基于“四問驅動”的“空間向量基本定理”的教學實錄與反思*

周德春

(江蘇省射陽中學 224300)

1 基本情況

授課對象 學生來自四星級省重點高中普通班，基礎良好．

教材分析 “空間向量基本定理”是《普通高中課程標準實驗教科書·數學(選修2-1)》(蘇教版)第3章“空間向量與立體幾何”中的第1節“空間向量及其運算”的第3小節內容，是空間向量線性表示、坐標表示的基礎，是向量法解決立體幾何問題的重要工具，是本章的核心知識點之一．

設計思想 在學習了平面向量基本定理的基礎上，基于類比思想來研究空間向量基本定理．由于從平面到空間需要空間想象能力作為支撐，對于空間想象能力薄弱的部分學生學習起來還是有困難的，故在此教學設計中采取了“合作探究”的教學方法和“四問驅動”的教學范式，突出啟發式教學、突出問題引領、突出數形結合、突出類比過程，以實現對空間向量基本定理的全面理解、猜想證明和簡單運用．

教學目標 (1)運用類比的方法理解空間向量基本定理及其推論，體會空間任意一個向量可以用不共面的三個已知向量線性表示，而且這種表示是惟一的；(2)了解空間中基底的含義，并在簡單問題中能用給出的一個基底來表示已知向量，初步感悟向量是研究幾何問題的工具；(3)提升數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象素養．

教學重點 空間向量基本定理的理解．

教學難點 空間向量基本定理的證明．

2 過程設計

2.1 問題情境

師：在數學中，我們常用類比法研究數學問題，比如類比集合來研究向量，類比指數函數來研究對數函數，類比橢圓來研究雙曲線等．今天將類比平面向量基本定理來研究空間向量基本定理．(點題：空間向量基本定理)

2.2 探究建構

●通過類比得到的空間向量基本定理的內容是什么？如何證明這個定理？這個定理有什么用處？

說明前面標注●的問題稱為“啟問”．所謂啟問就是依據教學目標，提出問題．

問題1如何通過類比得到空間向量基本定理的？

師：請問同學們，平面向量基本定理的內容是什么？

生：如果e1,e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任一向量p，存在惟一的有序實數對(x,y)，使p=xe1+ye2．

師：定理中有哪些關鍵詞？

生：平面內，e1,e2不共線，任一向量，存在，惟一．

師：類比平面向量基本定理，結合關鍵詞，請猜想出空間向量基本定理的具體內容．

生：平面內→空間中；e1,e2不共線→e1,e2,e3不共面；任一向量→任一向量，存在惟一→存在惟一，(x,y)→(x,y,z)，p=xe1+ye2→p=xe1+ye2+ze3．

(在學生回答的基礎上給出下面的定理)

空間向量基本定理 如果三個向量e1,e2,e3不共面，那么對于空間任一向量p，存在惟一的有序實數組(x,y,z)，使p=xe1+ye2+ze3．(用著重號標出關鍵詞)

追問 猜想出來的結論可靠嗎？

生：不可靠！需要證明．

師：證明的大致思路是什么？

生：可類比平面向量基本定理，分存在性和惟一性來證明．

問題2如何證明空間向量基本定理中的存在性？

圖1

生：過點P作PP1∥OC，交平面AOB于點P1．

師：這點P1具體在什么位置？

生：點P1既在平面POC內，又在平面AOB內，故點P1在平面POC和平面AOB的交線上．

追問 上述證明存在性用的是什么方法？

生：構造圖形法．

提煉 證明存在性的問題，一般都用構造法．

問題3如何證明空間向量基本定理中的惟一性？

師：證明惟一性常用什么方法？

生：反證法．

師：下面用反證法試一試如何證明？

師：說得非常棒！這就證明了惟一性．至此完成了對空間向量基本定理的完整證明．

練習 已知e1,e2,e3不共面，且xe1+ye2+ze3=0，則x=y=z=．

提煉 空間向量基本定理告訴我們，空間中任意一個向量只需用三個不共面的向量就能線性表示，而且這種表示是惟一的．

追問1 空間向量基本定理中的三個不共面向量可以構成空間的一個，這三個向量叫作．

追問2 如果空間一個基底的三個基向量兩兩互相垂直，那么這個基底叫作．

追問3 如果空間一個基底的三個基向量兩兩互相垂直而且都是單位向量，那么這個基底叫作，通常用表示．

(在學生回答的基礎上給出下面的概念)

基底、基向量、正交基底和單位正交基底 如果三個向量e1,e2,e3不共面，那么{e1,e2,e3}稱為空間的一個基底，e1,e2,e3叫基向量．如果空間一個基底的三個基向量兩兩垂直，那么這個基底叫正交基底．特別地，當一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱這個基底為單位正交基底，通常用{i,j,k}表示．

(在學生回答的基礎上給出下列推論)

問題4如何運用空間向量基本定理解決問題？

2.3 數學運用

圖2 圖3

(學生口答，教師板書)

變式 該正方體為平行六面體(圖3)，其余條件不變，結果怎樣？

生：結論也不變．

追問 上述圖中點M是△ABC的心(從外、內、重、垂中選一個)．

分析 三個向量能否作為一個基底，關鍵看它們是否不共面．

生：能．

師：那又如何表示呢？

2.4 課堂小結

■本節課是如何研究空間向量基本定理的？(類比法猜想，構造法、反證法證明，運算法則法、待定系數法應用)

■空間向量基本定理、平面向量基本定理、共線向量定理有什么區別和聯系？(略)

說明前面標注■的問題稱為“回問”．所謂“回問”就是反思提煉，總結提升．

3 教學反思

本節課的教學設計沒有采用新課程倡導的“問題情境—知識建構—知識運用—課堂小結”的模式，而是采用了原創的“四問驅動”的教學范式，主要基于以下兩個原因：一是筆者目前主持的一項省規劃辦課題就是關于“四問驅動”范式的課題，所以采用“四問驅動”的教學范式進行授課可以豐富課題研究成果；二是倡導用“四問驅動”的范式培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力[1]，因為“四問驅動”范式就是為聚焦上述“四能”而設計的教學范式．

由于“四問驅動”教學范式有相對固定的模式，所以在教學設計時如何設計“四問”就顯得非常重要．那么本節課是如何設計“四問”的呢？

第一、設計啟問時要依據教學目標，并注意將啟問前的問題情境設計得新穎簡潔明了有趣．設計探問時要依據啟問，并注意各探問之間呈并列或遞進關系．設計追問時要依據探問，并注意讓追問的思維量適當小一些，讓思維的靈動在此能體現出來．設計回問時要把握課堂立意，把握深度學習，做到既有一般性的梳理歸納，又有畫龍點睛式的拔高．而本節課在設計“四問”時，就是遵循上面的設計思路來進行的．在設計啟問、追問和回問時都比較順利，唯獨在設計探問時出現了一個糾結，就是“基底概念和定理的推論”這個內容是作為探問給出來還是作為追問給出來，最終是把它們作為追問給出來．其原因是堅持探問之間的關系是并列或遞進關系．

第二、根據“四問驅動”的含義，“四問驅動”中的問題應該具有驅動性，那么在進行“四問”設計時，如何體現驅動性？主要做法是：一方面讓所有設計出來的問題都要有一定的思維量，而且問題之間要連貫并形成一個體系；另一方面，在授課時要留有時間讓學生思考或演算，而不總是教師自問自答．

總之，運用“四問驅動”教學范式進行教學是一種新的嘗試，其基本特征是：教學目標明確，教學內容結構化，課堂立意較高；制作課件時重視情境設計和四問設計，課堂實施時重視合作探究和“四能”培養等．本節課不足之處表現在學生動手依然偏少，變式訓練還有待加強．