基于模態參與消減的直連拉索連接慣容系統的簡易算法

謝麗宇，班鑫磊，康建飛，薛松濤，4

（1.同濟大學 土木工程學院，上海 200092；2.上海電力設計院有限公司，上海 200025；3.日本東北大學 災害科學國際研究所，宮城仙臺980－8572；4.日本東北工業大學 建筑系，宮城仙臺982－8577）

引言

建筑結構在地震等自然災害作用下的不利振動會使結構性能退化顯著，帶來安全性和舒適性等問題。因此，需要采取一定的工程措施，如在建筑結構中安裝減振系統［1］，以盡快恢復震后建筑的使用功能，提升建筑結構的抗震防災性能［2－3］。結構振動控制［3］是近40年來發展起來的一門新興技術，它可以減小結構在地震、風等外部激勵下的動力響應，顯著提高土木工程結構抑制各類有害振動的能力，保障結構在地震和強風中的安全性及舒適度。慣容系統［4－6］是近年來眾多學者開始探索的一種新型動力吸振技術。

慣容元件［4］是一種具有質量增效特性的兩端點元件，出力與元件兩端的相對加速度成正比，與傳統的單節點質量元件的不同之處體現在：（1）慣容系數遠大于自身的物理質量，可產生數千倍于實際物理質量的表觀質量［5－8］，因此可以在幾乎不增加結構實際質量的同時實現結構的振動控制；（2）慣容元件的兩端點特性提高了其安裝方式的靈活性［9］，使其不僅僅局限于如懸掛等單端點連接的方式，還可以采用與普通消能減震裝置相同的層間安裝方式［10］，這樣一來，慣容元件就可以利用樓層間的加速度差進行減震；（3）慣容所增加的慣性質量并不會增加結構所受的地震作用，具有地震輸入減少的特性［11］。

追溯到土木工程領域慣容裝置的雛形是Kawamata等［12－14］開發的液體泵，利用流體在管道中的運動可以實現對液體質量慣性的封裝。之后，學者們針對慣容這一雙端質量元件，在不增加額外自由度的條件下，開展了慣容減震系統的研究［15－20］。Saito等［21］分析了安裝慣容控制元件的單自由度結構的動力響應，首次從降低結構激勵幅值的角度分析了慣容控制元件的工作機制。Furuhashi等［11，22－23］也得出了安裝慣容控制元件可以有效控制結構響應的結論。Hessabi等［24－25］通過采用齒輪慣容裝置提高了薄弱層結構的抗震性能，增加了底層結構的抗側承載力，降低了地震能量的輸入。然而上述研究均未考慮支撐系統的改進，為此，文中結合拉索支撐的特性，從地震輸入減少及模態參與消減兩個角度分析直連拉索連接慣容系統的減震機理及其優勢。

1 直連拉索連接慣容系統的減震機理

1.1 直連拉索連接慣容系統的組成

文中利用拉索支撐僅提供軸向約束的特點，簡化連接節點的構造，避免多維地震作用下的應力集中問題，采用端部扭矩可以自平衡的慣容裝置提出了直連拉索連接慣容系統，如圖1所示。

1.2 地震輸入減小特性

慣容作為具有兩節點的質量元件，可以通過拉索支撐直接與結構相連接，從而調整結構的質量特性。直連拉索連接慣容系統是拉索連接慣容系統不使用調諧彈簧并忽略拉索柔度時的特殊形式，其基本構造如圖1所示。拉索的傾斜角為θ，慣容的表觀質量為md，單自由度結構在地震激勵下的運動方程可以表達為：

圖1 安裝直連拉索連接慣容系統的多自由度結構Fig.1 Multi-degree-of-freedom structure equipped with direct connected cable inerter systems

式中：m，c，k分別是結構的質量，阻尼和剛度；，us(t)分別是結構的加速度，速度及位移響應；ag（t）是外部激勵輸入。定義等效慣質比μ為(md(cosθ)2)m，式（1）可以等效換為：

對比式（1）和式（2）可知，通過直連拉索連接慣容系統調整單自由度結構的質量信息，我們可以獲得等效的阻尼折減，剛度折減及地震輸入減小。該特性是由慣容雙端質量特性引起的，慣容顯著的表觀質量增加了式（1）左半部分的質量信息的改變而相對較小的物理質量對右半部分的地震輸入力的影響幾乎可以忽略。應當注意的是，此處定義的地震輸入減小是指輸入到主體結構的加速度減小，而非減少地震力本身。這是基于接地慣容的加速度補償機制實現的，部分地震加速度通過慣容直接傳遞。廣義而言，直連拉索連接慣容系統具備以下控制特點：

（2）通過等效折減結構阻尼，將結構的固有阻尼系數降低為原固有阻尼系數的

（3）安裝直連拉索連接慣容系統的單自由度結構地震輸入等效折減為了原結構的

應當注意的是，此處定義的地震輸入減小是指輸入到主體結構的加速度減小，而非減少地震力本身。這是基于接地慣容的加速度補償機制實現的，部分地震加速度通過慣容直接傳遞。

1.3 模態參與消減特性

模態參與消減特性，最初由Furuhashi等［11］針對直連慣容裝置提出。當考慮如圖1所示的多自由度結構體系時，通過適當調整直連拉索連接慣容系統在結構中的分布，可以有效的控制結構的模態特性。安裝有直連拉索連接慣容系統的多自由度結構受地震激勵的控制方程可以表達為：

式中：M0，Md質量矩陣和直連拉索慣容系統的慣容表觀質量矩陣，表達式見式（4）和式（5），其中βc是拉索的傳遞系數，表達式見式（6）和式（7）；C，K是結構的阻尼矩陣和剛度矩陣表達式見式（8）和式（9）和Xs(t)代表結構的加速度、速度及位移的響應向量；1為地震激勵系數，指代地震輸入對于多自由度各個樓層的一致激勵。

當充分利用結構的寬度，并采用滑輪式拉索支撐時，拉索的傳遞效率可以依據式（6）進行計算：

式中：B是結構的立面寬度；hi是結構第i層的結構高度。當定義等效地震激勵系數：

方程（3）可以等效變形為：

假定受控結構的i階模態向量為i?，則受控結構的i階模態響應可以通過求解如下等效單自由度結構的運動方程獲取：

式中：iω和ih分別為受控結構的i階圓頻率和阻尼比。i階模態響應的參與因子iГ為：

與無控結構的模態參與因子不同的是，式（13）中受控結構的模態參與因子可以通過慣容表觀質量的合理設定，來改變地震激勵系數從而調整模態參與因子。最為極端的工況為，地震激勵系數與特定的模態向量關于質量矩陣(M0+Md)正交，則此模態向量對應的模態響應在受控結構總體響應的貢獻為0。

從參數分析的層面，以圖2中4層結構為例，結構的各層質量均為1 000 t，各個樓層的層間剛度均為8×105kN/m，在其底層接地安裝一個直連拉索連接慣容系統，以各層拉索的傳遞系數為0.5為例，當直連拉索連接慣容系統的表觀質量由0 t開始連續變化時，依據模態參與因子的定義，可以計算其相對應的各階模態參與因子。慣容的表觀質量與各階模態參與因子平方值的關系如圖3所示。由圖3可知，在所選取的慣容表觀質量范圍內，結構的1階模態參與因子隨著表觀質量的增加而減小。對于2階、3階及4階模態而言，總是存在特定的表觀質量使得相應的模態參與因子降為0值。

圖2 4層主體結構振型Fig.2 Mode shape of 4-story uncontrolled structure

圖3 md－Γ2關系Fig.3 Relationship between md andΓ2

進一步，當考慮同時消減多個模態時，以直連拉索連接慣容系統分別安裝于結構的底層及2層為例，其表觀質量的變化同樣將引起結構各模態參與系數的改變。如圖4所示，至少存在一個表觀質量的組合使得結構的2階至4階模態中的2個同時為零。

圖4 表觀質量－多個模態參與系數關系圖Fig.4 Apparent mass-multimodal participation factors

2 直連拉索連接慣容系統的簡易算法

從解析的層面，觀察i階模態響應參與因子的表達式可知，模態參與消減的本質為通過調整慣容表觀質量改變受控結構的模態向量i?使得如下方程成立：

假定模態向量i?={i?1i?2i?3i?4}T，則方程（14）可以改寫為：

又因為i?是模態向量，需要滿足特征值方程：

利用直連拉索連接慣容系統進行模態參與消減設計的本質為求解由式（15）和式（16）組成的關于變量{i?1i?2i?3i?4}T、iω及慣容表觀質量md,1,…md,n的聯立方程。

同樣以圖2中的4層結構為例，用于消減特定模態i?={i?1i?2i?3i?4}T的直連拉索慣容系統安裝于底層，則控制方程見式（17）和式（18）：

將式（17）中的各行相加并減去式（18）可得：

將式（19）帶入式（17）并整理可得到：

上式是一個常規的特征值問題，因此可以采用MATLAB中的“eig（）”函數直接求解。將求解所得到的特征值帶入式（19）即可求得對應的慣容表觀質量。值得注意的是，由于方程（20）右側的剛度矩陣非滿秩，存在一個數值為0的1階特征值。因此，當系統嘗試控制1階模態時，則所需的慣容表觀質量由式（19）計算為無窮。這與圖3中的參數分析結果一致。依據圖2中4層結構的參數，可以計算得出用于控制2階、3階及4階的慣容表觀質量分別為：3 414.21、1 000.00、585.79 t，這與圖4中的參數分析的結果一致。

當考慮多個模態參與消減時，為了簡化慣容參數的計算流程，防止控制效果的耦合導致設計困難，在此，指定安裝位置較高的直連拉索連接慣容系統用于消減較高階模態，并盡可能的將直連拉索連接慣容系統安裝于結構下部。同樣以在底層和第2層安裝直連拉索連接慣容系統的4層結構為例，其控制方程可以寫為：

式中：i，j為目標控制模態。

由上述單一模態參與消減的計算流程可知，安裝于上層的直連拉索連接慣容系統的控制效果不受下層系統影響。因此，從較高層的直連拉索連接慣容系統的表觀質量開始計算。假定，第2層直連拉索連接慣容系統所控制的模態向量為：j?2={0j?2j?3j?4}T，則將方程（21）的第2行至第4行相加并減去方程（22）可得：

將式（23）帶入式（22）并整理可得：

方程（24）是一個傳統的特征值問題。考慮到方程（24）右側的剛度矩陣為秩為2的矩陣，因此在此假定下，安裝于結構2層的直連拉索慣容系統僅能消減第3或第4階模態。將求解所得的特征值帶入式（23）即可求得對應的慣容表觀質量。進一步的，獲取安裝于2層的直連拉索連接慣容系統的相關參數后，則安裝于底層的直連拉索連接慣容系統的參數求解與消減單一模態的流程完全一致。依據圖2中的4層結構的參數，可以計算得出用于同時控制2階和3階，2階和4階及3階和4階的慣容表觀質量的組合分別為：（4 303，2 000），（3 618，667）和（1 382，667），這與圖4中的參數分析結果一致。同理，依據上述流程設計的用于消減結構2階至4階模態的直連拉索連接慣容系統應安裝于結構的底層，2層及3層，相應的慣容表觀質量應選取為：5 000，2 666.67，1 000。

如果將結構除了1階模態以外的高階模態的參與系數通過逐層安裝慣容裝置消減為0時，此控制方法一般稱為全模態控制，由式（13）可知，i階模態響應的參與因子消減為0的條件可以描述為結構的第i階模態向量i?與等效地震激勵系數關于結構質量矩陣正交。依據結構各階模態關于其質量矩陣正交可知，令等效地震激勵系數與受控結構的一階模態相同時，對1階以外的模態而言，其參與因子恒為0。

若結構的1階模態向量與等效地震激勵系數相等，則下式成立：

將等效地震激勵系數代入式（25）可得：

對式（26）由下至上逐項累加可得：

考慮到控制n－1階模態僅需n－1個直連拉索連接慣容系統，且盡可能將直連拉索慣容系統安裝于下部，頂層未安裝慣容系統。由此可知md,n=0。根據等效地震激勵系數的定義可知：

將βn=1代入式（27）可以得到全模態控制的受控結構的1階圓頻率：

因此，將式（29）代入式（27）可以得到等效地震激勵系數。將等效地震激勵系數代入式（28）可以求解出各層直連拉索連接慣容系統的慣容表觀質量：

以圖2中的4層結構為例，依據上述流程設計的全模態消減模態的直連拉索連接慣容系統應安裝于結構的底層，2層及3層，相應的慣容表觀質量應選取為：5 000，2 666.67，1 000 t，得到的慣容減震結構的參與模態向量如圖5所示，依據文中所提的簡易算法設計的直連拉索連接慣容系統有效地消減了結構的2～3階模態。

圖5 4層結構的參與模態向量Fig.5 Participation mode vectors of the 4-story structure

3 算例分析及減震性能驗證

為了驗證基于全模態參與消減設計的直連拉索連接慣容系統的減震性能，采用日本隔震結構協會提出的2個基準結構作為算例，設計對應的直連拉索連接慣容系統并驗證其減震性能。2個基準結構的立面圖如圖6所示，底層層高均為6 m，標準層層高為4 m。基準結構的等效剪切模型的各層彈性剛度及樓層質量以及基于文中所提全模態參與消減簡易算法設計的直連拉索連接慣容系統的表觀質量匯總于表1和表2中。

表1 4層基準結構的參數及慣容系統的設計參數Table 1 Basic parameters of the reference 4－story structure and the design parameters of the inerter systems

表2 20層基準結構的參數及慣容系統的設計參數Table 2 Basic parameters of the reference 20-story structure and the design parameters of the inerter systems

圖6 基準結構立面圖（單位：m）Fig.6 Elevations of the reference structures（Unit：m）

圖7和圖8顯示了無控結構及有控結構的底層、頂層和中間層的位移傳遞函數和在El Centro地震波作用下結構各層的響應。以4層基準結構的頻響函數為例，無控結構在1階、2階、3階以及4階模態對應的頻率處存在局部峰值，通過全模態參與消減簡易算法進行設計的有控結構針對位移頻響函數在高階模態的峰值均有較好的消除作用。這與全模態參與消減算法的目標是一致的，即消除高階模態的參與，使結構以1階模態為主。通過位移傳遞函數的對比，可以驗證基于全模態參與消減機理設計的直連拉索連接慣容系統可以有效去除高階模態的影響。通過逐層安裝直連拉索連接慣容系統，可以實現慣容減振結構的模態參與消減，在頻域范圍內驗證了文中提出的全模態參與消減簡易算法的有效性以及該方法所推導的慣容系統表觀質量解析公式的便捷性。

圖7 2個基準結構的頻響函數Fig.7 Frequency response functions of two reference structures

圖8 2個基準結構的控制效果Fig.8 Control effect of two reference structures

在時域分析的角度，對于2個4層和20層的結構而言，在地震激勵作用下，20層結構的位移和加速度的控制效果優于4層結構的位移和加速度的控制效果。尤其對于加速度的控制效果，越是高層結構，加速度的控制效果越顯著，這正是因為，高層或超高層建筑的樓面加速度響應往往同時受到多階模態的控制，高階模態的參與因子較大。通過使用全模態參與消減簡易算法設計的直連拉索連接慣容系統對于高層結構的位移、加速度和層間位移角的控制效果是顯著的。

4 結論

文中從慣容元件入手，通過模態參與消減機制來探究高層結構的模態參與因子對結構振動響應的影響，探究基于模態參與消減機制的拉索連接慣容系統的減震機理及其控制優勢。主要結論如下：

（1）介紹了直連拉索連接慣容系統的地震輸入減小性能及模態參與消減特性，給出了直連拉索連接慣容系統的控制特點。

（2）推導了基于模態參與消減機制的直連拉索連接慣容系統的解析解，并和參數分析結果相吻合，從解析的層面揭示了慣容的表觀質量與各階模態參與因子的關系。通過慣容表觀質量的合理設定進行模態參與因子的調節，為慣容系統的參數設計提供了理論依據。

（3）結合結構各階模態關于其質量矩陣正交給出了全模態參與消減的簡易算法。該算法不存在求解耦合方程和指定的模態特征值，在數值穩定及工程應用方面具有一定的價值。

（4）通過位移傳遞函數的對比，可以驗證基于全模態參與消減機理設計的直連拉索連接慣容系統可以有效去除高階模態的影響。因此，通過使用全模態參與消減簡易算法設計的直連拉索連接慣容系統可以實現對高層結構的位移、加速度和層間位移角的有效控制。