基于“四問(wèn)驅(qū)動(dòng)”的“空間向量基本定理”的教學(xué)實(shí)錄與反思*

周德春

(江蘇省射陽(yáng)中學(xué) 224300)

1 基本情況

授課對(duì)象 學(xué)生來(lái)自四星級(jí)省重點(diǎn)高中普通班，基礎(chǔ)良好．

教材分析 “空間向量基本定理”是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(選修2-1)》(蘇教版)第3章“空間向量與立體幾何”中的第1節(jié)“空間向量及其運(yùn)算”的第3小節(jié)內(nèi)容，是空間向量線性表示、坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，是向量法解決立體幾何問(wèn)題的重要工具，是本章的核心知識(shí)點(diǎn)之一．

設(shè)計(jì)思想 在學(xué)習(xí)了平面向量基本定理的基礎(chǔ)上，基于類比思想來(lái)研究空間向量基本定理．由于從平面到空間需要空間想象能力作為支撐，對(duì)于空間想象能力薄弱的部分學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)還是有困難的，故在此教學(xué)設(shè)計(jì)中采取了“合作探究”的教學(xué)方法和“四問(wèn)驅(qū)動(dòng)”的教學(xué)范式，突出啟發(fā)式教學(xué)、突出問(wèn)題引領(lǐng)、突出數(shù)形結(jié)合、突出類比過(guò)程，以實(shí)現(xiàn)對(duì)空間向量基本定理的全面理解、猜想證明和簡(jiǎn)單運(yùn)用．

教學(xué)目標(biāo) (1)運(yùn)用類比的方法理解空間向量基本定理及其推論，體會(huì)空間任意一個(gè)向量可以用不共面的三個(gè)已知向量線性表示，而且這種表示是惟一的；(2)了解空間中基底的含義，并在簡(jiǎn)單問(wèn)題中能用給出的一個(gè)基底來(lái)表示已知向量，初步感悟向量是研究幾何問(wèn)題的工具；(3)提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象素養(yǎng)．

教學(xué)重點(diǎn) 空間向量基本定理的理解．

教學(xué)難點(diǎn) 空間向量基本定理的證明．

2 過(guò)程設(shè)計(jì)

2.1 問(wèn)題情境

師：在數(shù)學(xué)中，我們常用類比法研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，比如類比集合來(lái)研究向量，類比指數(shù)函數(shù)來(lái)研究對(duì)數(shù)函數(shù)，類比橢圓來(lái)研究雙曲線等．今天將類比平面向量基本定理來(lái)研究空間向量基本定理．(點(diǎn)題：空間向量基本定理)

2.2 探究建構(gòu)

●通過(guò)類比得到的空間向量基本定理的內(nèi)容是什么？如何證明這個(gè)定理？這個(gè)定理有什么用處？

說(shuō)明前面標(biāo)注●的問(wèn)題稱為“啟問(wèn)”．所謂啟問(wèn)就是依據(jù)教學(xué)目標(biāo)，提出問(wèn)題．

問(wèn)題1如何通過(guò)類比得到空間向量基本定理的？

師：請(qǐng)問(wèn)同學(xué)們，平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？

生：如果e1,e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)，使p=xe1+ye2．

師：定理中有哪些關(guān)鍵詞？

生：平面內(nèi)，e1,e2不共線，任一向量，存在，惟一．

師：類比平面向量基本定理，結(jié)合關(guān)鍵詞，請(qǐng)猜想出空間向量基本定理的具體內(nèi)容．

生：平面內(nèi)→空間中；e1,e2不共線→e1,e2,e3不共面；任一向量→任一向量，存在惟一→存在惟一，(x,y)→(x,y,z)，p=xe1+ye2→p=xe1+ye2+ze3．

(在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上給出下面的定理)

空間向量基本定理 如果三個(gè)向量e1,e2,e3不共面，那么對(duì)于空間任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，使p=xe1+ye2+ze3．(用著重號(hào)標(biāo)出關(guān)鍵詞)

追問(wèn) 猜想出來(lái)的結(jié)論可靠嗎？

生：不可靠！需要證明．

師：證明的大致思路是什么？

生：可類比平面向量基本定理，分存在性和惟一性來(lái)證明．

問(wèn)題2如何證明空間向量基本定理中的存在性？

圖1

生：過(guò)點(diǎn)P作PP1∥OC，交平面AOB于點(diǎn)P1．

師：這點(diǎn)P1具體在什么位置？

生：點(diǎn)P1既在平面POC內(nèi)，又在平面AOB內(nèi)，故點(diǎn)P1在平面POC和平面AOB的交線上．

追問(wèn) 上述證明存在性用的是什么方法？

生：構(gòu)造圖形法．

提煉 證明存在性的問(wèn)題，一般都用構(gòu)造法．

問(wèn)題3如何證明空間向量基本定理中的惟一性？

師：證明惟一性常用什么方法？

生：反證法．

師：下面用反證法試一試如何證明？

師：說(shuō)得非常棒！這就證明了惟一性．至此完成了對(duì)空間向量基本定理的完整證明．

練習(xí) 已知e1,e2,e3不共面，且xe1+ye2+ze3=0，則x=y=z=．

提煉 空間向量基本定理告訴我們，空間中任意一個(gè)向量只需用三個(gè)不共面的向量就能線性表示，而且這種表示是惟一的．

追問(wèn)1 空間向量基本定理中的三個(gè)不共面向量可以構(gòu)成空間的一個(gè)，這三個(gè)向量叫作．

追問(wèn)2 如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量?jī)蓛苫ハ啻怪保敲催@個(gè)基底叫作．

追問(wèn)3 如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量?jī)蓛苫ハ啻怪倍叶际菃挝幌蛄浚敲催@個(gè)基底叫作，通常用表示．

(在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上給出下面的概念)

基底、基向量、正交基底和單位正交基底 如果三個(gè)向量e1,e2,e3不共面，那么{e1,e2,e3}稱為空間的一個(gè)基底，e1,e2,e3叫基向量．如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪保敲催@個(gè)基底叫正交基底．特別地，當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱這個(gè)基底為單位正交基底，通常用{i,j,k}表示．

(在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上給出下列推論)

問(wèn)題4如何運(yùn)用空間向量基本定理解決問(wèn)題？

2.3 數(shù)學(xué)運(yùn)用

圖2 圖3

(學(xué)生口答，教師板書)

變式 該正方體為平行六面體(圖3)，其余條件不變，結(jié)果怎樣？

生：結(jié)論也不變．

追問(wèn) 上述圖中點(diǎn)M是△ABC的心(從外、內(nèi)、重、垂中選一個(gè))．

分析 三個(gè)向量能否作為一個(gè)基底，關(guān)鍵看它們是否不共面．

生：能．

師：那又如何表示呢？

2.4 課堂小結(jié)

■本節(jié)課是如何研究空間向量基本定理的？(類比法猜想，構(gòu)造法、反證法證明，運(yùn)算法則法、待定系數(shù)法應(yīng)用)

■空間向量基本定理、平面向量基本定理、共線向量定理有什么區(qū)別和聯(lián)系？(略)

說(shuō)明前面標(biāo)注■的問(wèn)題稱為“回問(wèn)”．所謂“回問(wèn)”就是反思提煉，總結(jié)提升．

3 教學(xué)反思

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)沒(méi)有采用新課程倡導(dǎo)的“問(wèn)題情境—知識(shí)建構(gòu)—知識(shí)運(yùn)用—課堂小結(jié)”的模式，而是采用了原創(chuàng)的“四問(wèn)驅(qū)動(dòng)”的教學(xué)范式，主要基于以下兩個(gè)原因：一是筆者目前主持的一項(xiàng)省規(guī)劃辦課題就是關(guān)于“四問(wèn)驅(qū)動(dòng)”范式的課題，所以采用“四問(wèn)驅(qū)動(dòng)”的教學(xué)范式進(jìn)行授課可以豐富課題研究成果；二是倡導(dǎo)用“四問(wèn)驅(qū)動(dòng)”的范式培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力[1]，因?yàn)椤八膯?wèn)驅(qū)動(dòng)”范式就是為聚焦上述“四能”而設(shè)計(jì)的教學(xué)范式．

由于“四問(wèn)驅(qū)動(dòng)”教學(xué)范式有相對(duì)固定的模式，所以在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)如何設(shè)計(jì)“四問(wèn)”就顯得非常重要．那么本節(jié)課是如何設(shè)計(jì)“四問(wèn)”的呢？

第一、設(shè)計(jì)啟問(wèn)時(shí)要依據(jù)教學(xué)目標(biāo)，并注意將啟問(wèn)前的問(wèn)題情境設(shè)計(jì)得新穎簡(jiǎn)潔明了有趣．設(shè)計(jì)探問(wèn)時(shí)要依據(jù)啟問(wèn)，并注意各探問(wèn)之間呈并列或遞進(jìn)關(guān)系．設(shè)計(jì)追問(wèn)時(shí)要依據(jù)探問(wèn)，并注意讓追問(wèn)的思維量適當(dāng)小一些，讓思維的靈動(dòng)在此能體現(xiàn)出來(lái)．設(shè)計(jì)回問(wèn)時(shí)要把握課堂立意，把握深度學(xué)習(xí)，做到既有一般性的梳理歸納，又有畫龍點(diǎn)睛式的拔高．而本節(jié)課在設(shè)計(jì)“四問(wèn)”時(shí)，就是遵循上面的設(shè)計(jì)思路來(lái)進(jìn)行的．在設(shè)計(jì)啟問(wèn)、追問(wèn)和回問(wèn)時(shí)都比較順利，唯獨(dú)在設(shè)計(jì)探問(wèn)時(shí)出現(xiàn)了一個(gè)糾結(jié)，就是“基底概念和定理的推論”這個(gè)內(nèi)容是作為探問(wèn)給出來(lái)還是作為追問(wèn)給出來(lái)，最終是把它們作為追問(wèn)給出來(lái)．其原因是堅(jiān)持探問(wèn)之間的關(guān)系是并列或遞進(jìn)關(guān)系．

第二、根據(jù)“四問(wèn)驅(qū)動(dòng)”的含義，“四問(wèn)驅(qū)動(dòng)”中的問(wèn)題應(yīng)該具有驅(qū)動(dòng)性，那么在進(jìn)行“四問(wèn)”設(shè)計(jì)時(shí)，如何體現(xiàn)驅(qū)動(dòng)性？主要做法是：一方面讓所有設(shè)計(jì)出來(lái)的問(wèn)題都要有一定的思維量，而且問(wèn)題之間要連貫并形成一個(gè)體系；另一方面，在授課時(shí)要留有時(shí)間讓學(xué)生思考或演算，而不總是教師自問(wèn)自答．

總之，運(yùn)用“四問(wèn)驅(qū)動(dòng)”教學(xué)范式進(jìn)行教學(xué)是一種新的嘗試，其基本特征是：教學(xué)目標(biāo)明確，教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，課堂立意較高；制作課件時(shí)重視情境設(shè)計(jì)和四問(wèn)設(shè)計(jì)，課堂實(shí)施時(shí)重視合作探究和“四能”培養(yǎng)等．本節(jié)課不足之處表現(xiàn)在學(xué)生動(dòng)手依然偏少，變式訓(xùn)練還有待加強(qiáng)．