基于高低頻混合模型的近斷層脈沖型地震動的模擬

周龍龍，陳輝國，雷屹欣，張左群

（陸軍勤務學院，重慶 401331）

引言

近斷層脈沖型地震動相比于遠場地震動有很大的不同，其具有明顯的方向性和脈沖特征，在速度時程中含有大幅值、長周期的脈沖波，對大跨度建筑、高邊墻特種工程等工程結構具有更大的破壞力［1－2］。為此，國內外學者針對近斷層脈沖型地震動的模擬做出了大量研究，相繼提出了不同的模擬方法，并受到工程界的廣泛關注。

早期的專家和學者在近斷層地震動模擬研究上，主要將精力放在速度脈沖特性上，得到了大量的基于速度時程的理想化脈沖特征參數模型，主要的形式有三段線性的三角形模型［3］、帶包絡函數的分段三角函數模型［4］、Baker模型［5］、Gabor小波模型［6］、MP03脈沖模型［7］等。但這些脈沖模型頻率成分單一，缺少高頻成分，與實際地震動的頻譜組成相差甚遠。Prisetley［8］于1965年首次提出演變隨機過程理論之后，國內外學者在時頻非平穩地震動的模擬研究上相繼提出了Kameda模型［9］，非均勻函數調制模型［10－11］，Kanai－Tajimi模型［12－13］以及后來改進的基于雙模態時變修正的完全非平穩地震動Kanai－Tajimi模型［14］，這些模型能夠反映出更符合真實地震數據的時頻非平穩特性，對高頻成分模擬也具有較好的優勢。為此，文中通過確定性方法（簡化速度脈沖模型）模擬地震動低頻脈沖分量，隨機性方法（功率譜函數模型）來模擬地震動的高頻分量，然后將高低頻分量在時域內進行疊加模擬頻率成分更為寬泛的脈沖型地震動時程。這種混合模型方法綜合了確定性方法和隨機性方法的優點，既能夠表現出近斷層地震動的脈沖特性，又包含了其高頻成分的時頻非平穩特性。

1 低頻脈沖分量的擬合模型

近斷層地震動（距離斷層破裂面30 km以內）因其獨特的特性，相比于遠場地震動有很大的不同，尤其是因方向性效應引起的大幅值速度脈沖特性，對工程結構會造成更復雜的影響［15］。文中選取以下2種不同速度脈沖模型進行研究。

Dickinson等［6］通過從具有代表性的地面運動記錄樣本中統計表征地面運動，提出了采用Gabor小波對低頻脈沖速度時程vp模擬的模型，該模型的數學表達式如式（1）所示：

式中：Vp表示脈沖峰值速度；Tp為脈沖周期；TPK為脈沖峰值時刻；Nc為脈沖循環數；φ為脈沖相位角。其中，Nc和φ為隨機變量，可以實現不同脈沖數且脈沖峰值不等的速度脈沖。

Mavroeidis等［7］通過對比多個簡化速度脈沖模型（方波，三角函數和正弦波），發現其有很大的不足。因此，他們提出了如下的等效速度脈沖模型（簡稱MP03脈沖模型）。該模型由鐘形包絡函數和諧波函數組成，具有簡單的數學表達式，如式（2）所示，各個參數有明確的物理意義，能夠模擬較大頻率范圍的脈沖波形。

式中：Vp表示脈沖信號的幅值；Tp為脈沖周期；θ為脈沖信號的相位角；γ為信號諧振特性參數γ>1；t0為速度峰值所對應的時刻。ts和te分別表示脈沖開始和結束的時刻，且ts=t0-0.5γTp,te=t0+0.5γTp。

2 高頻隨機分量的擬合模型

Vlachos等［14］于2016年在前人眾多改進的基礎上對Kanai－Tajimi地震動模型進行了時變修正優化，提出了采用雙模態時變修正Kanai－Tajimi模型模擬地震動的時變功率譜，該模型考慮了地震是由不同頻率的各分量波釋放能量的原理以及地震波中的P波、S波和面波到達記錄點的時差，能夠較好地描述地震動的時頻非平穩特性。其表達式如式（3）：

式中：S(f,t)代表該模型的時變功率譜；fc為截止頻率，fc=0.20 Hz；N=4；k代表不同的模態，可取1或2；ζ(k)g,f(k)g,S(k)0分別表示地表土層的阻尼比，卓越頻率和模態參與因子。

3 實際地震動數據分析

上文描述了模擬低頻脈沖分量的Gabor小波模型和MP03脈沖模型，模擬高頻隨機分量的完全非平穩時變Kanai-Tajimi模型，為驗證模型的有效性，確定最優速度脈沖模型，最后疊加高低頻分量生成合成的地震動時程，現采用18條實際近斷層脈沖地震動記錄作為此次分析的數據，如表1。根據Shahi等［16］提出的脈沖識別的量化指標PI進行脈沖驗證，表中PI值均大于0，證實了該18條原始地震動均為脈沖型地震動。

表1 18條近斷層脈沖型地震記錄Table 1 18 near-fault pulse seismic records

田玉基等［17］對11次地震動、28條地震記錄分析后發現近斷層速度脈沖是小于1 Hz的低頻成分，為此，文中采用趙國臣［18］提出的多尺度分析方法將18條近斷層脈沖型地震動分解為界限頻率定為1 Hz的低頻脈沖分量和高頻隨機分量。圖1為地震動LANDERS_YER360經分解后的高低頻分量。

圖1 LANDERS_YER360地震動經過分解后的低頻、高頻分量Fig.1 Low-frequency and high-frequency components of LANDERS_YER360 ground motion after decomposition

3.1 地震動低頻脈沖分量模擬

為驗證不同脈沖模型的精確度，首先需要對分解得到的低頻分量數據進行參數識別，獲取不同模型的模型參數值。其識別過程如下：采用Baker［16］方法對低頻分量進行脈沖提取，從實際速度時程中提取最優脈沖波形，然后，將Gabor小波模型和MP03脈沖模型分別和提取到的脈沖波形進行擬合，獲得相應的模型參數。對于Gabor小波模型而言，其含有Vp，Tp，TPK，Nc，φ共5個未知參數，同樣，MP03脈沖模型也含有5個未知參數Vp，Tp，θ，γ，t0，針對此類模型5個未知參數的識別問題是一個典型非線性特征的多參數函數的優化問題。為此，我們引入人工蜂群（artificial bee colony，簡稱ABC）算法。ABC算法最早由土耳其學者Karaboga等［19］于2005年提出，并用于解決多變量函數優化問題。由于該方法基本不需借用外部信息，僅采用適應度函數作為進化的依據，目前已被廣泛應用于神經網絡訓練、語音識別、機器學習、組合優化等應用領域［20］，對地震動脈沖模型的識別也非常有效。

圖2為LANDERS_YER360地震動低頻分量提取的脈沖波形，采用人工蜂群算法對Gabor小波模型和MP03脈沖模型分別進行參數提取，可得到如表2、表3所示的最優參數。其中LANDERS_YER360地震動不同模型的擬合結果如圖3所示，從圖中可以看出Gabor小波模型和MP03脈沖模型擬合結果均能夠較好的反映速度脈沖波形，擬合效果良好。

圖2 LANDERS_YER360地震動分解的低頻分量提取的速度脈沖Fig.2 Velocity pulse extracted from low-frequency component of LANDERS_YER360 ground motion decomposition

表3 各速度脈沖波形與MP03脈沖模型擬合得到的最優參數Table 3 The optimal parameters obtained by fitting each velocity pulse waveform with MP03 pulse model

圖3 LANDERS_YER360地震動速度脈沖不同模型的擬合結果Fig.3 Fitting results of different models of LANDERS_YER360 ground motion velocity pulse

表2 各速度脈沖波形與Gabor小波模型擬合得到的最優參數Table 2 The optimal parameters obtained by fitting each velocity pulse waveform with Gabor wavelet model

為準確的描述Gabor小波模型和MP03脈沖模型的模擬精度，體現出模型的適用性，現對表1中的18條地震動擬合數據進行速度反應譜分析，其中列舉了阻尼比分別為0.05，0.1這2種情況，模型的精度由模型速度反應譜與實際脈沖速度反應譜的比值Rsv來表示。從圖4～圖5中可以看出，當Rsv接近于1時，該模型的彈性結構速度響應與實際越一致，其模擬精度也越高，圖中黑色實線表示各條地震動的Rsv，黑色粗實線為該18條地震動Rsv的均值。

圖4 Gabor小波模型Rsv曲線Fig.4 Rsv curve of Gabor wavelet model

圖5 MP03脈沖模型Rsv曲線Fig.5 Rsv curve of MP03 pulse model

從圖4～圖5中可以看出，不同地震動由同一模型模擬時，其模擬精度也存在著較大差別，當結構阻尼比為0.1時，離散程度小，其差別小；阻尼比為0.05時，離散程度大，差別大；在Tn＞3的區間內，上述2種模型在不同阻尼比下的Rsv均值都接近于1，此時通過近似模型可以得到接近于實際地震動的反應譜值；0＜Tn＜3的區間內，MP03脈沖模型在不同阻尼比下Rsv的離散程度均大于Gabor小波模型。

總體而言，Gabor小波模型模擬結果Rsv較MP03脈沖模型模擬結果Rsv的離散程度較小，為此，文中選用Gabor小波模型用于低頻分量擬合的模型。

3.2 地震動高頻隨機分量模擬

完全非平穩時變Kanai-Tajimi模型中，存在f(1)g(t),f(2)g(t),ζ(1)g(t),ζ(2)g(t),S(1)0(t),S(2)0(t)6個未知參數，取S(1)0(t)=1，此時原模型中含有5個未知參數，依然采用人工蜂群算法（ABC算法）進行分析，具體識別過程借鑒鐘庭等［21］雙模態時變K－T模型參數取值流程。圖6為經過多重濾波技術得到的LANDERS_YER360地震動高頻分量的時變功率譜圖。

圖6 LANDERS_YER360地震動高頻分量的實際時變功率譜Fig.6 Actual time-varying power spectrum of high frequency components of LANDERS_YER360 ground motion

利用漢明窗平滑技術［22］對各高頻分量的實際時變功率譜進行平滑，利用式（3），通過人工蜂群算法對平滑后的時變功率譜進行擬合，可得到阻尼比ζ(1)g(t),ζ(2)g(t)，取其平均值為ζ(1)g=0.002 2，ζ(2)g=0.467 0。將ζ(1)g，ζ(2)g作為已知參數代入式（3），利用人工蜂群算法對該模型進行二次擬合，得到f(1)g(t),f(2)g(t),S(2)0(t)與各時間點的關系曲線，根據高斯分布函數對f(1)g(t),f(2)g(t),S(2)0(t)進行曲線擬合，擬合結果如圖7所示，擬合得到的參數見表4。

圖7 (t),(t),(t)擬合Fig.7 The fitting of (t),(t),(t)

表4 LANDERS_YER360地震動(t)(t),(t)參數值Table 4 (t)(t),(t)parameter values of LANDERS_YER360 ground motion

表4 LANDERS_YER360地震動(t)(t),(t)參數值Table 4 (t)(t),(t)parameter values of LANDERS_YER360 ground motion

參數f(1)g(t)f(2)g(t)S(2)0(t)F1 0.026 5 1 484 0.571 9 a1 16.91－263.9 16.78 b1 0.850 7 115.5 2.455 F2 0.026 8 2.077×1013 0.082 5 a2 14.82－1 499 24.14 b2 0.29 274.7 10.22

根據擬合的結果，將擬合得到的各參數值代入式（3）得到經過模型化的時變功率譜。圖8為經過模型化的功率譜圖。

圖8 模型化后的時變功率譜Fig.8 Time-varying power spectrum after modeling

利用Shinozuka等［23］提出的基于時變功率譜的加速度時程合成方法對高頻隨機分量的加速度時程進行擬合，如式（4）所示：

式中：x(t)表示擬合的加速度時程；Δf表示頻率間隔；G(t,2πfk)表示不同時刻的瞬時時變功率譜值；φk表示（0，2π）內均勻分布的隨機相位角。

將模型化的時變功率譜代入式（4）得到擬合的高頻分量加速度時程，如圖9所示。

圖9 擬合的加速度時程曲線Fig.9 Curve of fitting acceleration time history

為驗證完全非平穩時變Kanai-Tajimi模型的有效性，下面對比擬合分量和實際高頻分量的加速度反應譜、歸一化累積能量、強度包線和累積穿零次數，如圖10～圖13所示。

圖10 加速度反應譜比較Fig.10 The comparison of acceleration response spectra

圖11 歸一化累積能量對比Fig.11 Comparison of normalized cumulative energy

圖12 強度包線比較Fig.12 Comparison of strength envelope

圖13 累積穿零次數對比Fig.13 Comparison of cumulative upward zero-crossing times

由圖10～圖13可以看出，擬合分量和實際高頻分量之間在時域非平穩和頻域非平穩特性上保持了較好的一致性。表明了完全非平穩時變Kanai-Tajimi模型的有效性。

3.3 高低頻分量疊加擬合近斷層脈沖型地震動

近斷層脈沖型地震動由低頻脈沖分量和高頻隨機分量2部分組成，以地震動LANDERS_YER360為例，將3.1節得到的擬合低頻脈沖速度時程求導，獲得其加速度時程，如圖14所示。此時，將獲得的低頻脈沖加速度時程和3.2節獲得的高頻分量加速度時程疊加得到模擬的近斷層脈沖型地震動，如圖15所示。圖16為LANDERS_YER360地震動原始加速度時程。

圖14 LANDERS_YER360地震動擬合脈沖分量Fig.14 LANDERS_YER360 ground motion fitting pulse component

圖15 擬合地震動加速度時程Fig.15 Acceleration time history of fitting ground motion

圖16 原始地震動加速度時程Fig.16 Acceleration time history of original ground motion

為驗證該混合模型的有效性，下面對比擬合地震動和實際地震動的加速度反應譜、歸一化累積能量來分析該混合模型的擬合效果。

由圖17～圖18可以看出，擬合地震動時程和實際地震動時程之間能夠保持較好的一致性。表明了該混合模型的有效性。

圖17 加速度反應譜比較Fig.17 Comparison of acceleration response spectra

圖18 歸一化累積能量對比Fig.18 Comparison of normalized cumulative energy

4 結論

文章通過選取實際近斷層脈沖型地震動，對其低頻脈沖分量進行Gabor小波模型和MP03脈沖模型參數識別、擬合，得到模型化后的速度脈沖；對其高頻隨機分量進行完全非平穩時變Kanai－Tajimi模型參數識別，得到模型化后的時變功率譜，進而合成高頻分量加速度時程，最后疊加高低頻加速度分量，得到擬合的近斷層地震動時程。主要得到以下結論：

（1）通過對比不同脈沖模型擬合速度反應譜與實際脈沖速度反應譜的比值Rsv，可以發現Gabor小波模型的模擬精度高于MP03脈沖模型。

（2）通過比較擬合高頻分量和實際高頻分量的加速度反應譜、歸一化累積能量、強度包線以及累積穿零次數，可以發現擬合分量和實際高頻分量較為吻合，能夠實現高頻隨機分量的擬合。

（3）通過對比擬合地震動時程和實際地震動時程的加速度反應譜、強度包線以及歸一化累積能量，發現兩者之間能夠保持較好的一致性。

因此，近斷層脈沖型地震動的模擬可以通過Gabor小波模型和完全非平穩時變Kanai-Tajimi模型來實現。