基于高斯投影特性的獨立坐標系建立方法

張福友

(廣東省水利電力勘測設計研究院有限公司，廣州 510170)

1 概述

在描述地球上某一點的具體位置時，通常使用坐標來表示。相同一個位置，在不同坐標系中有不同坐標值。為了更好地描述某點的位置、方位、角度等地理信息，產生了許多坐標系，如空間直角坐標系、大地坐標系、平面直角坐標系[1]等。在實際工程建設中，大部分采用高斯投影平面坐標[2]系。由于地球表面是曲面，將曲面通過投影變為平面，勢必存在變形，這便是投影變形[3]。因此，我們使用的平面地圖均存在投影變形，當變形值超過了一定限度后，我們需要建立獨立坐標系[4]，將變形值減少到可接受范圍內以滿足工程建設的要求。本文通過分析高斯投影的特點、變形特性等，從根本上探索獨立坐標系建立的必要性，同時提出一種基于投影變形分析的獨立坐標系建立的方法，從源頭解決投影變形問題，并通過實例數據檢驗該方法的可行性。

2 高斯投影及高斯正反算

地圖的制作過程離不開投影，即所謂的地圖數學投影，是將地面上的元素按照一定的數學法則投影到平面上的過程[5-6]。常用的投影方法有墨卡托投影、高斯投影、斜軸等面積方位投影、雙標準緯線等角圓錐投影、等差分緯線多圓錐投影、正軸方位投影等。

高斯投影是工程建設中用的最多的一種投影，全稱高斯-克呂格投影(Gauss-Krüger)，屬于等角橫軸切橢圓柱投影。它是將假想的橢圓柱面橫套在橢球體外面，并與某一條子午線(此子午線稱為中央子午線或軸子午線)相切，橢圓柱的中心軸通過橢球體中心，然后將中央子午線兩側各一定經差范圍內的地區投影到橢圓柱面上，再將橢圓柱面展開即成為投影面，我國規定按經差6°和3°進行投影分帶，特殊情況下有1.5°分帶或任意分帶[7-8]。高斯投影存在以下特點[5]：① 中央子午線投影后為直線；② 中央子午線投影后長度不變；③ 投影具有正形性質，即正形投影條件(柯西—黎曼條件)。

由上面條件進行推導，可以得出高斯投影正算公式如下[9]：

(1)

(2)

式中:

ρ″=206 264.806;t=tanB;η2=e′2cos2B;

N——卯酉圈曲率半徑;

X——自赤道至緯度B的子午線弧長，正算公式換算精確至0.001 m。

同樣，通過上述條件推導出高斯投影反算公式[9]：

(3)

(4)

反算公式換算精確至0.000 1″。

由上可知，某點的高斯平面坐標值依附于中央子午線的取值，中央子午線的選擇不同，即所在帶不同，坐標系便不同，坐標值自然不一樣。中央子午線無論選取值是多少，任何兩個高斯平面坐標系的點都可以通過數學法則進行轉換。通過上面的高斯投影正反算公式可以實現高斯換帶計算，實現不同帶的坐標之間的轉換。

3 投影變形分析

在投影過程中引起投影變形因素包含兩方面[10]：一是投影面高差造成的。當地面與投影面間存在高差時，投影后便發生變形。在圖1中，AB為地面測距邊，A′B′為投影邊，可以看出，當投影面低于地面時，投影后邊長縮短，反之則伸長。二是高斯投影由參考橢球面到高斯投影面引起的變形。從圖2可以看出，投影后中央子午線不變，其他經度線向兩側外凸，緯度線向赤道凸出，離中央子午線越遠變形越大。

圖1 投影面高差引起的投影變形示意

圖2 參考橢球面到高斯投影面引起的變形示意

由投影面高差引起的變形值計算如下：

(5)

式中：

S——地面實際邊長；

hm——測距邊平均高程;

Rm——地球曲率半徑。

由參考橢球面到高斯平面引起的變形值計算如式(6)(7)所示:

(6)

(7)

式中：

ym——測距邊兩端點到中央子午線的平均距離；

Δy——測距邊兩端點橫坐標之差；

Rm——參考橢球面上測距邊中點的地球曲率半徑；

Bm——測距邊平均緯度。

總投影變形值：

S=S1+S2

(8)

根據公式(8)，繪制投影變形趨勢如圖3所示，其中縱軸ym的取值為0～150 km，計算間隔為5 km,橫軸Hm取值為0～3 000 m,計算間隔為10 m，ΔS的大小由灰度值表示，顏色越深，變形越大。在下圖中，負變形最大為右上角，約-48 cm/km，正變形最大為左下角，約28 cm/km。之間白色部分為變形值在-5～5 cm/km之間。

根據《水利水電工程測量規范》(SL 197—2013)[11]要求，長度投影變形值不應大于5 cm/km，否則應建立獨立坐標系，優先采用掛靠在國家坐標系下、測區平均高程面上的獨立坐標系。由圖3可看出：投影面高差引起負變形，遠離中央子午線引起正變形，兩者可以相互抵消，但只有約1/5區域投影變形符合規范要求。所以，為了消減投影變形，獨立坐標系的建立在工程建設當中顯得非常重要。

4 獨立坐標系建立

獨立坐標系建立的總原則為減少投影變形至限差范圍內。獨立坐標系的建立方法有多種，如“1.5°帶投影”、“任意帶投影”、“一點一方位”[12-14]等。其中在工程項目中使用較多的為“一點一方位”加實測邊長值作為起算數據建網，這種方法是利用外部實測邊長數據來約束投影變形。本章節將闡述從內部通過公式計算投影變形值的大小，利用“一點一方位一邊長+投影抵償面”法抵消投影變形來建立獨立坐標系的方法。

圖3 投影變形趨勢示意

該方法和“一點一方位”一樣，需要選取控制網中一個點作為起算點(該點盡量在測區中央或者重要區域，在此用A點表示)、該點到另一個點(在此用B點表示)的方位角作為起算方位角，同時采用測區平均高程面或者特定高程面作為投影抵償面[15-17]，起算邊長的距離可通過上面公式精確計算得出。

對于投影面高差造成的變形，可以通過公式(5)進行歸算，最大限度地減少它帶來的影響。對于高斯投影由參考橢球面到高斯投影面引起的變形，由公式(6)可以看出，當測距邊與中央子午線重合時，ΔS2為0，因此正好可以利用該特點來獲取精準邊長。這個需要我們在控制點布設時，將測距邊的兩個控制點布設在相同經度的位置上且在測區中央或者重要區域的中央，通過換帶計算(新帶的中央子午線取該兩點的平均經度)得出該測距邊的精準距離，同時該測距邊應盡可能長以提升邊長的相對精度。這里需要注意的是，該測距邊不可能完全在同一經線上，但應盡可能實現，讓ΔS2盡量小。在實際操作當中，首先可以通過常規的GNSS控制網靜態平差解算出一套國家統一坐標，取A點平面坐標作為起算坐標，A到B的方位角作為起算方位角。然后通過換帶計算，將A、B兩點的坐標進行換帶計算，新帶中央子午線取A、B兩點的平均經度，算出A′、B′并求出兩點的平面距離，將該距離歸算到投影抵償面上作為起算邊長。至此，一點一方位一邊長+投影抵償面起算數據準備完畢。最后利用這些起算數據對控制網重新平差，解算出來的結果即為獨立坐標。

5 實例檢驗

某抽水蓄能電站項目位于37與38帶之間，平均經度約為112°47′，離114°子午線距離約125 km，平均高程約為200 m，通過上面公式計算，投影變形值約為16 cm/km，超出規范要求，需要對該項目建立獨立坐標系，控制網布設如圖4所示。

圖4 控制網布置示意

按照國家統一坐標系，中央子午線114°解算一套38帶的坐標，選取最靠近測區中心的“2620”作為起算點，選擇與“2620”經度盡量相等且距離較長的點作為方位點，從圖4中可以看出點“ZSZF”較為合適?！?620”到“ZSZF”的方位角α約為182°46′作為起算方位角。對“2620”、“ZSZF”兩點的平面坐標進行換帶計算，新帶的中央子午線取兩點的平均經度，為112°47′2.8″，投影抵償面取測區平均高程值，約為200 m。利用兩點換帶后的平面坐標計算其平距為16 306.035 5 m，作為起算邊長。利用上述起算數據對該控制網重新平差，算出獨立坐標。對GNSS基線邊長與獨立坐標反算邊長進行對比，得出邊長相對誤差統計見表1所示。

表1 獨立坐標系邊長相對誤差統計

獨立坐標反算長度是用獨立坐標的三維坐標計算出來的長度，GNSS基線長度是由GNSS控制網自由網平差后的空間直角坐標計算出來的長度。從表1可以看出，所有邊長相對誤差均在5 cm/km以內，符合規范要求。為了檢驗通過高斯正反算方式抵消的投影變形值的準確性，下面通過國家統一坐標系反算的邊長，加上公式(6)的距離歸化改正后的距離的長度值與GNSS基線長度進行比較(見表2所示)。

表2 國家統一坐標系加距離改化邊長相對誤差統計

從表2可以看出，改化距離的投影變形相對誤差也均在5 cm/km以內，符合規范要求。表1與表2之間的相對誤差存在一定差異，是由于獨立坐標系殘存的投影變形導致的，這是不可避免的，投影變形只能減少，不能消除。但該差異值均小于1/5限差，可以認為通過高斯正反算方式抵消投影變形建立獨立坐標系的方法是可行的。

6 結語

本文通過分析高斯投影變形特點，利用中央子午線無變形的特性，應用于獨立坐標系的建立，并通過實際項目數據，檢驗了該方法的可行性，得出結論如下：

1) 本文提出的獨立坐標系建立的方法，屬于“一點一方位一邊長+投影抵償面”的掛靠坐標系，掛靠在國家統一坐標系下，中央子午線、橢球參數等均不變。所有成果數據，如地形圖、斷面等均能與國家統一坐標系下的數據銜接。

2) 該方法中的邊長獲取是通過高斯正反算得到的，無需采用全站儀實測，可以減輕外業工作量。同時，外業實測邊長時由于多種因素的限制，不能測取較長測距邊的邊長。加上內業雖然經過一些列改正，但會殘存大氣折光、地球曲率、溫度、濕度、氣壓等造成的影響。另外，獨立坐標系更多考慮的是相對位置精度，而非絕對位置精度。

3) 采用該方法時需要注意將起算邊長的兩個控制點盡量布設在相同經度上以最大限度減少換算時殘存的投影變形，且距離盡量長以提高邊長的相對精度，從而提升整個控制網的相對精度。但投影變形還是會殘存的，無法消除，只能盡量減少。

4) 該方法適用范圍也是有限的，遇到東西跨度大或者高差大的測區，應根據實際情況進行分區建立獨立坐標系。

5) 遇到舊的控制網數據，也可采用該方法進行獨立坐標系建立。