初中階段學(xué)生直觀地學(xué)好數(shù)學(xué)．在數(shù)學(xué)實驗算理學(xué)范疇，邏輯推理是從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程[5]．這里的“邏輯推理”是非完全演繹形式，屬于算理邏輯的一種形式．“拼圖→整式乘法+因式分解”“一提+二套+三分解”等都是算圖推理的常見邏輯運演形式．這有助于學(xué)生“知其所以然”，建立概念關(guān)聯(lián)．“邏輯規(guī)則”在數(shù)學(xué)實驗領(lǐng)域被解釋為實驗步驟，就像“分式游戲”活動中的規(guī)則那樣：每人制作幾張卡片，在卡片上寫一個簡單的整式或運算符號；將其中的兩張卡片分別放在分子、分母上，它們組成的式子是分式嗎？如果是分式，它什么時候有意義？它的值能為0嗎？這些“？”都是邏輯規(guī)則的外在表現(xiàn)形式，需要在直觀支持下的算理解釋，是對幾何直觀的有效反芻．為此，在算圖推理過程中，需要做好三個方面的工作：一是變式訓(xùn)練，實現(xiàn)對概念的進一步把握；二是小結(jié)與思考，實現(xiàn)將課時概念上升為單元概念；三是概念關(guān)聯(lián)，在進一步實驗中，獲得直觀素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)發(fā)展．

不妨以“勾股定理”的概念使用為實驗載體，運演算圖推理的實踐行為，落實直觀素養(yǎng)的系統(tǒng)培養(yǎng)目標．具體實驗過程如下：

首先呈現(xiàn)“使用概念”的算圖推理的3個問題．(1)在圖4中，當x=5，y=12時，z=；當x=8，z=17時，y=．(2)在圖4中，如果兩個小正方形的面積分別是81和144，則z=．(3)如圖5，直線l上有3個正方形a,b,c，若a,c的面積分別為5和11，則b的面積是多少？

圖4 圖5

第(1)題是對勾股定理的工具性使用，第(2)題是回歸概念，第(3)題是關(guān)系性理解，在全等 變換思維的參與下，落實算圖推理，實現(xiàn)了將知識轉(zhuǎn)化為能力．如果說，前兩個問題是使用概念，則后一個問題是概念關(guān)聯(lián)，有助于課時概念上升為單元概念，發(fā)展了學(xué)生的使用概念和運演概念能力．

圖6 圖7

接著，呈現(xiàn)“小結(jié)與思考”板塊．(1)經(jīng)歷上述“畫一畫”活動，你得到了怎樣的結(jié)論？(2)如圖6，若每個小方塊的面積都為1，畫出圖中以格點為端點且長度為5的線段；

(3)制作8張如圖7的直角三角形紙片，分別拼成邊長為c或(a+b)的正方形，你有何發(fā)現(xiàn)？

第(1)題是回歸概念，突出勾股定理核心概念的再認知活動；第(2)題是對概念的變式使用，為后續(xù)“勾股定理逆定理”的學(xué)習(xí)鋪設(shè)思維；第(3)題為勾股定理的驗證提供活動經(jīng)驗，突破了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)實驗的理解維度，立足于“系統(tǒng)概念”的建立，落實直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)功能．如果說“小結(jié)與思考”的第一個問題屬于一種變式智慧，則后兩個問題屬于將課時概念上升為單元概念的新思想，很好地運演了算圖推理．這種將系統(tǒng)概念的工具性理解上升為概念的關(guān)系性理解，能促進概念對象的把握，這才是數(shù)學(xué)實驗未來課堂的樣態(tài)．