識思探算驗 探究是關鍵

［摘? 要］ 新一輪高考命題改革力求突出對學生核心素養與思維品質的考查，在高考試題命制方面下足了功夫——創新試題形式，加強情境設計，注重聯系社會生活，增加綜合性、應用性、開放性、探究性試題.這一輪大力度的命題改革，推動著一線教師深入思考：如何應對新課改以提高學生的解題能力并培養學生的核心素養. 文章以“2021年新高考I卷第19題‘解三角形問題”為例，分析、總結并提煉解題能力提升策略.

［關鍵詞］ 解題策略；關系探求；解題反思

引言

解題是數學活動的主要內容和基本形式，數學學習和高考考查都離不開解題. 北師大曹一鳴教授認為，“解題過程是知識的運用過程，是解題者面向對象的數學化過程，包括對其形式化、表格化和圖形化，進而納入到一個特定的模式化系統中來，確認系統內部所滿足的整體屬性和局部屬性，在此基礎上確認個別對象在系統中的身份、位置、屬性，借以實現它與其他對象的關聯，使解題目標明確開來.”［1］2021年新高考Ⅰ卷第19題“解三角形問題”，很多考生普遍反映不簡單、不好做，這引起了筆者思考：問題出在哪兒？如何提升數學解題能力以落實核心素養？本文擬從此題的解法、問題思路分析出發，結合筆者在江蘇省新高考推行以來教科研、高考閱卷等活動中積累的對高考評價要求和閱卷規則的理解，探討學生解題能力提升策略. 不當之處，敬請指正.

考題分析

2021年新高考Ⅰ卷第19題：記△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c. 已知b2=ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

（1）證明：BD=b；

（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.

試題情境：本題是綜合性試題，屬于探索創新情境，具體是數學探究情境.本題以三角形為載體，側重考查解三角形問題.

必備知識：本題考查的是正弦定理角化邊的應用、余弦定理的應用、三角形中求角問題.

關鍵能力：本題主要考查邏輯思維能力和運算求解能力.在三角形求解模型下能夠準確選用正弦、余弦定理解決求邊求角基本問題.

學科素養：本題考查的學科素養是理性思維和數學探索.考生能夠在三角形中，通過條件分析，挖掘隱含條件，合理選擇正弦、余弦定理進行運算.

解題策略

怎樣解題？G·波利亞的“理解題目、擬定方案、執行方案和回顧”四步解題法明確闡述了解題的基本策略，曹一鳴教授認為，“數學解題的思維過程，清晰地表現為四個連貫的思維進程，即模式斷定、目標定位、路徑探求、技術實現四步”. 本文在以上理論基礎上嘗試進一步總結高考細化的解題實踐策略，以幫助學生提高解題水平.

1. 審閱識別

【識】 識別、辨識、斷定. 反復審題，準確認清題目條件、解題目標及其“環境”狀態，通過解題經驗斷定其一般屬類，可以稱為模式斷定.

這是解三角形中的哪一類問題？定邊求角問題的一般方法是什么？正弦、余弦定理模型應用的條件、特點是什么？思維進程即“識”階段.

2. 定位思考

【思】 思考、分析、明確. 題目的目標是什么？已經知道了什么？解題目標是否可以轉換成一些比較容易達到的目標？常用的轉化辦法有哪些，可否借鑒，應從何入手？題眼或突破口在哪里？可以稱為定位思考，恰如G·波利亞所言：“當你對問題的敘述已如此清楚，并已深深地印入腦海，以致你即使暫時不去看它，你也不怕把它完全忘掉時……先把問題的主要部分剖析出來.因為前提與結論是‘求證題的主要部分，未知、已知與條件是‘求解題的主要部分.再把問題中的主要部分都弄一遍，并且要逐個地考慮，輪流地考慮，而且在各種組合中來考慮，同時把每個細節與其他細節聯系起來，把每個細節與整個問題聯系起來.”概言之，所謂定位可以理解為在熟悉題目整體構成的前提下，從結論和條件出發，結合已有的相關聯的知識和經驗，初步確定解題方法的階段.

如第（1）問：

思1：因為BDsin∠ABC=asinC①，由正弦定理=，可知BD·b=ac②. 因為b2=ac③，所以BD·b=b2，所以BD=b④.

此法是常用的解法，可稱為通法，思維過程大致是“求邊→BDsin∠ABC=asinC（怎么用）→化邊→（用什么）正弦定理→BD·b=ac→（用條件2）b2=ac”，即“式子①→正弦定理→式子②→式子③→式子④”. 式子②是關鍵式子，其得到的方式不同會構成不同的解（解法），比如：

思2：=→=b，由BD=→BD=b.

思3：=，=→sin∠ABC=sin∠BDC.

①∠ABC=∠BDC→=，即=→BD·b=ac→BD=b.

②∠ABC=∠BDA→=，即=→BD·b=ac→BD=b

注1：第（1）問的證明，目標是定邊，關鍵是得到核心關系式BD·b=ac，而得到的途徑凸顯學生對正弦定理的理解程度，“化邊”“化角”是正弦定理提煉后的一般應用方式的敘述，理解了它就能很簡潔地證明本問. 本問解法的繁簡程度，能反映考生對正弦定理的理解程度.

注2：要注意解答的規范性，條件“BDsin∠ABC=asinC”要寫，正弦定理或相應公式要寫. 教學中應不斷強化學生的規范意識，規范也是素養. 據調研，很多考生解答本問并不能做到簡潔明了、準確到位，個中緣由值得深思，應在教學中予以解決.

3. 關系探求

【探】 探求、探索、探明.分析題目的條件及各量之間的關系，探求達到目標的路徑.探索題較訓練題少了不少條件，使得內部運算關系變得隱晦或多樣，從而必須做出邏輯斷定，或者分類討論來實現.這種內部關系呈現出來的復雜性，處理手段表現出來的多樣性，把思維活動的嚴謹、抽象、靈活等特性生動地展現出來，可以稱為路徑探求. G·波利亞對此有過精彩的論述，“從各個方面考慮你的問題.分別突出各個部分，考察各個細節，用不同方法反復審查同一細節.把細節用不同方式組合起來，從不同角度考慮它.試著在每一細節中發現某些新意義，嘗試在整個問題中得出某些新解釋.從你現有知識中找出與問題有關之處.試想過去在類似的情況下有什么曾幫過你的忙.在你所考察的內容中，設法找出熟悉的東西來，在你所熟悉的東西中，努力找出有用的東西來.”關系探求是思考定位的后續和深化，G·波利亞認為探求過程“能找出什么？一個有用的念頭，也許是個決定性的念頭，它能使你一眼看出解決問題的途徑”.有時候這個有用的念頭就是考查的核心.

高考非常青睞這樣的富有探究性的考法，如第（2）問：

思4：由題意知，BD=b，AD=，DC=，所以△ABD中，cos∠ADB==；△BDC中，cos∠CDB==. 因為∠ADB=π-∠CDB，所以cos∠ADB+cos∠BDC=0，所以=，所以2a2+c2=，所以6a2+3c2=11b2. 又b2=ac，所以6a2+3c2=11ac，即（3a-c）（2a-3c）=0，所以a=或a=. 因為cos∠ABC=，所以cos∠ABC=或cos∠ABC=（舍去）.

注3：思4為常用之法，以方程思想為主線，串聯余弦定理，運用“算兩次”的方法構建一個比較隱晦的關系式，與條件組成方程組，可得三邊的關系，然后再次運用余弦定理求解. 思4中的關鍵式子是6a2+3c2=11b2，其實這樣的關鍵式子得到的方式靈活多樣：在不同的三角形中選用角C，或者角A，算兩次，由cos∠BCD=cos∠BCA或cos∠BAD=cos∠BAC均可得到相應的關鍵式子；而且還可以借助向量處理邊角關系，即將=+兩邊平方，再將cos∠ABC=代入也可得到相應的關鍵式子. 總體來看，可以結合圖形特征和數量關系用“角”“向量”“建系”“三角形相似”乃至“特殊化”（不妨設BD=3，由第（1）問得b=3，AD=2，DC=1，結合∠BDC+∠BDA=π得到2a2+c2=33）等多種方法得到關鍵式子，這恰恰反映了考生思維的靈活性，充分體現了核心素養的生成.本問的典型錯誤在于選用了∠ABD+∠CBD=∠ABC這一等式，再取正弦定理或余弦定理導致無法繼續求解，換言之，說明考生未能抽象出有用的等式，這就是水平差異.

4. 運算求解

【算】 計算、運算、算法. 主要表現為理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結果.數學運算是解決數學問題的基本手段，通過運算促進數學思維發展，形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神，即從條件出發，采用恰當的技術方法，對探求路徑予以落實，可以稱為技術實現. 本題“妙”在思考角度多，關系確立“活”；“難”在運算要求高，學生易在運算環節失分.

思5：在△ABC中，AD=2DC，AC=BD，不妨設BD=3t，AD=2t，CD=t.

在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2AD·BDcos∠ADB=13t2-12t2cos∠ADB；在△BDC中，BC2=BD2+CD2-2BD·CD·cos∠BDC=10t2+6t2cos∠ADB.

令∠ADB=θ，由已知b2=ac，可得·=9t2，即（13-12cosθ）（10+6cosθ）=81，所以cosθ=或cosθ=-（舍去）.

所以AB=t，BC=，所以cos∠ABC==.

思6：以D為原點，DA為x軸建立平面直角坐標系，設A（2t，0），C（-t，0），B（x，y）（t>0）.

因為BD=3t，所以x2+y2=9t2. 因為ac=b2，所以BC·BA=BD2，所以·=9t2，所以（10t2+2tx）（13t2-4tx）=81t4，解得x=-t或x=t.

由向量公式得cos∠ABC=====，當x=-，cos∠ABC=>1（舍去）；當x=，cos∠ABC=. 綜上，cos∠ABC=.

注4：本題的算法還可以如下.

由6a2+3c2=11b2，

a2c2=b4，解得a2

=b2，

c2

=b2，或a2

=b2，

c2=3b2，解得

a=b，

c=b，或

a=b，

c=b.

當a=，c=b時，a+b

關鍵式子除6a2+3c2=11b2外，還有2a2+c2=，2a2+c2=b2等形式，關鍵是各字母的系數，特別要注意其中的系數比例（特別是33）. 這里有一種典型錯誤，即將條件AD=2CD看成CD=2AD.

無論得到的關鍵式子是6a2+3c2=11b2，還是·=9t2，或·=9t2，繼續解題的關鍵是運算，這里也可以理解為二元目標式的化簡運算. 此類運算在含參函數的零點、解析幾何的定值等典型問題中常有涉及，而“目前高中生數學運算能力普遍較弱，特別是帶式子的整式運算……含字母比較多，有時‘會卻算不出……引導學生直面困難，求解過程算思結合，逢山開路，遇水搭橋. 既要能直接‘硬算，也會選擇方法簡算，既要能選好求解切入點，又要會中途調整方向、追根溯源、優化解法、把握本質”［2］.

5. 檢驗回首

【驗】 驗算、檢驗、驗證. 這是思維嚴謹性的重要體現，特別是在解三角形中，經常需要多值檢驗，與方程增根有關.由于本題涉及二次方程求解，出現多解，因此有必要檢驗解的有效性. 檢驗意識也是解題素養的重要體現.

思7：由第（1）問得∠ABC=∠BDC或∠ABC+∠BDC=π.若∠ABC=∠BDC，∠C=∠C，則△ABC∽△BDC，則=，即=，即b2=3a2. 又b2=ac，所以c=3a，所以cos∠ABC=>1，舍去. 若∠ABC=∠BDA，同理可得b2=c2. 又b2=ac，所以a=c，所以cos∠ABC=.

思8：由第（1）問得∠ABC=∠BDC或∠ABC+∠BDC=π.

①若∠ABC=∠BDC，在△ABC中，cos∠ABC=；在△BDC中，cos∠BDC=. 由cos∠ABC=cos∠BDC，得12a2-13b2+3c2=0. 又b2=ac，即（3a-c）·（4a-3c）=0，所以a=或a=. 所以cos∠ABC==>1（舍去），或cos∠ABC==. 當cos∠ABC=時，cos∠BDA=≠-cos∠BDC，舍去.

②若∠ABC=∠BDA，cos∠ABC=cos∠BDA，所以6a2-19b2+15c2=0. 又b2=ac，即（2a-3c）（3a-5c）=0，所以a=或a=，所以cos∠ABC==，或cos∠ABC==. 當cos∠ABC=時，cos∠BDA=-≠-cos∠BDC，舍去.

綜上，cos∠ABC=.

注5：以上兩種思路的驗證方法是“有界性”（即利用余弦值的有界性進行取舍）和“回代”（即將算出的解回代到相鄰三角形的兩個互補角的余弦值中檢驗其是否符合相反關系進行取舍）.馬一新總結“利用‘大邊對大角方法、利用條件確定角的范圍、利用條件縮小范圍、對結論反思檢驗、利用三角性質作深層判斷”［3］等幾種策略進行多解的檢驗取舍，而這種深層次判斷很能反映考生對知識方法的理解深度，屬于高階思維.

解題反思

1. 加強審題能力提升

新高考對數學閱讀的要求明顯提高，如何快速有效地理解題意、尋找思路、確定題眼？趙士元認為，“讓學生在逐字逐句的品味中培養題感、將綜合問題分解成若干小問題并引導學生舍得時間多讀題多思考在細微處提升讀題能力、常通過換（多）角度思考在思辨中提升讀題能力、在‘逆向設問‘換位聯想等方式的問題探究中提升讀題能力.”［4］同時通過加強傳授啟發性提示語來提升審題能力，即“可基于波利亞解題理論的教學，在解題教學的講解與示范沖突中突出呈現相關的啟發性提示語，并布置必要的解題教學練習用以強化數學教師對啟發性提示語的捕捉、整理與表達.”［5］

2. 加強開展示范教學

G·波利亞指出：“解題的價值不是答案本身，而在于弄清‘怎樣想到這個解法的？‘是什么原因引發我們這樣的思考？”因而解題教學的目的是引導學生在例題教學中體會思維過程、感悟思想方法、明了關鍵核心，進而掌握解決問題的能力.特別是綜合問題的教學，一定的示范教學是必須的，“示范教學是教師有目的地以示范技能作為有效刺激，充分調動學生的視覺和聽覺，形成表象及聯系，使其在觀察、思維、模仿、操作中領悟理論精髓，掌握技能要領.”［5］但這一點目前來看還是有所欠缺的，或學生活動過多，凌亂無序、效率不高；或課件投影印象不深、理解不透. 雖說示范教學占用的時間較長，看似容量不高，但在實際教學中，特別是實驗班的教學中，難點的解決、關鍵點的拓展、不同思考方式的碰撞在教師親自示范的過程中，若能控制好節奏，預設得充分，放得開手腳，則能上出那種師生感覺都很好的且高效有深度的課，所以很多時候教師親自上陣，通過示范能給學生生動直觀且深入的認識，從而彌補空洞快速說教的不足.

3. 重視運算能力訓練

解題解題，運算靠前. 盡管新高考側重“多思少算”，但運算幾乎存在于數學學習考查的各個環節.黃曉學教授認為，“數學運算包括算法和算理.好的算理和算法能規避煩瑣的計算；（此方面的問題集中在）學生基礎知識不扎實、運算功底不深厚、運算方向不準確、運算品質不優良.”［6］因此提升學生的運算能力需要引導學生理解手算口算估算等運算的重要意義，加強初高中銜接內容的教學，引導學生掌握扎實的基礎知識（公式、定理、法則以及部分可拓展的結論等），長期進行系統規范運算（含演草）訓練，加強算法算理的理解反思，結合各章節具體問題加強常見運算技巧以及特殊運算技巧的培訓.

4. 遵守簡單關鍵規律

怎樣提高解題能力？單遵先生在《解題研究》中如此回答：必須多做題. 除此之外沒有別的辦法.首先要做一定量的基本題，打好基本功（掌握基本運算技能、基本解題方法，做到純熟自如）；在此基礎上，再做一些較有技巧的問題.要不斷提高自己的解題能力，更重要的是習題的質量，要做一些有變化、有技巧的題，掌握更多的新方法、新技巧；應當對自己充滿信心，面對一道數學題，應當充滿信心；應當自覺的“逼”自己，下定決心，努力進取，就沒有不能克服的困難. 解數學題，必須全力以赴，即使是常規問題，也要動腦筋想一想：有哪幾條路可走？有哪一個例題可以仿效（最好能想一想有沒有更好的解法）？選好解題路線后，應小心翼翼，在計算和推理中不可出錯，解題需要專心致志.提高解題能力的更宏觀的策略可以簡要概括為：堅持練習、習題質量、信心決心和專心致志. 如果能逐步培養出興趣，那么將事半功倍.

結束語

數學解題能力是數學能力的主要標志，解題水平的提升是落實核心素養的重要體現. 而數學解題教學更是一門科學，目前來看，數學高考卷考查學生的唯一方式還是解題. 本文從2021年一道典型的高考試題的解法及其關鍵點出發，結合個人的教學實踐，論述了解題的關鍵步驟和提升解題能力的幾方面策略，然誠如李金蛟老師所言：我們的探索才剛剛開始，希望更多的人來參與，去發現更美的風景.

參考文獻：

［1］? 曹一鳴，張生春. 數學教學論［M］. 北京：北京師范大學出版社，2010.

［2］? 宋秀云. 算思結合 突破困難 提升素養——以一道解析幾何題求解歷程為例［J］. 數學通報，2020，59（03）：56-60.

［3］? 馬一新. 解三角形問題中的“多解取舍”探討［J］.數學之友，2008（21）：86-87.

［4］? 趙士元. 提升數學讀題能力的幾個途徑［J］. 數學通報，2020，59（06）：49-53+57.

［5］? 陸珺，胡晴穎. 論數學解題教學的教學［J］. 數學教育學報，2021，30（02）：55-60.

［6］? 劉亞平，黃曉學. 讓學生的數學核心素養“落地生根”——以兩道數學試題的解題教學為例［J］. 數學通報，2020，59（05）：46-50.

作者簡介：陳小祥（1981—），本科學歷，北京師范大學教育碩士，中小學高級教師，江蘇省“333高層次人才培養工程”培養對象，徐州市教育系統優秀年輕干部“雙百工程”培養對象，徐州市數學學科首席教師，徐州市青年優秀骨干教師，主要從事高中數學教育研究工作.