基于“模型認(rèn)知”的小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)

王長友

［摘? 要］ 學(xué)生對模型的認(rèn)知，是逐步清晰、逐步深化的過程。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，激活學(xué)生認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，并對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行意義賦予。基于“模型認(rèn)知”，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)建模不僅是一種意識(shí)，還是一種能力、一種素養(yǎng)。基于“模型認(rèn)知”的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)，能不斷提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)模型；模型認(rèn)知；深度學(xué)習(xí)

模型是人認(rèn)識(shí)世界的基礎(chǔ)，一個(gè)人在學(xué)習(xí)中儲(chǔ)備的模型越豐富，他解決現(xiàn)實(shí)問題的能力就越強(qiáng)。基于“模型認(rèn)知”，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。學(xué)生對模型的認(rèn)知，是逐步清晰、逐步深化的過程。所謂“數(shù)學(xué)模型”，是指“將事物的特征、關(guān)系等抽象、提煉出來，用數(shù)學(xué)語言來概括、描述的一種結(jié)構(gòu)”。廣義地說，一切的數(shù)學(xué)概念、法則、定理等都是數(shù)學(xué)模型。所謂“數(shù)學(xué)建模”，是指“建立數(shù)學(xué)模型并用它解決問題的過程”。數(shù)學(xué)建模不僅是一種意識(shí)，還是一種能力、一種素養(yǎng)。

[?]一、創(chuàng)設(shè)情境，匹配“數(shù)學(xué)模型”

數(shù)學(xué)模型，按照認(rèn)識(shí)過程，可以分為描述性模型和解釋性模型；按照模型對象，可以分為概念性模型、方法型模型和結(jié)構(gòu)性模型。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，注意要讓學(xué)生匹配數(shù)學(xué)模型。換言之，情境要具有一種適切性，能催生學(xué)生的建模內(nèi)需，引發(fā)學(xué)生的建模興趣，激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地建模。

創(chuàng)設(shè)情境，就是要從學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)向數(shù)學(xué)進(jìn)行有效過渡。好的數(shù)學(xué)建模離不開情境，更離不開關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)問題。由于小學(xué)生的生活經(jīng)歷比較有限，因而對一些實(shí)際問題的認(rèn)識(shí)比較模糊，容易被紛繁復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)干擾。情境就是對現(xiàn)實(shí)問題的簡化、純化。置身于情境之中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)能提出問題、分析問題。比如教學(xué)“相遇問題”，教師就必須創(chuàng)設(shè)情境，以便學(xué)生能在情境中感知、感受到相遇問題的特征，進(jìn)而通過分析建構(gòu)出關(guān)于相遇問題的數(shù)學(xué)模型。我們知道，現(xiàn)實(shí)中的相遇問題是復(fù)雜的，還有許多干擾因素，而情境中的相遇問題往往舍棄了許多非本質(zhì)性的、干擾性的因素，僅僅呈現(xiàn)與相遇問題相關(guān)的一些量。顯然，情境較之于現(xiàn)實(shí)更數(shù)學(xué)化一些。當(dāng)然，教學(xué)中，教師也可以創(chuàng)設(shè)更貼合生活的情境，讓學(xué)生從情境中自主地選擇一些條件，并借助這些條件解決問題。

情境認(rèn)知是一種介于現(xiàn)實(shí)認(rèn)知和數(shù)學(xué)認(rèn)知中間的一種認(rèn)知。教學(xué)中，教師可以借助情境，引導(dǎo)學(xué)生與現(xiàn)實(shí)互動(dòng)、與數(shù)學(xué)互動(dòng)。通過情境，假設(shè)現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)之間的關(guān)聯(lián)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的特質(zhì)以及學(xué)生的具體學(xué)情，精心設(shè)計(jì)情境，讓情境真正成為學(xué)生數(shù)學(xué)建模的重要載體與媒介。

[?]二、激活認(rèn)知，提煉“數(shù)學(xué)模型”

“認(rèn)知沖突”是激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生思維碰撞，生成學(xué)生原有認(rèn)知的重要手段。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要激活學(xué)生的原有認(rèn)知，讓學(xué)生的原有認(rèn)知與新知之間產(chǎn)生認(rèn)知沖突。激活學(xué)生的認(rèn)知，要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)化的眼光觀察，用一般化的思維概括，用結(jié)構(gòu)化的視角審視。只有激發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突，才能誘發(fā)學(xué)生參與、融入數(shù)學(xué)新知的再創(chuàng)造過程中。

激活學(xué)生的認(rèn)知，就是要讓學(xué)生用數(shù)學(xué)化的方式來對相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行表征，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從“境”到“型”的過渡。激活學(xué)生的認(rèn)知，一般有兩種方式：其一是引導(dǎo)學(xué)生感知，其二是引導(dǎo)學(xué)生操作。比如教學(xué)“間隔排列”這一部分內(nèi)容，筆者先呈現(xiàn)日常生活中的一些現(xiàn)象，比如電線桿的間隔排列、地磚的間隔排列、絲綢花紋的間隔排列等，從而豐富學(xué)生的感知。接著引導(dǎo)學(xué)生觀察：兩端物體是什么？中間物體是什么？引導(dǎo)學(xué)生思考：兩端物體相同，兩端物體和中間物體之間有怎樣的關(guān)系？兩端物體不同，兩端物體和中間物體之間有怎樣的關(guān)系？在感知的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生操作：擺一擺，讓兩端物體比中間物體多一個(gè)；擺一擺，讓兩種物體的個(gè)數(shù)相同。通過感知、操作，有效地架構(gòu)學(xué)生的已有知識(shí)與數(shù)學(xué)新知的關(guān)聯(lián)。由此激活了學(xué)生的認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識(shí)的再創(chuàng)造過程，就能讓學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。這樣建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型與學(xué)生的生活、實(shí)踐有著密切的關(guān)聯(lián)，因而這樣的模型是有生命力的模型。

經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的再創(chuàng)造建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，教師要有意識(shí)地將學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)融入其中，從而引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)模型建好、建深。借助數(shù)學(xué)模型，學(xué)生能更深入地理解數(shù)量之間的關(guān)系，能解決更多的數(shù)學(xué)問題。同時(shí)，在數(shù)學(xué)建模的過程中，能有效地發(fā)展學(xué)生的思維能力、實(shí)踐能力。

[?]三、意義賦予，豐富“數(shù)學(xué)模型”

當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)模型建立以后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生針對這樣的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行意義賦予。所謂“意義賦予”，就是“給一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)模型以現(xiàn)實(shí)性的意義”。借助數(shù)學(xué)模型，學(xué)生零散的、瑣碎的數(shù)學(xué)知識(shí)就能有效地整合，相關(guān)的現(xiàn)實(shí)問題就能得到生動(dòng)的詮釋。數(shù)學(xué)模型是對現(xiàn)實(shí)生活中的一類現(xiàn)象的概括，因而其具有一定的概括性。如果說，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型是對現(xiàn)實(shí)的抽象、提純，那么，意義賦予就是對數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，就是促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型對相關(guān)問題解決進(jìn)行遷移。

盡管學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)模型是有限的，但教師在教學(xué)中完全可以利用有限的數(shù)學(xué)模型，激發(fā)學(xué)生的想象，因?yàn)閷W(xué)生的想象力是無限的。學(xué)生喜歡異想天開，這對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行意義賦予是十分有益的。作為教師，要調(diào)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)模型意義賦予的積極性，發(fā)掘?qū)W生對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行意義賦予的創(chuàng)造性，鼓勵(lì)、激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的意義賦予。比如教學(xué)“相遇問題”，在引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)出相遇問題的數(shù)學(xué)模型——“速度和×相遇時(shí)間=路程和”這一部分內(nèi)容之后，學(xué)生積極主動(dòng)地舉例并說明這一模型的應(yīng)用，這就是學(xué)生對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行意義賦予的過程。如有學(xué)生說，甲、乙兩輛車同時(shí)從A、B兩地出發(fā)，相向而行，已知兩輛車的速度，它們經(jīng)過多長時(shí)間相遇？有學(xué)生說，甲、乙兩輛車同時(shí)從A地出發(fā)，相背而行，已知兩輛車的速度，經(jīng)過多長時(shí)間兩車相距多少千米？有學(xué)生說，兩輛車在一條環(huán)形的公路上行駛，從同一點(diǎn)出發(fā)，相背而行，已知兩輛車的速度，經(jīng)過多長時(shí)間兩車可以相遇？同一個(gè)數(shù)學(xué)模型，激發(fā)了學(xué)生的無限想象力，讓學(xué)生生發(fā)出不同行駛路徑、不同行駛方向等的現(xiàn)實(shí)解釋。這樣的意義賦予，不僅能培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、想象，而且能促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的靈活應(yīng)用。

值得注意的是，學(xué)生的“意義賦予”有可能會(huì)出現(xiàn)一些偏差，甚至?xí)霈F(xiàn)一些錯(cuò)誤。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要抓住學(xué)生閃光的地方多加激勵(lì)、表揚(yáng)，從而對學(xué)生的數(shù)學(xué)意義賦予進(jìn)行鼓勵(lì)，而對于學(xué)生的錯(cuò)誤，教師要委婉地進(jìn)行批評，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤的本質(zhì)，從而規(guī)范學(xué)生的意義賦予。在這個(gè)過程中，學(xué)生能更深刻地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型。

[?]四、協(xié)同會(huì)話，評價(jià)“數(shù)學(xué)模型”

當(dāng)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型之后，教師還要引導(dǎo)學(xué)生反思數(shù)學(xué)模型、評價(jià)數(shù)學(xué)模型。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生協(xié)同會(huì)話，了解彼此對數(shù)學(xué)模型的闡釋，從而逐步學(xué)會(huì)評價(jià)數(shù)學(xué)模型。在評價(jià)的過程中，學(xué)生能不斷地比較每一個(gè)數(shù)學(xué)模型的優(yōu)點(diǎn)、缺點(diǎn)，從而對彼此的數(shù)學(xué)建模進(jìn)行點(diǎn)評，了解其中的缺點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn)。這樣的協(xié)同會(huì)話，能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的提升，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成。

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型之后，只有引導(dǎo)學(xué)生協(xié)同會(huì)話，才能提升學(xué)生的凝練、解釋能力，從而讓數(shù)學(xué)模型不斷完善。尤其對于數(shù)學(xué)模型中需要彌合的地方，教師更要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度研討。比如教學(xué)“梯形的面積”這一部分內(nèi)容，在引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)了梯形的面積計(jì)算模型之后，筆者引導(dǎo)學(xué)生評價(jià)模型。學(xué)生聯(lián)系自己的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，從各個(gè)視角展開評價(jià)。有學(xué)生說，可以將平行四邊形看成特殊的梯形，也就是梯形的上、下底相等，這樣，梯形的面積計(jì)算模型也適用于平行四邊形的面積計(jì)算；有學(xué)生說，可以將三角形看成特殊的梯形，也就是梯形的上底為0，這樣，梯形的面積計(jì)算模型也適用于三角形的面積計(jì)算；還有學(xué)生說，梯形的面積計(jì)算模型可以演變成我們已經(jīng)學(xué)習(xí)的長方形、正方形、平行四邊形、三角形等圖形的面積計(jì)算模型，梯形的面積計(jì)算模型的本領(lǐng)真大啊！正是在對梯形的面積計(jì)算模型評價(jià)的過程中，學(xué)生對梯形的面積計(jì)算模型有了更為深層次的認(rèn)知。

數(shù)學(xué)模型是人類認(rèn)識(shí)世界、改造世界的重要工具。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要以學(xué)生的已有認(rèn)知作為模型建構(gòu)起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生提煉、概括、建構(gòu)、豐富、評價(jià)數(shù)學(xué)模型。作為教師，要擁有數(shù)學(xué)建模的眼界，引導(dǎo)學(xué)生超越素材、情境的表面。不僅要引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，還要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型、創(chuàng)新數(shù)學(xué)模型。基于“模型認(rèn)知”的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)，能不斷提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。