整合多版本教材，優化“基本不等式”教學內容設計

譚明群 陳算榮

［摘? 要］ 基本不等式是不等式證明的重要基礎，是高中數學核心概念之一. 查閱基本不等式教學設計相關文獻發現，現有文獻都是基于某版教材給出的教學方案，缺少多維比較分析. 文章對現行六個版本的高中數學教材中“基本不等式”的引入方式、證明方法、課時安排和例習題設置進行比較分析，在此基礎上整合優化“基本不等式”教學內容，提出設計方案，再探討教師的教材使用觀和價值觀.

［關鍵詞］ 基本不等式；教材比較；整合優化；設計方案

教材是教師實施教學、實現課程目標的重要資源，也是學生進行學習活動的基礎. 2019年根據《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《課標》）編寫的六個版本的教材通過了審定. 每種版本的教材都有其設計理念、設計思路，當然也存在不足之處. 因此對不同版本的教材進行比較分析，一方面能夠幫助教師理解其設計理念，同時找出各自的優點加以整合，優化教學設計；另一方面，可以讓教師樹立正確的教材使用觀和價值觀. 本文以“基本不等式”為例，結合《課標》的要求，對人教A版、人教B版、蘇科版、北師大版、滬教版、湘教版高中數學教材中的“基本不等式”內容進行比較分析，在此基礎上整合優化本課的教學內容，提出設計方案.

教材比較

1. 基本不等式引入方式的比較

通過對六個版本教材中的基本不等式的引入方式進行比較（見表1），可以歸納為三種方式：趙爽弦圖、具體實例、直接給出. 趙爽弦圖在初中學習勾股定理時已接觸過，通過它引入基本不等式融入了數學史，含有一定的育人價值. 通過實例引入，學生更容易理解基本不等式，另外，教師可用更加貼近學生生活的實例，方便學生理解和記憶. 在前兩種方式的對比下，直接給出基本不等式顯得比較突兀，學生接受起來比較困難. 所以，對于基本不等式的引入而言，可以采用趙爽弦圖的方式引入后，教師再結合實例加深學生的理解.

2. 基本不等式證明方法的比較

通過對六個版本教材中的基本不等式證明方法的對照比較（見表2），可以看出每版教材都運用了幾何法，可見幾何法的重要性. 運用幾何法證明基本不等式蘊含著數形結合思想方法，《課標》要求在教學中培養學生的數學能力，而掌握數學思想方法就是形成和發展能力的基礎［7］. 學生可以通過幾何法的證明更加深刻了解基本不等式，但這種方法學生不易想到，需要教師引導. 所以，在講解基本不等式的證明方法時可以先從簡單的方法開始，例如先讓學生自己想辦法證明基本不等式，引出作差法、分析法、綜合法，再引導學生尋找幾何解釋.

3. 基本不等式課時安排和例習題設置的比較

通過對六個版本教材中的基本不等式的課時安排和例習題設置的比較，可以看出除了人教B版，其余五個版本的教材對于基本不等式這節內容都設置了2個課時，大體來看都是第1課時講解概念和證明，第2課時講解實際應用. 基本不等式是不等式證明的重要基礎，學生掌握其應用又比較困難，所以最好設置2個課時. 就例題設置而言，第1課時設置2—3道例題較為合理，第2課時設置3—4道例題為宜. 習題都涉及證明和最值問題，教師可以根據學生的實際情況設置、調整習題.

基于教材比較的教學設計

依據課程標準對該內容的教學要求，基于以上多個版本教材的比較分析，整合以上各版本教材的優點，對“基本不等式”第1課時進行了如下設計.

1. 創設情境，發現新知

問題1 （多媒體展示第24屆國際數學家大會的會標）大家請看這幅圖（圖1），這是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，早在我們學習“勾股定理”的時候就見過這幅圖，但這幅圖的奧妙遠不止于此，今天我們再來欣賞一下這幅圖，同時思考：圖中有哪些幾何圖形？它們之間有什么相等關系和不等關系呢？

設計意圖：《課標》強調在教學中要注重數學文化的滲透，采用趙爽弦圖的引入方式能讓課堂充滿數學歷史文化的韻味，具有很好的育人價值. 另外，可以讓學生體會到趙爽弦圖不僅可以用來證明勾股定理，而且還蘊含著基本不等式的證明方法.

2. 合作交流，生成新知

問題2 如果用a，b來表示直角三角形的兩條直角邊，請同學們用符號語言來表示一下上面發現的不等關系.

追問1：當直角三角形變為等腰直角三角形（a=b）時，上述的關系變了嗎？如果變了，變成什么樣子了？（用幾何畫板演示E，F，G，H變為一點的過程）

追問2：把上面兩種情況合并一下可以寫成a2+b2≥2ab（a，b都為正數時成立），同學們思考一下這個不等式在a，b∈R時成立嗎？同桌之間交流一下.

追問3：這里的“當且僅當”怎么理解呢？

追問4：接下來，請大家用文字語言描述一下重要不等式a2+b2≥2ab.

設計意圖：由趙爽弦圖得到重要不等式a2+b2≥2ab，體現了由“形”到“數”的思想，再由重要不等式得到基本不等式，體現了代換思想，整個過程自然流暢. 北師大版教材和滬教版教材直接給出基本不等式，雖然簡潔明了，但學生接受起來比較困難，這種方式沒有讓學生經歷基本不等式探究與發現的過程. 另外，得到重要不等式a2+b2≥2ab后如何引出基本不等式是一個難點，教材上都是直接代換，比較突兀，大多數學生不理解為什么要這樣代換. 這里的設計思路是“重要不等式—文字語言—回到趙爽弦圖用文字語言再表示—符號語言（引出代換）—基本不等式”，學生通過對趙爽弦圖的再觀察就會明白為什么要代換.

3. 師生共探，證明新知

問題3 我們從趙爽弦圖得到了基本不等式，那它到底成不成立呢？數學講究嚴謹性，請同學們想一想，可以用什么方法證明基本不等式呢？

追問1：基本不等式實質上就是比較大小，以前學習的比較大小的方法都有哪些呢？

追問2：除了作差法，我們今天還要學習一種新的方法. 要證≥，只需要證a+b≥____，變形為a+b-2≥0. 請同學們觀察一下，不等號左邊怎么化簡？即（____-____）2≥0，顯然它是成立的，而且當且僅當a=b時等號成立.

追問3：我們還可以直接從（-）2≥0推出≥，請寫出過程.

追問4：上面三種方法都是從代數的角度進行證明的，那你能不能從幾何的角度證明基本不等式呢？

追問5：可以表示直角三角形斜邊上的高，而可以表示直角三角形斜邊上的中線. 直角三角形斜邊上的中線不小于斜邊上的高（如圖2所示），這就是基本不等式的幾何解釋，它還有其他的幾何解釋嗎？請同學們課后去探索一下.

設計意圖：上述基本不等式的證明方法參考了蘇科版教材和滬教版教材，證明方法從易到難. 這里涉及四種證明方法，作差法是最簡單、學生最容易想到的，從它過渡；分析法是本節課的難點，它是一個新知識，教師要幫助學生理解其實質，便于學生以后證明其他題目時也能熟練運用；綜合法和分析法是對稱概念，學生可以通過基本不等式的證明過程加強對這兩種方法的理解；幾何法是最難的、學生不容易想到的，但通過前面的教材分析發現它又是最重要的方法，因為可以通過幾何法得到基本不等式的幾何解釋，由“形”到“數”，完成數形結合.

4. 例題練習，鞏固新知

例1 已知x>0，求x+的最小值；此時x等于多少？

例2 已知x，y都是正數，求證：

（1）如果積xy等于定值P，那么當x=y時，和x+y有最小值2；

（2）如果和x+y等于定值S，那么當x=y時，積xy有最大值S2.

設計意圖：本環節的例題選自人教A版的例題，兩道例題都是基本不等式的直接應用，難度較小，學生通過例題練習既能加深對概念的理解也能提升自信心.

5. 課堂小結，深化新知

問題4 本節課你學到了什么？從知識、方法和思想上談一談.

設計意圖：通過本問題引導學生總結本節課的收獲，從知識、方法、思想三個層面進行回憶，知識上：學習了重要不等式和基本不等式；方法上：包括作差法、分析法、綜合法、幾何法；思想上：涉及數形結合思想和代換思想. 通過總結梳理本節課的脈絡，使學生養成思考總結的好習慣. 同時，通過總結可以使學生獲得成就感、增強學好數學的信心.

6. 課后探究、拓展新知

作業：請同學們在課后去探究基本不等式其他的幾何解釋.

設計意圖：對于基本不等式的幾何解釋，課上只講了“直角三角形斜邊上的中線不小于斜邊上的高”這一種，但是學生想到的可能不止這種方法，讓學生課后去思考其他幾何解釋是為了拓展學生對新知的認識，不僅要讓學生學會由“形”到“數”，還要學會由“數”到“形”，體會數形結合思想.

總結與探討

優化后的“基本不等式”的教學設計是在充分對比六個版本教材的基礎上，整合了六個版本教材的優點，但又不是簡單整合，而是基于《課標》和學情設計的，符合學生的認知規律，重視培養學生的核心素養. 具體體現在以下幾點：第一，導入過程采用的是趙爽弦圖，注重數學文化的滲透；第二，探究過程從學生的最近發展區出發，引導學生通過代換得到基本不等式，突破“為什么要代換”這個難點；第三，證明過程綜合了六個版本教材的方法，讓學生接觸到分析法和綜合法，體會它們之間的區別，重點講解幾何法，將基本不等式直觀化，讓學生體會數形結合思想.

經歷整合多個版本教材、優化教學設計的實踐，提出以下兩點思考.

1. 建立正確的教材使用觀

“教師不是教科書的執行者，而是教學方案的開發者.”教材不是權威，教師不能照本宣科，但教材是專家精心編制的載體，有一定的參考意義. 作為教師要建立正確的教材使用觀，在使用教材進行備課時應做到以下幾點：首先，教師應理解每版教材的設計思路；其次，教師閱讀教材后應判斷哪種方法更適合自己的學生；最后，應對教材所呈現的教學內容進行剪裁、編排、充實、活化，設計出既符合知識本身的邏輯順序，又符合學生認知規律的教學方案.

2. 建立正確的教材價值觀

教材對于教師來說不僅可以幫助其備課、上課，還可以幫助其深入理解知識、提升教學水平. 因此，作為教師要建立正確的教材價值觀，學會挖掘和利用教材中的資源，閱讀教材中不能完全采納的教學設計，帶著自己的思考、帶著批判的眼光去看待教材上的各個環節. 這個過程實際上是教師與教材的對話，以及教師的自我提問，在不斷對話和自我提問中深入理解教材，提升自己的專業素養.

參考文獻：

［1］? 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書·數學（A版）：必修第一冊［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［2］? 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書·數學（B版）：必修第一冊［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［3］? 蘇教版高中數學教材編寫組. 普通高中教科書·數學：必修第一冊 （送審版）［M］. 南京：江蘇鳳凰教育出版社，2019.

［4］? 王尚志，保繼光. 普通高中教科書·數學：必修第一冊［M］. 北京：北京師范大學出版社，2019.

［5］? 李大潛，王建磐. 普通高中教科書·數學（必修第一冊）［M］. 上海：上海教育出版社，2020.

［6］? 張景中，黃步高. 普通高中教科書·數學：必修第一冊 （送審版）［M］.長沙：湖南教育出版社，2019.

［7］? 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.

基金項目：揚州大學2021年度研究生教育教學改革與實踐課題“新情境下教育碩士實踐創新能力提升行動研究”（JGLX2021_008）.

作者簡介：譚明群（1998—），本科學歷，主要從事數學教育研究工作.

通訊作者：陳算榮（1972—），博士，副教授，主要從事數學教育、課程與教學、教師教育研究工作.