“球槽模型”的壓力極值位置分析

李旭斌

（中國人民大學附屬中學朝陽學校，北京 100028）

球槽模型是高中物理的一類經典模型.在動量與能量綜合的習題課教學中，教師經常以此模型為抓手，讓學生推導鋼球運動到最低點時的速度，以鞏固動量守恒及機械能守恒的應用.筆者在執教過程中發現學生存在“鋼球運動至最低點時對凹槽產生的壓力最大”的前概念，為一探究竟，筆者查閱文獻［1］，發現將鋼球視為質點模型，可以通過數理解析得出只有當槽質量為鋼球質量2.73倍以上時，鋼球在最低點才有最大速度.為考慮更一般的情形，筆者嘗試不將鋼球視為質點，并結合了剛體純滾動、柯尼希定理、伽利略變換等方面的競賽知識做了深入思考.

1 問題的提出

如圖1，半圓形凹槽靜止放置在光滑水平地面上，鋼球從半圓形凹槽的左側邊緣由靜止釋放，凹槽質量為M，鋼球質量為m、半徑為R，凹槽圓心到鋼球球心的距離為r，重力加速度為g.

圖1 半圓形凹槽板塊模型

如果凹槽固定在地面上，鋼球運動過程等價于“球繩模型”，鋼球運動到最低處對凹槽產生的壓力最大，但是當凹槽與地面不再固定，鋼球仍然是在最低處對凹槽產生的壓力最大嗎？由于鋼球向下純滾動過程中，凹槽向左運動，兩者相互擠壓，壓力最大位置有可能出現在最低點附近嗎？

2 定量分析

如圖2，鋼球上行過程中，鋼球相對于凹槽的質心速度vC′平行于凹槽切線方向斜向右上方，根據幾何關系vC′與水平方向夾角為θ，此時凹槽獲得水平向左的速度v.凹槽對鋼球的支持力為N，鋼球所受重力為G，鋼球所受靜摩擦力為f.

圖2 鋼球沿凹槽上行

根據伽利略變換可得此時鋼球對地水平向右的速度為vC′cosθ＋v，根據水平方向動量守恒有

忽略滾動摩擦所產生的機械能損耗，以鋼球在最低處球心所在平面為零勢能面，從開始到圖2狀態，根據系統機械能守恒有

根據“柯尼希定理”鋼球對地的總動能T為質心對地平動動能和鋼球相對質心的轉動動能之和，有

鋼球上行過程中相對凹槽做純滾動，有

球心相對O點做圓周運動，法線方向由牛頓第二定律可得

聯立（1）－（5）式得到

筆者嘗試同樣運用數理解析，將（6）式對cosθ進行求導，令導數為0以求得鋼球對凹槽壓力的極值，以及壓力極值出現的位置，但是過程繁瑣且最終的方程為一元五次，難以求解，因此筆者決定采用計算機數值模擬的方法取代（6）式的數理解析求法進行分析.

2.1 情形1：M＞m，判斷N max出現的最大位置

取M＝2 kg，m＝1 kg，R＝0.1 m，r＝1 m，g＝10 m／s2.采用 Mathematica軟件繪制的圖像如圖3所示.

圖3 M＞m情形下的壓力大小隨夾角θ的變化

通過圖像可以發現，鋼球對凹槽壓力最大的位置在最低處，此時槽質量是鋼球質量的2倍，在文獻［1］中描述的槽質量是鋼球質量的2.73倍以下，此時仍然得到鋼球對凹槽壓力極值出現在最低處，可見考慮鋼球大小和外形的必要性.

2.2 情形2：M＝m，判斷N max出現的最大位置

取M＝1 kg，m＝1 kg，R＝0.1 m，r＝1 m，g＝10 m／s2.采用 Mathematica軟件繪制的圖像如圖4所示.

圖4 M＝m情形下的壓力大小隨夾角θ的變化

通過圖像可以發現，鋼球對凹槽壓力最大的位置在－0.3 rad到0.3 rad之間，由此發現槽質量等于鋼球質量是壓力極值偏離最低點的臨界條件.

2.3 情形2：M＜m，判斷N max出現的最大位置

取M＝1 kg，m＝2 kg，R＝0.1 m，r＝1 m，g＝10 m／s2.采用 Mathematica軟件繪制的圖像如圖5所示.

圖5 M＜m情形下的壓力大小隨夾角θ的變化

通過圖像可以發現，鋼球對凹槽壓力最大的位置在－0.6 rad和0.6 rad處，此時最大壓力出現的位置不再是最低處，而是在最低處附近的兩個對稱的位置上.

3 小結

考慮鋼球的大小和外形，通過計算機數值分析發現，槽質量等于鋼球質量是壓力極值偏離最低位置的臨界條件，當半圓形凹槽質量大于鋼球質量時，鋼球對凹槽的最大壓力出現在最低處；當半圓形凹槽質量小于鋼球質量時，鋼球對凹槽的最大壓力出現在最低處附近的兩個對稱的位置上.該結論與將鋼球視為質點情形下的分析結果有所不同，并且考慮鋼球的外形及鋼球的滾動效應是必要的.

教師在面向物理資優生的教學中要注意將學生“鋼球在最低點對凹槽壓力最大”的前概念轉化為“鋼球質量小于凹槽質量時，鋼球在最低點對凹槽壓力最大”.可見，物理結論的成立存在一定的適用條件，當給定的條件、原有模型發生變化時，原有的物理結論也將發生變化，教師在日常教學中應注意引導學生關注物理結論成立的背景及條件，防止思維定式的產生.這也有利于前概念的轉化.