受長直導線電流磁場作用的圓環的遠離末速度

于正榮 金 飛

（鹽城市伍佑中學，江蘇 鹽城 224041）

1 原題呈現

如圖1所示，一無限長通電直導線固定在光滑水平面上.一質量為0.02 kg的金屬圓環在該平面內以大小v0＝2 m／s，方向與電流方向成60°角的初速度滑出，直到達到穩定.求：

圖1

（1）整個過程金屬圓環產生的電能；

（2）整個過程金屬圓環受到安培力的沖量.

解析：這是2022年3月蘇錫常鎮四市高三教學情況調研卷的第13題.該題依托電磁感應現象，綜合考查了受力分析、運動分析、能量轉化、沖量與動量等核心知識點.但其中對圓環運動情況的分析，受到教師們的熱議.先看第（1）問的參考答案.

2 提出疑問

圓環垂直長直導線的速度一定會減為0嗎？有人認為，長直導線所激發的磁場彌漫于整個空間，只要圓環存在遠離速度，就必定會受到指向直導線的安培力作用而繼續減速，直到速度減為0為止.也有人認為，雖然整個空間都有磁場，但會隨著遠離直導線而迅速減弱，導致圓環所受安培力、加速度迅速減小.即使運動到無窮遠，速度的變化可能也很有限，如果圓環初速較大，速度未必減為0.兩種觀點莫衷一是，究竟誰有道理呢？

3 類比分析

磁場問題相對復雜，我們不妨先考查靜電場中，電荷受電場力作用速度會否減為0.如圖2所示，電荷＋Q固定不動，電荷－q從距＋Q為r0的A點以初速v0遠離＋Q運動.

圖2

綜上所述，在靜電場和引力場中，有時位移雖很大，但力做功不一定很大，對應勢能的變化量也可能是一個有限值.就像小球掉在深洞里，如果給小球足夠大的初動能，它就可以克服重力的束縛，能夠出洞，而且還可能以一定的速度遠離.本題圓環所受安培力相當于直導線對它的持續吸引作用，其大小既會因磁場的減弱而減小，也會隨遠離速度的減小而減小，相比靜電場和引力場，克服安培力做功將更加收斂.因此末速度未必減0.

不過安培力較電場力、引力復雜，且安培力做功也不存在對應的勢能.類比分析只說明存在可能，定量計算才有說服力.

4 定量計算

設長直導線電流為I0，金屬圓環質量為m、半徑為r、電阻為R.開始時圓環中心O距直導線x0，并以初速v0向右運動（后面的討論不再考慮圓環平行于長直導線的速度），如圖3所示，不計圓環自感和其他阻力.

圖3

考慮到d l與v的角度關系，所以微元d l由于切割產生的感應電動勢為d E＝B d lv cosθ，所以整個圓環產生的感應電動勢為

計算表明，由于μ0非常小，圓環運動幾乎不受直導線磁場的影響，要使磁場對圓環有顯著影響，電流I0須達到匪夷所思的106A.從這個意義上看，結果與本文列舉的靜電場和引力場的例子一致，圓環完全可以掙脫長直導線的吸引而逃逸出去.因此原題的參考答案與實際情況相差甚遠.

退一步講即使電流I0很大，由于（9）式等號右邊第2項是有限值，只要初速v0較大，圓環仍可掙脫磁場的束縛.譬如在電流I0＝1×106A、其他物理量如前述數值的情況下，根據（8）式并結合電腦軟件進行數值計算，得到在不同初速度下，圓環速度v與運動位移x的關系圖像如圖4所示.可以發現，在初速度大于2.18 m／s時圓環即能逃逸，并且在初速度分別為3 m／s和4 m／s的情況下，圓環逃逸后的末速度分別約為0.81 m／s和1.81 m／s.

圖4 v-x圖像

以上分析我們可進一步理解，在常見的“導軌＋單導棒”和“導軌＋雙導棒”等電磁感應問題中，一般不考慮導軌（由于產生感應電流）的磁場對導棒的影響、也不考慮通電雙導棒之間的影響，因為它們的磁場實在太微弱了.

5 感想感悟

物理命題倡導理論聯系實際，設計與生產實踐、體育運動、科技前沿等方面緊密聯系的真實情境，在真實問題的解決中促進核心素養的達成，反對不切實際的偽情境問題.原題問題的設置可謂新穎靈活，令人耳目一新，唯一的缺憾就是情境的真實性不足.因此命題時一定要精心設計、多方思考、嚴格審定，切忌閉門造車，犯科學性或真實性錯誤.