數學思想在數與代數部分解題中的應用研究
——以山西省中考為例

盧鳳婷

（太原師范學院 山西晉中 030619）

數與代數部分是中學數學教學的四大板塊之一，是學生認知數量關系、探索數學規律、構建數學模型的基礎，能夠讓學生從數的角度清晰認識、理解和表達世界。數與代數領域的學習，有助于學生形成抽象能力、推理能力和模型觀念，發展幾何直觀和運算能力[1]。

數與代數部分同樣也是中考數學的重要組成部分，主要涵蓋了數與式、方程與不等式和函數三個板塊，是學生在初中數學學習中必須掌握的重點知識，在中考數學中占據了一半的分值。數學思想作為數學解題的重要思想，在解決數與代數問題時有重要的作用。

一、函數思想在中考數學數與代數部分解題中的應用

對于中學數學，函數思想的應用主要體現在：首先是能夠借助初等函數的性質來解決相關含參問題；其次是在解決問題的過程中，建立函數關系式，把鉆研的問題轉變為與函數相關的問題，以實現化繁為簡，化難為易[2]。在具體的解題過程中，面對很多實際問題，我們無法利用相同領域內的知識完成問題的分析和解決，這時需要我們將其轉化為函數問題，從而完成求解[3]。

例1如圖1，平面直角坐標系中，正四邊形OABC的頂點O落在坐標原點，邊長為2，A點，C點分別位于x軸和y軸的正半軸上。函數y=2x的圖象與CB交于點D，函數（k為常數，k≠0）的圖象經過點D，與AB相交于點E，與函數y=2x的圖象在第三象限內交于點F，連接AF、EF。求函數的表達式，并寫出E點和F點的坐標。

圖1

問題分析：該題目是山西省2017年中考題第18題。解決這一題目的關鍵就是要利用函數思想，將幾何問題轉化為函數問題進行求解。在解題中，可以借助待定系數法完成求解。首先根據題目條件，我們可以知道正方形OABC且邊長為2，點A，點C分別在x軸，y軸的正半軸上，所以A點的坐標是（2，0），C點坐標是（0，2）；函數y=2x的圖象與CB交于點D，CB的解析式為y=2，所以兩個方程構建二元一次方程組，聯立求解得到交點D的坐標（1，2）；函數（k為常數，k≠0）的圖象經過點D，所以點D函數上，點D的坐標滿足該函數的解析式，利用待定系數法，就可以求得函數的表達式。E的坐標可以根據點A坐標和數的表達式求得，F的坐標是點D關于原點的對稱點，可根據點D坐標求得。這一題目主要考查學生數學思維的靈活轉化能力，從題型上看，本題主要是正方形和反比例函數的交點問題，單純通過反比例函數的相關知識去解決這一問題難度較大，如果通過構建函數的方式分析問題，借助函數思想和待定系數法就能夠將這一復雜的問題簡單化，提高學生的解題效率。

二、轉化思想在中考數學數與代數部分解題中的應用

轉化思想就是指從不同的角度思考，另辟蹊徑地將新知識與舊知識聯系到一起。在初中數學學習中，轉化思想是學生解決數學習題的有效途徑。學生靈活應用轉化思想，解決某些難以入手的證明題、計算題，能提高學習信心[4]。

例2，如圖2，正方形ABCD內接于⊙O，⊙O的半徑為2，以點A為圓心，以AC為半徑畫弧交AB的延長線于點E，交AD的延長線于點F，則圖中陰影部分的面積是（）。

圖2

A.4π-4 B.4π-8 C.8π-4 D.8π-8

問題分析：該題目是山西省2018年中考題選擇題最后一題，從這道題的位置來看，處于選擇題壓軸題的位置，學生一開始可能會產生畏難情緒。但是仔細看這道題，我們發現陰影部分的面積可以轉化，利用在轉化思想，我們可以把不易解決的問題轉化成已解決的問題或者易解決的問題。圖中陰影部分的面積是分散的，我們利用拼補的方法可以把上半圓的陰影補到下半圓的空白地方，陰影部分的面積就完整了，求分散的陰影部分的面積我們就可以轉化成求一個整體的陰影面積。而轉化后的整體面積就是大扇形面積減去一個三角形的面積，大扇形的面積和三角形的面積都是學生易解決的問題，這道題就迎刃而解了。所以在日常教學中加強學生的聯想思考，讓學生在面對難題時能迅速找到解題的切入點，采用補形轉化、換元轉化、化繁為簡、問題變更等方法，完成習題的解析與論證。

三、數形結合思想在中考數學數與代數部分解題中的應用

數形結合是將數學之中的“數”與“形”相結合，將復雜的問題簡單化，將抽象的問題直觀化，利用圖形的直接性和數據的嚴謹性更好地解決問題[5]。數學教師在講課過程中應有意識地利用數形結合思想解決問題，讓學生多養成數形結合的思維，更好地解決數學問題。

例3：已知點A,（x1，y1），B（x2，y2）,C（x3，y3）都在反比例函數（k＜0）的圖象上，且x1＜x2＜0＜x3，則y1，y2，y3的大小關系是（ ）。

A.y2＞y1＞y3B.y3＞y2＞y1C.y1＞y2＞y3D.y3＞y1＞y2

問題分析：該題目是山西省2020年中考題選擇題第7題。對于這一問題，如果單純地通過函數和取值范圍的角度去思考，很難找到解題的突破口，尤其是對于反比例函數這類極為抽象的知識點。借助數形結合思想，能夠完美解決。在解題的過程中，可以將函數轉化為圖形，根據反比例函數中k的正負，判定函數圖像的走勢，這樣就將原來的函數問題轉化為反比例函數的圖像問題，最后將關鍵點的坐標代入就可以完成求解。當k＜0時，函數圖像就是從左往右逐漸上升的，y值會隨著x值的增大不斷增大。此時，整個問題就會變得思路清晰，解題難度就會降低。

四、分類討論思想在中考數學數與代數部分解題中的應用

分類討論思想是一種最基礎的解決困難的思維戰略，旨在將所要研究的對象按照標準分為若干不同的類別，在挨個研究的進程中，實現分而治之。分類討論思想貫穿初中數學教學，包括概念、定理、公式、運算性質、不確定的量等，它同樣也是培養學生良好數學思維品質的關鍵方法。分類討論思想也是中考數學解題中一種重要的解題思想，該思想主要應用于函數部分問題中，尤其是對于二次函數，a取值的不同直接影響著整個解題思路。在解題的過程中，要注重對二次項系數的正負和常數項的正負做好分類討論，根據不同的情況判斷函數曲線。

圖3

問題分析：該題目是山西省2020年中考第23題1，2小問。在求解這一問題的時候，解析問題（1）只需要學生將函數所對應的方程值為0時就可求得與x軸的交點A，B兩點的坐標，再聯合點D和點A的坐標，求得直線l的函數表達式。但是，對于問題（2）動點問題，則需要學生考慮實際情況，進行分類討論，在此過程中，教師應該起到引領的作用，啟發學生運用該思想進行探索：

PM與直線l交于點N當點N是線段PM的三等分點，而點N是線段PM的三等分點，可以是靠近P的三等分點，也可以是靠近M的三等分點。所以可分兩種情況進行討論：

第一種是|MN|=2|PN|，第二種是2|MN|=|PN|，M、N、P三點的坐標均可以用含m的代數式表達，所以根據不同的等量關系可以列出等式，即可解出滿足關系的m，得到點P的坐標。在動點問題中，應用分類討論思想，使得學生在解析問題的時候，能夠全面分析影響因素，做到高效解題。分類討論思想的運用可以提高學生的思維能力，又可以使學生形成良好的解題習慣。

五、方程思想在中考數學數與代數部分解題中的應用

方程思想作為中學數學中主要的思想之一，它主要是立足于具體數學問題，在正確理解的基礎上，將問題中文字語言轉變為相應的數學語言，并建立起相關的數學關系——方程或方程組，然后通過解方程（組），從而解決問題，習得一種新型的思維方式.通俗而言，方程思想就是“實際問題→數學問題→代數問題→方程問題”這樣一個過程。

例5：2020年5月，太原舉行了“活力太原·樂購晉陽”消費暖心活動，此次活動中的電器消費券單筆消費滿600元立減128元（一次只能使用一張）。某品牌電飯煲以進價的150%進行標價，假如按標價的80%售賣，一位客人購置該電飯煲時，使用一張電器消費券后，又付了568元。請問該電飯煲的進價是多少。

問題分析：該題目是山西省2020年中考第17題。這道題是生活中常見的銷售問題，依據是商場售價=買家應付款這一等量關系，由于題目中已知標價為銷售價的15%，且八折銷售，買家在付款時有滿600減128的優惠，買家在優惠后付款568，所以買家應付款為568+128。因此可設進價為x，根據這一等量關系，x·（1+50%）·0.8=568+128，解得x=580。類似的實際問題可以讓學生熟悉生活常見模型，將未知數表示出來后代入等量關系中。列方程解應用題的學習能讓學生直觀感受和應用方程思想，明白未知量與已知量之間的等量關系。

六、建模思想在中考數學數與代數部分解題中的應用

在新課標理念下，中學數學的教學慢慢向教學生如何解決現實問題進行轉變。對于學生來說，解決繁雜的實際問題還是有一定的挑戰，而數學建模可以幫助學生將煩瑣的現實問題抽象為易懂的數學問題，用數學知識去求解，這樣能夠大幅度地提高了學生的解題的速度，而且培養學生解決問題的能力。

例6：圖4是某車站的一組智能通道閘機，當行人通過時智能閘機會自動識別行人身份，識別成功后，兩側的圓弧翼閘會收回到兩側閘機箱內，這時行人即可通過。圖5是兩圓弧翼展開時的截面圖，扇形ABC和DEF是閘機的“圓弧翼”，兩圓弧翼成軸對稱，BC和EF均垂直于地面，扇形的圓心角∠ABC=∠DEF=28°，半徑BA=ED=60cm，點A與點D在同一水平線上，且它們之間的距離為10cm.求閘機通道的寬度，即BC與EF之間的距離（參考數據：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）；

圖4

圖5

問題分析：該題目是山西省2020年中考第21題第1小問。這道題把實際生活中遇到的閘機問題抽象成了兩圓弧翼展開時的截面圖，構建了一個數學模型，從而幫助解題。題目中給了扇形圓心角的大小，給了半徑的長度，我們可以分別過C，D點作BC和EF的垂線從而構造直角三角形，以此達到解題的目的。通過構建幾何模型并轉變為三角函數問題來解，將現實問題轉化為幾何問題，從而解決問題。與實際模型比較，在初中數學中根據建模思想建立各種數學模型還處于初級階段。數學教學中應該把學習知識、應用知識、探索發現和建模求解更好地聯系在一起，使學生靈活應用數學建模思想，學會用數學的思維思考。

我們由以上的例子可以看到，數學思想方法是處理數學問題的指導思想和基本策略，是形成學生數學能力、數學意識的橋梁，是數學的靈魂。所以，在學習數學的過程中，學生需要不斷對方法和思想進行總結滲透，使它上升至一個高度，形成數學思想方法，并用數學思想方法指導我們解題，這樣才能運用數學和駕馭數學，成為學習數學的真正主人。