薄區域上隨機Ginzburg-Landau方程的穩態測度極限行為①

鐘文虎，陳光淦，張元元

四川師范大學 數學科學學院/可視化計算與虛擬現實四川省重點實驗室， 成都 610068

Ginzburg-Landau方程是研究不穩定波理論， 描述超導現象的重要模型， 最初由Ginzburg等[1]在刻畫超導相變時導出. 該方程應用廣泛， 例如模擬色散波在流體力學等物理領域的傳播[2]， 也應用于光學、等離子體物理、化學反應[3]等.

本文研究三維薄區域Dε上由白噪聲驅動的隨機Ginzburg-Landau方程

(1)

(2)

文獻[4]證明了二維有界區域上的隨機Ginzburg-Landau方程的遍歷性和指數混合性. 文獻[5]推廣了文獻[4]的結果， 當有界區域的維度小于或等于4時， 證明了隨機Ginzburg-Landau方程的遍歷性， 并且得到了穩態測度的指數估計. 最近幾年， 文獻[6-8]系統地研究了隨機Ginzburg-Landau方程的遍歷性與指數混合性. 關于穩態測度的極限行為， 文獻[9]運用區域均值化投射算子， 證明了三維隨機Navier-Stokes方程的穩態測度收斂于二維隨機Navier-Stokes方程的穩態測度.

本文的目的是將文獻[9]的研究工作推廣至方程(1). 由于投射算子改變了方程(1)的結構， 因此難以保證投射算子作用后的方程(1)仍然具有耗散性質， 這導致穩態測度的極限行為不易由能量估計獲得. 通過弱收斂估計， 得到方程(1)的穩態統計解的收斂結果， 然后將收斂性質轉化到穩態測度上， 最終獲得了方程(1)的穩態測度的極限行為： 當ε趨近于0時， 方程(1)的穩態測度收斂于二維區域上隨機Ginzburg-Landau方程的穩態測度； 進一步地， 當ε，υ同時趨近于0時， 方程(1)的穩態測度收斂于二維區域上非線性Schr?dinger方程的穩態測度.

本文結構如下， 第一節描述三維薄區域上的隨機Ginzburg-Landau方程模型， 給出適定性與遍歷性. 第二節給出二維區域上隨機Ginzburg-Landau方程和非線性Schr?dinger方程的適定性與遍歷性. 第三節呈現方程(1)穩態測度的兩類極限行為.

1 薄區域上的隨機Ginzburg-Landau方程

1.1 空間設置

嵌入Y?X是緊的[10].

1.2 白噪聲與統計解

(3)

1.3 適定性與遍歷性

引理1[5，10]設u0是一個Vε值的隨機變量， 與ζε(t)相互獨立，且滿足E(h0(u0))<∞，E(h1(u0)) <∞，B1<∞，B2<∞， 則對于任意的T>0， 下列結論成立：

(4)

(5)

引理2若引理1中的假設條件都滿足， 則下列結論成立：

(6)

(7)

證設u為方程(1)的解， 對h1(u)使用It公式，

于是

(8)

其中C=B1+3B0B2， 獨立于ε和υ.

2 極限系統

2.1 二維區域上的隨機Ginzburg-Landau方程

二維區域上的隨機Ginzburg-Landau方程

(9)

(10)

(11)

(12)

(iii) 若存在正整數n， 使得對于所有的1≤|j|≤n都有bj≠0， 則方程(9)的穩態測度唯一存在；

(13)

2.2 非線性Schr?dinger方程

給出二維有界區域D上的非線性Schr?dinger方程

?tv-iΔv+iλ|v|2v=0

(14)

和三維薄區域Dε上的非線性Schr?dinger方程

?tu-iΔu+iλ|u|2u=0

(15)

由于λ>0， 方程(14)和方程(15)的解唯一存在[13].

引理5[13]若初值u0∈Vε， 滿足h0(u0)<∞，h1(u0)<∞， 則方程(15)存在穩態測度με和穩態解uε(t，x)， 且με=D (uε(0)).

3 穩態測度的極限行為

3.1 區域投射極限

定理1若引理1與引理3中的假設條件都成立， 且極限

(16)

(17)

(18)

下面分別證明Pυ是方程(9)的穩態統計解，μυ是方程(9)的穩態測度.

(19)

(20)

運用H?lder不等式和Young不等式得

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

其中

(26)

(27)

唯一性由引理3給出.

3.2 粘性消失極限

(28)

(29)

(30)

S2： =|((i+υj)KεjAεu-iAv，e)|=|(υjv，e)|≤υjCe‖v‖D

(31)

(32)

結合(23)，(31)和(32)式得

(33)

運用Chebyshev不等式， 結合(4)，(8)，(10)，(11)和(33)式得， 對于任意的δ>0有

(34)

(35)

其中

接下來， 使用定理1中的方法， 由(35)式推出結論(i)和結論(ii)成立.

通過(34)式知， 在取極限的過程中，εj和υj相互獨立. 于是， 使用定理1中的方法， 并在形式上重復定理1的證明過程， 結合(6)，(7)，(12)和(13)式得到下列收斂結果：

其中，μεj和uεj(t)分別是方程(15)的穩態測度和穩態解， 故結論(iii)成立.