立足基礎，凸顯思維，素養引領

［摘? 要］ 高考真題對于教學與備考有導向作用，深入探究試題特點與解析方法可定位考點，把握考向，提升解題能力. 文章對2022年新高考全國Ⅱ卷進行探究簡評，關注重點問題的特征與解析過程，結合實踐提出幾點建議.

［關鍵詞］ 基礎素養；模型思維；思想方法；備考

高考數學真題往往對一線教師的教學有導向作用，因此開展試題分析十分必要. 2022年新高考全國Ⅱ卷在基礎考查與素養評價兩方面做到了平衡，試題結構與題型配置合理，體現出了基礎為重、素養導向的原則，下面結合考題簡要分析.

數學文化相融，注重基礎考查

試題注重從中華優秀傳統文化中選材，讓學生領略中華民族的智慧與研究成果，可有效提升學生的民族自豪感. 同時數學文化中隱含的數學知識，能夠充分考查學生的基礎知識與應用能力. 以第3題為例，其以中國古代建筑中的舉架結構為背景，考查數列、函數、幾何等知識.

例1 （2022年新高考全國Ⅱ卷第3題）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉. 圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DD，CC，BB，AA是舉，OD，DC，CB，BA是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為=0.5，=k，=k=k. 已知k，k，k成公差為0.1的等差數列，且直線OA的斜率為0.725，則k=（? ）

A. 0.75B. 0.8

C. 0.85D. 0.9

解析：可設OD=DC=CB=BA=1，則CC=k，BB=k，AA=k. 因為k，k，k成公差為0.1的等差數列，則k=k-0.2，k=k-0.1. 已知直線OA的斜率為0.725，所以=0.725，即=0.725，求得k=0.9.

點評：本題以中國古代建筑為背景，引出數學模型，讓學生深刻感受中華民族的智慧. 本題全面考查了等差數列、解析幾何、三角函數等基礎知識，可強化學生的知識應用、數學建模能力. 本題要關注直線斜率計算公式，即P（x，y），P（x，y）在直線l上且x≠x，則l的斜率k=.

現實情境引入，注重分析建模

疾病是近幾年的熱點和現實問題，試題注重以該類問題為背景，從生活中取材，增加學生的生活實感. 如第19題以流行病的調查為背景，考查學生的統計與概率思想，以及分析與建模能力. 問題解析強調理解通性通法，以及對本源方法的綜合運用.

例2 （2022年新高考全國Ⅱ卷第19題）在某地區進行某種疾病調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下樣本數據頻率分布直方圖：

（1）估計該地區這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；

（2）估計該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間［20，70）的概率；

（3）已知該地區這種疾病的患病率為0.1%，該地區年齡位于區間［40，50）的人口數占該地區總人口數的16%. 從該地區任選一人，若此人的年齡位于區間［40，50），求此人患這種疾病的概率（以樣本數據中患者的年齡位于各區間的頻率作為患者的年齡位于該區間的概率，精確到0.0001）.

解析：（1）平均年齡x=（5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002）×10=47.9（歲）.

（2）設A=｛一人患這種疾病的年齡位于區間［20，70）｝，所以P（A）=1-P（A）=1-（0.001+0.002+0.006+0.002）×10=1-0.11=0.89.

（3）設B=｛任選一人的年齡位于區間［40，50）｝，C=｛任選一人患這種疾病｝，則由條件概率公式可得P（CB）===0.0014375≈0.0014.

點評：本題以疾病調查為背景，考查學生對頻率分布直方圖的理解，用樣本估計總體，對條件概率的計算，以及數據分析、數學建模等核心素養. 該類問題要求學生掌握收集、整理和分析數據的能力. 其中頻率分布直方圖是本題的核心，解答本題要抓住三個要點：一是直方圖的各小長方形的面積和為1；二是直方圖的縱軸表示“”，因此每組樣本的頻率為“組距×”，即每組長方形的面積；三是直方圖的每組樣本的頻數為“頻率×總體數”.

命題設計新穎，注重發散思維

試題設計具有靈活性，更具開放性，給學生留足思考空間，可有效引導學生創新思考，突出考查學生的發散思維和創新思維. 以第21題為例，題設給出了3個條件，要求學生從中選取2個作為已知條件，來證明另外一個條件成立.

例3 （2022年新高考全國Ⅱ卷第21題）已知雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的右焦點為F（2，0），漸近線方程為y= ±x.

（1）求C的方程；

（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點P（x，y），Q（x，y）在C上，且x>x>0，y>0. 過P且斜率為-的直線與過Q且斜率為的直線交于點M. 從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另一個成立：①M在AB上；②PQ∥AB；③MA=MB

. （若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分）

解析：（1）C的方程為x2-=1.

（2）本題有三種選擇方式，下面以其中一種選擇方式進行探究——選①③推②.

由已知得直線PQ的斜率存在且不為零，直線AB的斜率存在且不為零. 若直線AB的斜率不存在，由雙曲線的對稱性可知點M在x軸上，即右焦點F，且點P和點Q關于x軸對稱，從而有x=x，與已知不相符，所以直線AB的斜率存在且不為零.

設直線AB的斜率為k，直線AB的方程為y=k（x-2）. 條件①“M在AB上”，設M（x，y），則y=k（x-2）?ky=k2（x-2），兩條漸近線的方程可合并為3x2-y2=0，與直線AB的方程聯立消去y，整理得（k2-3）x2-4k2x+4k2=0.

設A（x，y）和B（x，y），線段AB的中點為N（x，y），則x==，y=k（x-2）=.

條件③“

MA

=

MB

”等價于（x-x）2+（y-y）2=（x-x）2+（y-y）2，移項并利用平方差公式整理得（x-x）［2x-（x+x）］+（y-y）［2y-（y+y）］=0，即x-x+k（y-y）=0，即x+ky=.

根據題意可知直線PM的斜率為 -，直線QM的斜率為，則y-y= -（x-x），y-y=（x-x），可得y-y=-（x+x-2x），所以直線PQ的斜率m==-，直線PM的方程為y=-（x-x）+y，即y=y+x-x，將其代入雙曲線的方程3x2-y2-3=0，整理得（y+x）［2x-（y+x）］=3，解得x=·

+y+x

，同理可得x= -

+y-x

，所以x-x=

+y

，x+x-2x= --x，則m=，可推知條件PQ∥AB等價于ky=3x，即由①③可推知②.

點評：本題為圓錐曲線綜合題，其特殊之處在于第（2）問讓學生自由選取條件和證明結論，考查學生的發散思維. 同時三個條件作為“已知”或“結論”自由互換，充分體現了知識的聯系. 本題的實質為斜率之和為定值，即k+k=-=0，探究過程中要結合曲線背景加以總結.

知識緊密融合，注重素養拔高

另外，試題加強對學科核心素養的綜合考查，強調數學思想方法的滲透，考查學生的關鍵能力，充分發揮試題的選拔功能. 壓軸題的設計綜合性強，具有一定的復雜情形，對學生的能力有著較高的要求. 以第22題為例，有機結合函數、導數、數列與不等式等知識，全面考查學生的直觀想象、邏輯推理等能力.

例4 （2022年新高考全國Ⅱ卷第22題）已知函數f（x）=xeax-ex.

（1）當a=1時，討論f（x）的單調性；

（2）當x>0時，f（x）<-1，求a的取值范圍；

（3）設n∈N*，證明：++…+>ln（n+1）.

解析：（1）f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增.

（2）設h（x）=xeax-ex+1，則h（0）=0，可知h′（x）=（1+ax）eax-ex，設g（x）=（1+ax）·eax-ex，則g′（x）=（2a+a2x）eax-ex.

若a>，則g′（0）=2a-1>0，所以存在x∈（0，+∞），使得?x∈（0，x），總有g′（x）>0，所以g（x）在（0，x）上為增函數，所以x∈（0，x）時g（x）>g（0）=0，所以h（x）在（0，x）上為增函數，所以x∈（0，x）時h（x）>h（0）=-1，與題設矛盾.

若00），可得S′（x）=-1=<0，所以S（x）在（0，+∞）上為減函數，所以S（x）0時ln（1+x）

若a≤0時，可推得axeax<0，所以h′（x）=eax-ex+axeax<0，所以h（x）在（0，+∞）上為減函數，所以h（x）

綜上可知，a的取值范圍為-∞

，.

（3）取a=，則?x>0，總有xe-ex+1<0成立. 令t=e，則t>1，t2=ex，x=2lnt，所以2lnt1恒成立. 所以對于任意的n∈N*，有2ln<-，整理得ln（n+1）-lnn<，所以++…+>ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln（n+1）-lnn=ln（n+1），所以不等式成立.

點評：本題為函數與導數壓軸題，難度較高，具有一定的選拔功能，注重考查學生靈活運用知識來處理復雜問題. 整個解題過程融合了構造、化歸轉化、分類討論等思想方法，所以對學生的綜合素養有一定的要求，要求學生能夠條理分析、邏輯思考、合理想象、推理運算.

教學與備考建議

1. 鞏固知識基礎，注重通性通法

考題注重對“四基”的考查，其中基礎知識和基本技能是考查的首位，所以教學備考中要注重基礎知識的講解，包括基本的概念、定義、公式，以及推理過程，尤其要注重對教材中的例題和習題的講解. 引導學生分析推理，并從中提取通性通法，指導學生深刻理解知識，掌握方法. 教學中不能讓學生過多追求偏、怪、難的方法技巧，而應注意總結通性通法，即常規方法，也是最直接最有效的破題方法.

2. 強調知識應用，關注數學文化

“學以致用”是教學倡導的理念，高考同樣注重考查知識的應用，主要體現在兩方面：一是設置情境，從中衍生問題；二是從生活生產實際中提煉問題，要求解決問題. 教學中要以“應用”為基礎，讓數學為生活服務. 知識的應用要注意以下兩點：一是關注知識的本質屬性，如餅狀圖、直方圖本身就是用于統計與分析數據的工具；二是指導學生關注生活中的數學，特別關注數學文化，學習數學文化中的數學原理與知識.

3. 重視分析推理，發展數學思維

數學教學的重點是發展學生的數學思維，讓學生獨立解決問題，因此備考教學中要重視分析推理，培養學生的數學思維. 在實際教學中，教師要發揮引導作用，合理設置問題，讓學生體驗探究過程，引導學生嚴謹推理，猜想驗證. 同時將數學運算與邏輯推理相結合，引導學生在運算中思考，在思考后猜想，在計算后具體驗證，幫助學生養成獨立思考與深入分析的習慣，形成自我的數學思維. 發展思維要注重以下兩點：一是發散思維，引導學生跳出思維局限，敢于思考嘗試；二是創新思維，給學生留足思考空間，大膽猜想，提出創新意見.

4. 滲透數學思想，提升學科素養

提升學生的學科素養是教學的意義所在，對于高中數學而言，要在教學中滲透思想方法，發展六大核心素養，包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析. 教學中要立足重點知識和具體問題，采用探究教學的方式，引導學生分析思考，運算推理，猜想驗證. 在探究過程中滲透數學思想方法，如數形結合、分類討論、化歸轉化等，引導學生在思想上深層歷練，提升其數學能力和數學素養.

總之，2022年新高考全國Ⅱ卷命題設計以“基礎考查，思維培養，素養提升”為理念，對師生的教學備考具有導向作用，指明了學習方向. 在備考中，要注重挖掘教材知識，總結方法思路，滲透思想方法，幫助學生養成良好的思維習慣，提升其綜合能力.

作者簡介：時衛忠（1969—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學與研究工作，曾獲蘇州市優秀教育工作者、蘇州市優秀班主任等榮譽.