考題突破探究，方法總結強化

［摘? 要］ 圓錐曲線最值問題是高中數學的典型題，探索問題解法，結合實例進行拓展強化十分必要. 文章以2022年高考浙江卷的“圓錐曲線最值壓軸題”為例，開展過程探究，總結破題方法，結合實例解析強化，并結合教學實踐提出幾點建議.

［關鍵詞］ 圓錐曲線；最值；函數；不等式；幾何

圓錐曲線最值問題在高考中十分常見，題設較為靈活，通常以曲線與直線相交為背景構建最值問題，如參數最值、線段長最值和面積最值等. 具體求解時需要結合題設條件探尋關系，合理構建思路，簡捷運算推導最值.

考題再現，考點定位

1. 試題呈現

（2022年高考浙江卷第21題）如圖1，已知橢圓+y2=1. 設A，B是橢圓上異于P（0，1）的兩點，且點Q0

，在線段AB上，直線PA，PB分別交直線y=-x+3于C，D兩點.

（1）求點P到橢圓上點的距離的最大值；

（2）求

CD

的最小值.

2. 考點定位

本題為圓錐曲線綜合題，以橢圓與直線相交為背景，題設兩問分別求距離和線段最值，屬于圓錐曲線最值問題. 問題突破需要厘清兩點，一是橢圓與直線的位置關系，二是圖像中的動靜要素，包括點、直線和曲線.

點與線段的關系：點Q在y軸上，為線段OP的中點.

直線與直線的位置關系：①直線PA與PB有公共點P；②直線PA，PB分別交直線y=-x+3于C，D兩點.

直線與橢圓的位置關系：①動直線AB與橢圓相交于點A和B（異于點P）；②直線PA和PB與橢圓分別相交于點P，A和點P，B；③定直線y=-x+3與橢圓沒有交點，為相離關系.

思路突破，分步解析

題設兩問均為最值問題，分別求P到橢圓上點的距離的最大值和

CD

的最小值，實則均求線段最值，求解時可采用數形結合法，結合題設條件構建求解思路. 整體分兩步構建：第一步，探尋題設條件，將線段最值轉化為關于參數的最值；第二步，結合參數取值確定線段最值. 下面采用分步探究的方式具體分析.

1. 突破第（1）問

第一步，設動點，構建距離.

已知橢圓+y2=1，可設M（2cosθ，sinθ）是橢圓上的任意一點，已知點P（0，1），由兩點之間的距離公式可得

PM

2=12cos2θ+（1-sinθ）2=13-11sin2θ-2sinθ.

第二步，整合分析，確定最值.

對上述式子進行變形，可得

PM

2= -11sinθ

+2+≤，分析可知，當且僅當sinθ=-時取等號，所以

PM

的最大值為.

2. 突破第（2）問

第一步，設定直線，聯立方程.

直線AB與橢圓的兩個交點A（x，y）和B（x，y），直線AB的方程為y=kx+，與橢圓方程+y2=1聯立并消除y，整理得k2

+x2+kx-=0，可得x+x= -，xx=-.

第二步，探究點坐標，求解線段長.

結合點P和A的坐標，可知直線PA的方程為y=x+1，因為直線PA與直線y=-x+3相交于點C，所以x==，同理可得x==，則

CD

=

x

-x=

-.

第三步，整合式子，探求最值.

整理上式，可得

CD

=2·

=·= ·≥，分析可知，當且僅當k=時等號成立，所以CD的最小值為.

方法總結，探究拓展

1. 方法總結

上述為典型的圓錐曲線最值問題的解答思路，主要探求線段最值，其中第（1）問利用橢圓的參數方程設定關鍵點并構建線段函數，再利用二次函數的性質求最值；第（2）問則采用圓錐曲線常見的破解思路，聯立方程推導參數關系，將線段長表示為關于斜率參數的式子，后續使用柯西不等式求最值. 雖然兩問求最值的方法有較大差異，但均為圓錐曲線求最值常用的代數法.

實際上，求解圓錐曲線最值問題，常用的方法有兩種，一是幾何法，二是代數法. 兩種方法也是基于圓錐曲線“數”“形”屬性所構建的. 幾何法，即利用曲線的定義、幾何性質，以及平面幾何中的定理、性質進行思路構建的方法，側重圓錐曲線的特性分析. 而代數法，則側重將最值的幾何量或代數表達式轉化為某個（某些）變量的函數，然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角有界法、函數單調性法以及基本不等式法等求解，代數法的“數”屬性鮮明.

2. 拓展探究

圓錐曲線最值問題的破解方法主要有上述兩種，但是求解時需要根據具體情形選用具體方法.

示例1 幾何法求面積最值.

已知橢圓C：+=1（a>b>0）過點M（2，3），點A為其左頂點，且AM的斜率為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）點N為橢圓上的任意一點，求△AMN面積的最大值.

分析：本題第（2）問探究三角形面積的最大值，需要先構建三角形面積模型再求最值. 對于△AMN，其中點A和M為定點，點N為橢圓上的動點，則可以AM為底、N為頂點構建三角形面積模型，后續只需求點N到直線AM的最大距離即可.

過程與解：（1）由題意可知直線AM的方程為y-3=（x-2），即x-2y=-4，當y=0時，x=-4，所以a=4. 點M為橢圓上的一點，代入橢圓方程解得b2=12. 所以橢圓C的方程為+=1.

（2）可視△AMN以AM為底，N為頂點，則其面積可表示為S=AM·d（d表示點N到直線AM的距離）. 設與直線AM平行的直線l的方程為x-2y=m，如圖2所示，當直線l與橢圓相切，且與橢圓的切點為N時，直線l到直線AM的距離最遠，此時△AMN的面積可取得最大值.

x-2y=m，整理得16y2+12my+3m2-48=0，所以Δ=144m2-4×16（3m2-48）=0，即m2=64，解得m=±8，即與直線AM最遠的直線的方程為x-2y=8. 點N到直線AM的距離為兩平行線之間的距離，即d==，由兩點之間的距離公式可得AM=3，所以△AMN面積的最大值為S=AM·d=×3×=18.

評析：上述第（2）問求解△AMN面積最大值采用的是幾何法. 首先構建三角形面積模型，將面積問題轉化為距離問題，即求橢圓上動點N到定直線AM的最大距離；其次通過平行線間距離的分析，確定直線與橢圓相切的切點為所求的動點N，從而推導出△AMN面積的最大值.

示例2 函數法求面積最值.

（2021年高考全國乙卷理數第21題）已知拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點為F，且F與圓M：x2+（y+4）2=1上點的距離的最小值為4.

（1）求p的值；

（2）若點P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點，求△PAB面積的最大值.

分析：本題第（2）問為三角形面積最值問題，同樣需要構建三角形面積模型，但題目中三角形三個頂點的位置均不確定，因此需要設定坐標，將三角形面積轉化為關于參數的函數，通過分析函數性質來確定最值.

過程與解：（1）由題意可知M（0，-4），F

0，

，☉M的半徑r=1，所以MF-r=4，即+4-1=4，解得p=2.

（2）可視△PAB以AB為底，P為頂點，則其面積可表示為S=AB·d（d表示點P到直線AB的距離）.

由第（1）問可知拋物線的方程為x2=4y，由題意可知直線AB的斜率存在，設A（x，y）和B（x，y），直線AB的方程為y=kx+b，聯立x2=4y，

y=kx+b，整理得x2-4kx-4b=0，則Δ=16k2+16b>0，由韋達定理可得x+x=4k，xx=-4b，則

AB

=

x

-x=·=4·.

因為x2=4y，即y=，所以y′=，所以拋物線在點A處的切線的斜率為，所以在點A處的切線方程為y=（x-x），即y=x-，同理可得拋物線在點B處的切線方程為y=x-.

聯立

y=x-

，

y=x-

，則

x==2k，

y==-b，即點P（2k，-b）. 由于點P在☉M上，則4k2+（4-b）2=1①，且-1≤2k≤1，-1≤4-b≤1，所以-≤k≤，3≤b≤5，滿足要求.

點P到直線AB的距離d=，故△PAB的面積S=AB·d=4. 由①式可得k2=，令t=k2+b，則t=，且3≤b≤5. 因為t=在［3，5］上單調遞增，所以當b=5時，t取得最大值5，此時k=0. 所以△PAB面積的最大值為20.

評析：本題第（2）問探究三角形面積最大值，采用的是函數法，即將三角形面積轉化為關于參數的函數，然后通過分析函數性質確定面積最大值. 在函數分析時結合了局部構造、導數分析等方法，充分簡化了解析過程.

解后反思，教學建議

通過上述對圓錐曲線最值問題的探究，總結該類問題的破解策略，并結合實例進行拓展強化，其探究思路對于教學備考有著參考價值.

1. 考點定位分析，分步解析突破

圓錐曲線最值問題為高考典型題，上述按照“考點定位→分步解析”的策略進行了示例突破，“考點定位”中梳理條件，明晰結構；“分步解析”中系統呈現了問題的解析過程、破解思路. 這種探究方式可全方位地解析考題，明確類型問題的破解策略. 教學中建議結合實例進行過程探究，讓學生關注考題結構、考查重點，通過過程分析掌握問題的破題思路. 教學時要注意設問引導，讓學生充分思考，體驗過程.

2. 關注破題思路，總結解題策略

“反思總結”是解題教學探究的關鍵一環，在該環節中可以幫助學生從“解題層面”上升到“思路方法應用層面”，從而形成類型問題的破解策略. 教學中教師可從以下三方面進行總結引導：一是引導學生關注考題的結構特征，深刻理解問題本質，包括考題的特殊條件、位置關系等；二是引導學生反思解題的思路構建，思考類型問題的其他破解方法；三是引導學生反思方法的本質內容，如上述代數法的代數視角和幾何法的幾何視角.

3. 拓展探究強化，提升綜合能力

“拓展強化”有助于學生深刻理解問題及方法，從而完成解題探究的內化吸收，該環節中需要注意兩點：一是注意方法的解題應用，讓學生感受解題過程；二是注意全面探索方法，即使用具體實例來探索解法. 實際教學中可以采用“變式探究”和“拓展探究”兩種方式，對類型問題進行合理變式，結合對應方法進行破解，同時開展方法拓展，深入解讀方法，將解法拓展到其他問題的解答中. 教學時可合理滲透數學思想，提升學生的綜合能力.

寫在最后

在圓錐曲線最值問題的教學探究中，教師要充分調動學生的思維，讓學生參與過程，充分思考，形成自我的解題認識. 教師要做好教學引導，引導學生從“解題過程”中提取“方法策略”，從“方法思路”中感悟“數學思想”，提升學生的綜合素養.

作者簡介：肖輝（1981—），本科學歷，中小學一級教師，從事中學數學教育教學工作.