在“釋疑解惑”中提高高中數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課的教學(xué)品質(zhì)

［摘? 要］ 試卷講評(píng)課應(yīng)從學(xué)生的實(shí)際學(xué)情出發(fā)，重視學(xué)生思維過(guò)程的展示，在過(guò)程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生的疑惑點(diǎn)、易錯(cuò)處，以此采取行之有效的方法幫助學(xué)生厘清問(wèn)題的來(lái)龍去脈，認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生“以不變應(yīng)萬(wàn)變”的能力，提高數(shù)學(xué)教學(xué)品質(zhì).

［關(guān)鍵詞］ 試卷講評(píng)課；實(shí)際學(xué)情；教學(xué)品質(zhì)

在高中數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課上，教師除了幫助學(xué)生查缺補(bǔ)漏外，還應(yīng)尋找學(xué)生面臨的更深層次的問(wèn)題，以此幫助學(xué)生更清楚地了解知識(shí)的來(lái)龍去脈，理解相關(guān)知識(shí)的本質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力. 試卷講評(píng)中教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生的疑惑處和易錯(cuò)處，通過(guò)自主探究、小組合作、集體探究等多種方式幫助學(xué)生釋疑解惑，讓學(xué)生“學(xué)懂學(xué)會(huì)”. 不過(guò)，在實(shí)際教學(xué)中，因考試頻率高，教學(xué)任務(wù)重，大多數(shù)教師沒(méi)有太多時(shí)間進(jìn)行學(xué)情分析，也沒(méi)有太多精力組織學(xué)生合作探究，講評(píng)時(shí)憑借主觀經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行教學(xué)，這樣的試卷講評(píng)往往難以引發(fā)學(xué)生共鳴，不利于學(xué)生解題能力的提升. 要發(fā)揮試卷講評(píng)課的價(jià)值，教師必須利用好錯(cuò)誤資源，針對(duì)不同類(lèi)型的錯(cuò)誤進(jìn)行錯(cuò)因分析，并給出相應(yīng)的解決問(wèn)題的方法. 另外，突出教學(xué)重難點(diǎn)，針對(duì)考試需要學(xué)生掌握的重點(diǎn)知識(shí)和技能進(jìn)行釋疑解惑，引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上看問(wèn)題，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的提煉，盡量減少思維僵化和思維惰化，培養(yǎng)學(xué)生敢于質(zhì)疑、勇于探索的積極的學(xué)習(xí)心態(tài)，提高解題效率.

導(dǎo)在疑處

試卷講評(píng)不需要面面俱到，對(duì)于那些學(xué)生已經(jīng)掌握的基礎(chǔ)題沒(méi)有必要一講再講. 當(dāng)然不講并不是不重要，而是因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)理解并掌握了，若重復(fù)講不僅會(huì)消耗寶貴的課堂時(shí)間，而且難以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 教師應(yīng)在學(xué)生的疑惑處做文章，幫助學(xué)生消除疑惑，掌握解決問(wèn)題的基本方法，以此提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

例1 已知圓C：x2+y2-2mx-4y+m2-28=0，在圓C內(nèi)有一定點(diǎn)P（3，0），過(guò)點(diǎn)P任意作一條直線AB使其交圓C于A，B兩點(diǎn)，若△ABC面積的最大值為16，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

師：以下是考試時(shí)同學(xué)們給出的解答思路. （教師用PPT展示部分學(xué)生的解答思路）

思路1：圓C的方程可化為（x-m）2+（y-2）2=32，記半徑為r，則r2=32. 已知點(diǎn)P（3，0）在圓C內(nèi)，所以（3-m）2+（-2）2<32，即3-2

思路2：圓C的方程可化為（x-m）2+（y-2）2=32，記半徑為r，則r2=32. 已知點(diǎn)P（3，0）在圓C內(nèi)，得（3-m）2+（-2）2<32，即3-2

師：考試時(shí)很多同學(xué)應(yīng)用的就是以上兩種解答思路，但有些同學(xué)最終沒(méi)有進(jìn)行到底. 現(xiàn)在請(qǐng)大家重新思考一下，看看是否還可以繼續(xù)呢. （預(yù)留充足的時(shí)間讓學(xué)生再思考）

生1：這兩種思路的本質(zhì)是相同的，因?yàn)楫?dāng)（sinC）=1時(shí)，d=r=4，即4=，可以將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程［（m-3）2-16］k2-4（m-3）k-12=0有解的問(wèn)題來(lái)處理，當(dāng)（m-3）2-16=0時(shí)，m=7或m=-1，代入上述方程可知方程有解；當(dāng)（m-3）2-16≠0時(shí)，則有Δ=16（m-3）2+48［（m-3）2-16］≥0，解得m≤3-2或m≥3+2. 綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍為（3-2，3-2］∪［3+2，3+2）.

師：很好，你是怎么想到用這個(gè)方法求解的呢？

生1：在考試時(shí)，我也是求得d=4后就不知所措了，通過(guò)再思考終于想通了——當(dāng)△ABC的面積取最大值16時(shí)，圓心C到過(guò)點(diǎn)P的直線的距離為4，這樣就可以將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程有解的問(wèn)題求解了.

生2：對(duì)于思路1，當(dāng)解得d=4后，可以利用幾何性質(zhì)繼續(xù)求解. 因?yàn)閯?dòng)直線AB過(guò)定點(diǎn)P，無(wú)論動(dòng)直線AB如何變化都是CP≥d，故當(dāng)CP≥4時(shí)，d=4這一條件才能成立，因此（3-m）2+（-2）2≥16，即（3-m）2≥12，解得m≤3-2或m≥3+2.

師：說(shuō)得非常好，有時(shí)候解題發(fā)生思路中斷主要是因?yàn)閷?duì)題意的理解不到位，沒(méi)有形成整體思路，因此解題前一定要認(rèn)真審題.

師：再認(rèn)真思考一下，影響△ABC面積的主因是什么？能否從變化的量入手求解呢？（學(xué)生沉思）

生3：圓方程變形得（x-m）2+（y-2）2=32，可知圓心C在直線y=2上. 分析影響△ABC面積的主因，不妨從特殊情況出發(fā)，當(dāng)m=3時(shí)，圓心C為（3，2），故CP=2. 由圓的平面幾何性質(zhì)可知，對(duì)于圓內(nèi)過(guò)定點(diǎn)P的弦，弦心距的最大值為CP=2，即d=2，不成立. 當(dāng)圓心C在直線y=2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CP的長(zhǎng)度也會(huì)隨之變化，若要使d=4成立，則需要CP≥4.

師：很好，通過(guò)多角度分析，相信大家對(duì)該題已經(jīng)有了深刻的認(rèn)識(shí). 解題時(shí)我們習(xí)慣從因?qū)す磸囊阎霭l(fā)尋找解決問(wèn)題的突破口，有時(shí)候若能反過(guò)來(lái)進(jìn)行思考，也許會(huì)有意想不到的結(jié)果.

考試時(shí)出錯(cuò)的原因可能是多種多樣的，在試卷講評(píng)時(shí)教師不要急于求成，應(yīng)為學(xué)生提供一個(gè)再思考、再認(rèn)識(shí)的時(shí)間和空間，幫助學(xué)生找到問(wèn)題的癥結(jié)，厘清問(wèn)題的來(lái)龍去脈，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題思考到底，這樣不僅能提高學(xué)生的解題能力，而且能培養(yǎng)學(xué)生的解題信心，有利于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

解在惑處

因個(gè)體差異的存在，學(xué)生所犯的錯(cuò)誤往往是多種多樣的，只有找準(zhǔn)錯(cuò)因，對(duì)癥下藥，才能真正為學(xué)生解惑. 因此，講評(píng)前教師可以通過(guò)試卷分析或面談等方式了解學(xué)生出錯(cuò)的原因，從而通過(guò)有針對(duì)性的啟發(fā)和引導(dǎo)帶領(lǐng)學(xué)生走出困境. 如有的學(xué)生找不到解題的突破口，講評(píng)時(shí)教師應(yīng)加強(qiáng)思維訓(xùn)練和方法指導(dǎo)，幫助學(xué)生找到正確的解題策略；有的學(xué)生因?yàn)橹R(shí)漏洞而產(chǎn)生了錯(cuò)誤，講評(píng)時(shí)教師要及時(shí)進(jìn)行補(bǔ)充，以此完善認(rèn)知體系，避免學(xué)生再次犯錯(cuò)；有的學(xué)生因?yàn)檫\(yùn)算能力不強(qiáng)而產(chǎn)生了錯(cuò)誤，教師講評(píng)時(shí)可以呈現(xiàn)完整的運(yùn)算過(guò)程，以此消除學(xué)生的困惑，等等. 當(dāng)然，解惑后教師還應(yīng)拓展和延伸具體的問(wèn)題，以此強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，同時(shí)通過(guò)對(duì)比分析引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)解題思路和技巧，提高學(xué)生的解題能力.

例2 如圖1所示，已知圓G的方程為x2+y2=a2，橢圓E的方程為+=1（a>b>0），橢圓E的左頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A作斜率為k的直線l，其與橢圓E相交于點(diǎn)B，與圓G相交于點(diǎn)C.

（1）若k=1時(shí)，B恰好為線段AC的中點(diǎn)，試求橢圓E的離心率e.

（2）若橢圓E的離心率e=，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，當(dāng)

BA+BF=2a時(shí)，求k的值.

（3）設(shè)D為圓G上異于A的一點(diǎn)，直線AD的斜率為k2，當(dāng) =時(shí)，試問(wèn)直線BD是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

例2是高三復(fù)習(xí)解析幾何問(wèn)題時(shí)給出的一道綜合題，主要研究的是直線和圓錐曲線相交有關(guān)的問(wèn)題. 問(wèn)題（1）和問(wèn)題（2）較簡(jiǎn)單，大多數(shù)學(xué)生都能順利求解，講評(píng)時(shí)教師不再過(guò)多講解. 本題的難點(diǎn)主要為問(wèn)題（3），為了便于說(shuō)明問(wèn)題，講評(píng)時(shí)教師給出了以下兩種解法：

解法1：由

y=k（x+a），

+

=1，可得+=0，解得x=-a或x=. 又x≠-a，故x=，從而y=k1（x+a）=. 再由

y=k（x+a），

x2+y2=a2，可得x2-a2+［k（x+a）］2=0，解得x=-a或x=. 同理x=，y=. 由=，得k=，代入x=，化簡(jiǎn)得x=，故y=2a3k1=，故k== -，所以BD⊥AD. 因?yàn)锳D為圓G的弦，所以∠ADB所對(duì)圓G的弦為直徑，所以直線BD過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)為（a，0）.

解法2：設(shè)P（a，0），B（x，y），則+=1，因?yàn)?，所以kk=kk=··=·=·

-

=-1，所以PB⊥AD. 又PA為圓G的直徑，所以PD⊥AD，所以P，B，D三點(diǎn)共線，所以直線BD過(guò)定點(diǎn)P（a，0）.

從解題反饋來(lái)看，大多數(shù)學(xué)生選擇的是與解法1類(lèi)似的思路. 不過(guò)解法1雖然思路自然，但是計(jì)算量大，很多學(xué)生沒(méi)有算下去的信心，所以最終也沒(méi)有得到答案；也有部分學(xué)生選擇的是解法2的思路，但是迫于沒(méi)有找到這個(gè)定點(diǎn)而最終放棄了. 對(duì)于本題該如何講評(píng)呢？難道直接告訴學(xué)生“你們選擇解法1相似的思路是沒(méi)有問(wèn)題的，只要平時(shí)多加強(qiáng)運(yùn)算訓(xùn)練”就可以了嗎？這樣的教學(xué)難以幫助學(xué)生解惑，不利于解題能力提升. 在本例教學(xué)中，教師設(shè)計(jì)了如下環(huán)節(jié)：

（1）直觀演示

利用幾何畫(huà)板作圖，通過(guò)改變點(diǎn)B的位置引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)直觀觀察感知定點(diǎn)的位置.

（2）類(lèi)比聯(lián)想

問(wèn)題1：在圓G上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)與直徑兩個(gè)端點(diǎn)的連線的斜率存在怎樣的關(guān)系？

問(wèn)題2：在橢圓E上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)與橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線的斜率存在怎樣的關(guān)系？

問(wèn)題1是學(xué)生熟悉的內(nèi)容，學(xué)生可以直接給出結(jié)論，即斜率之積為-1，自然引發(fā)對(duì)問(wèn)題2的聯(lián)想，由此通過(guò)類(lèi)比聯(lián)想激發(fā)學(xué)生探究的積極性.

（3）拓展延伸

對(duì)于問(wèn)題1可以將其推廣至過(guò)圓心的任意一條弦，那么對(duì)于問(wèn)題2是否也可以將其推廣至過(guò)橢圓中心的任意一條弦呢？

這樣通過(guò)直觀演示、類(lèi)比聯(lián)想和拓展延伸有助于學(xué)生認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)，有助于實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通，有效激發(fā)學(xué)生的理性思維，提高教學(xué)品質(zhì).

總之，試卷講評(píng)要打破“以師為主”的教學(xué)模式，從具體教學(xué)實(shí)際出發(fā)，通過(guò)有針對(duì)性的教學(xué)互動(dòng)，提升教學(xué)質(zhì)量，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

作者簡(jiǎn)介：王惠中（1967—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.