圓錐曲線焦點三角形角平分線性質的探究

［摘? 要］ 解析幾何的魅力在于其在運動變化中的不變性，這為數學命題提供了大量素材，為落實學生的數學核心素養開發了一片沃土. 文章對一道解析幾何試題進行解法研究和延伸探索，從多角度尋求解決途徑，通過對數據的深入分析挖掘數據背后的本質，呈現深度研究解析幾何問題的一般思路.

［關鍵詞］ 圓錐曲線；焦點三角形；角平分線；性質

解題是數學學習的一項常規活動，我們在解題的過程中落實基本知識、基本技能的同時，更重要的是以題目為載體落實數學核心素養. 數學核心素養的落實，體現在多角度解決原問題的同時提出新的問題上，讓動態生成成為數學學習的常態，使發現問題成為數學學習目的. 著名數學教育家G·波利亞曾說過，“沒有一道題目是徹底完成的，總還會有些事情可以做.”下面以一道昆明三中高三文科模擬試題為例，對問題進行多元表征，探究得到六種解答方式.從結果入手，進行猜想、驗證、推理，得到橢圓和雙曲線焦點三角形角平分線的一條性質.

試題呈現

（昆明三中高三文科模擬試題）已知橢圓C：+=1（a>b>0）經過點P（2，3），離心率為，F，F為橢圓C的兩個焦點，∠FPF的平分線交x軸于點M.

（1）求橢圓的方程；

（2）求和的值.

[?]解法研究

第（1）問的答案：+=1.

第（2）問的解法研究：

解法1：由（1）知F（-2，0），F（2，0），所以

PF=5，

PF=3.

設∠FPF的平分線交x軸于點M（m，0），由三角形角平分線定理可知=，得=，解得m=，所以M

，0

. 所以==，==. （或者由=可知==）

解法2：由（1）知F（-2，0），F（2，0），所以=（-4，-3），=（0，-3），所以+=

-，-

+（0，-1）=

-，-

，所以∠FPF的平分線l的斜率為k=

-

÷

-

=2，所以l：y=2x-1，故M

，0

. 所以==，==.

解法3：由題意知F（-2，0），F（2，0），又P（2，3），可得直線PF的方程為3x-4y+6=0，直線PF的方程為x-2=0. 設點Q（x，y）是∠FPF的平分線l上的任意一點，由角平分線的性質可得點Q（x，y）到角兩邊的距離相等，即=x-2，得3x-4y+6=5（x-2），即x+2y-8=0（舍去），或3x-4y+6=-5（x-2），即2x-y-1=0，所以M

，0

. 所以==，==.

解法4：由（1）知F（-2，0），F（2，0），所以

PF=5，

PF=3. 由余弦定理可得cos∠MPF=，又Rt△PFM中cos∠MPF=，根據題意得=. 設∠FPF的平分線交x軸于點M（m，0），則=3，解得m=，所以M

，0

. 所以==，==.

解法5：由cos∠PMF+cos∠PMF=0和余弦定理得+=0，同解法4可得m=.

解法6：由三角形角平分線的性質可得PM2=

PF·

PF-

MF·

MF，設∠FPF的平分線交x軸于點M（m，0），將

PF=5，

PF=3和M（m，0）代入上式解得m=.

評析：解法1從一般三角形的角平分線定理出發，求出點M的坐標，進而求出線段的比值；解法2從向量的角度考慮，先求出角平分線的方向向量，進而求出角平分線的斜率，再求出角平分線的方程，即可得到點M的坐標；解法3用角平分線上的點到角兩邊的距離相等這個性質求出角平分線的方程；解法4從平分角出發，用余弦定理建立起等量關系，求出點M的坐標；解法5從兩個角互補出發，用余弦定理建立起方程；解法6用三角形角平分線的一條性質（庫斯頓定理）建立方程，解出點M的坐標，求出線段的比值.上述六個解法從六個角度多元表征角平分線，得到六種解決途徑. 實際上，本題還可以從內切圓、相似、三角形面積等角度探索更多解法.

延伸探索

1. 延伸探索一

問題1：此題第（2）問的結果為==，這個結果與橢圓的離心率相等，這是偶然嗎？當點P發生變化時，結果是否還是？當橢圓發生變化時，這個比值與其離心率是否還是相等的呢？下面借助數學軟件GeoGebra設定參數來探索這個問題（如圖2所示）.

通過探索發現，=，且與橢圓的離心率一直保持一致，那么能否證明這個結論呢？

定理1：已知橢圓C：+=1（a>b>0）上任意一點P（x，y），F，F為橢圓的兩個焦點，∠FPF的平分線交x軸于點M，則==e（e為橢圓的離心率）.

證明：設∠FPF的平分線交x軸于點M（m，0），在△PFF中，由角平分線定理=，得=，整理得（a+ex）（c-m）=（a-ex）（m+c），即ac-am+cex-mex=am+ac-mex-cex，得am=cex，即x=. 所以=====e.

推論1：已知橢圓C：+=1（a>b>0）上任意點P（x，y），F，F為橢圓的兩個焦點，∠FPF的平分線交x軸于點M（m，0），則=e2（e為橢圓的離心率）.

（由定理1的證明知x===，所以=e2）

2. 延伸探索二

問題2：雙曲線是否具有這個結論？

猜想：已知雙曲線C：-=1（a，b>0）上任意點P（x，y），F，F為雙曲線的兩個焦點，∠FPF的平分線交x軸于點M，則==e（e為雙曲線的離心率）.

再次借助數學軟件GeoGebra設定參數來探索這個問題（如圖3所示）.

通過探索，我們失望地看到，不等于雙曲線的離心率，但這并不影響我們對真理的渴望！既然這個比值不等于雙曲線的離心率，那么它等于什么呢？這個結果難以猜想，但我們通過軟件探索發現，這個比值雖然不會隨a，b的變化而變化，但會隨P點的變化而變化.

用代數法探索：

類比橢圓的研究方式，設∠FPF的平分線交x軸于點M（m，0），在△PFF中，由角平分線定理=，可得=，即（ex+a）·（c-m）=（ex-a）（m+c），即ac-am+cex-mex=-am-ac+mex+cex，得mex=ac，即x=. 所以=====. 同理=. 所以====.

定理2：已知雙曲線C：-=1（a，b>0）上任意點P（x，y），F，F為雙曲線的兩個焦點，∠FPF的平分線交x軸于點M，則==.

推論2：已知雙曲線C：-=1（a，b>0）上任意點P（x，y），F，F為雙曲線的兩個焦點，∠FPF的平分線交x軸于點M（m，0），則mx=a2.

（從定理2的探索中可知x===，所以mx=a2）

結束語

解析幾何試題為師生提供了研究載體以及深度學習與思考的空間. 一方面需要提取認知結構中的相關信息，對問題多元表征，探索解決問題的多條路徑，豐富運算手段，優化運算過程；另一方面需要深度研究試題所承載的內涵性質和思維延伸，挖掘數學本質. 從幾何角度來看，解析幾何的定值實際上是運動變化中的不變量；從代數角度來看，定值與參數的取值沒有關系.

從相關的解析幾何試題可以看出，題目中的幾何關系和代數運算是一類一般問題的特殊化研究，在平時的教學中，教師應通過對數學問題的觀察、猜測、抽象、概括和證明，實現對數學知識和方法的遷移、組合和融會，最終挖掘出題目背后蘊含的數學價值和育人功能，做到直觀感知和邏輯論證相結合，幫助學生從感性認知進階理性認知，對問題延伸拓展、遷移類比、創新再造，培養學生的問題意識，讓我們一直走在問題探索和思維生成的大路上.

作者簡介：周躍佳（1986—），在職研究生，中學一級教師，昆明三中副校長，呈貢區學科帶頭人，市級名師，昆明市首屆名班主任，省級優課名師. 獲昆明市命題比賽一等獎，獲賽課國家級一等獎、省級一等獎、市級一等獎.