初中數學教學中數形結合思想的運用

吳永勝

在初中數學教學中，數學思想對于學生獲得知識極為重要。其中，數形結合就是一個常用的數學思想，如果學生能夠有效應用這一思想，那么他的學習效率將會得到很大的提升。基于此，本文以新課改革為背景，將提高學生數學學習的有效性作為研究目的，圍繞初中數學教材，從概念教學、定理教學、解題教學及復習教學四個方面對數形結合思想進行了分析，以期能夠為一線教育教學工作者提供有利的教學理論參考。

?? ?一、概念教學，領悟數形結合思想

數學教材中的概念往往都是經過濃縮后形成的知識點，學生學習數學概念的過程，是由感性認知過渡到理性認知的一個過程。隨著新課改的進一步推進，對教師的教學提出了更高的要求，要求教師采用分析、比較、概括等方式，最大化地為學生呈現數學概念形成的完整過程，幫助學生掌握數學相關概念。這種演繹過程的教學方式，相較于以往傳統的教學方式而言，更易于學生掌握相關數學概念。此時，教師將數形結合思想恰如其分地應用于概念教學中，不失為一個有效的教學方式，不僅能夠幫助學生快速掌握數學概念，還能夠間接地使學生領悟概念中所隱藏的數學思想。例如，在講授函數概念、數軸概念、絕對值概念及平面直角坐標系概念時，筆者運用數形結合思想，以“圓與圓的位置關系”教學為例，利用多媒體對兩個不同顏色圓的運動進行了演示，并根據多媒體演示的形狀與學生一同總結了兩個圓之間所存在的位置關系，即相離、外切、相交、內切與內含。此環節中，筆者讓學生用圓規、剪刀等工具制作了兩個大小不同的圓形紙片，并鼓勵學生參照多媒體的演示過程進行操作，加深理解“圓與圓之間的位置關系”的相關知識。并引導學生根據圓與圓的位置總結不同位置d與r1、r2之間的關系：當兩個圓相離時，d＞r1+r2；當兩個圓外切時，d=r1+r2；當兩個圓相交時，r1-r2＜d＜r1+r2；當兩個圓內切時，d=r1-r2；當兩個圓內含時，0≤d＜r1-r2。這樣，學生學習圓與圓的位置關系時，很快就能從“形”的認知上過渡到“數”的認知上。由此可見，教師在概念教學中運用數形結合思想，不僅能夠幫助學生了解數學概念形成的緣由，還能夠培養學生的知識遷移、應用能力。

?? ?二、定理教學，展示數形結合思想

初中數學教材中的公式定理均是通過大量的驗算或驗證推理總結出來的。因此，學生在學習與應用公式定理的過程中，只有明確了特定題目中所應用的公式定理，并做到準確應用，才能夠在練習的過程中理解公式、定理的應用規律，完善自身的知識體系。其實，在勾股定理、有理數及楊輝三角等課程教學中，教師可以借助數形結合思想，幫助學生了解公式定理的形成過程，提高學生應用公式定理的準確性。下面，筆者以“有理數加法”一課為例，簡要介紹一下自己的教學經驗。有理數加法法則如下：1.同號兩數相加，和取相同的符號，并把絕對值相加；2.絕對值不等的異號兩數相加，和取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；3.一個數與零相加，仍得這個數；4.兩個互為相反數相加和為零。

學生的理解是公式定理高效、準確應用的基礎，有理數加法法則的具體內容對于學生而言，理解起來存在一定的難度，但教材中所呈現的圖形對學生進一步理解有理數加法法則有很大的幫助。因此，教師在公式定理的教學中，可以借助現有的教學資源，利用圖形輔以解釋性教學，以加深學生對有理數加法法則的理解。在數學教學過程中，我們最為常見的是數軸和四則運算，其中數軸的優勢在于能夠體現分數和小數的情況，具備特殊性與直觀性；四則運算中“同號相長、異號相消”則能很好地概括有理數加法的法則。以（-3）+（-5）=-8為例，筆者讓學生利用數軸分析（-3）+（-5）的結果（如圖1所示）；以（-3）+5=2為例，筆者讓學生利用數軸分析（-3）+5 的結果（如圖2所示）。

如圖1、圖2所示，學生在筆者的引導下，很快就掌握了利用數軸進行計算的方法，不僅提高了計算正確率，還加深了對有理數加法法則的理解。即在數軸上兩個正數相加，所得結果會越來越大；兩個負數相加，所得結果會越來越小；兩個不同符號的數相加，可根據“多抵少讓”的原則得出結果。除有理數加法的教學外，筆者還利用數軸幫助學生了解了絕對值的意義，并與學生共同比較了有理數的大小，引導學生利用數軸表示不等式的解集和實數。下面，筆者以解不等式組為例，讓學生將具體的解依次在數軸上勾畫出來，數軸上的交集部分即為該不等式組的解集。

解：①x＜2，②x≥-1。學生由數軸直觀地獲知該不等式組的解集為-1≤x＜2。

?? ?三、解題教學，突出數形結合思想

初中數學教學中，學生存在一定的思維定式，如果掌握了解題思路，就能正確、快速地解題，而一旦變換題目，學生的解題效率就會顯著下降，這是因為學生還不具備舉一反三的能力。究其原因，在于學生并未掌握例題的解法，分析題目的過程只局限于例題中。這就要求教師在具體的解題教學過程中，要運用數形結合思想授學生以“漁”，以此提高學生的知識遷移能力和題型轉換能力。例如，在講授二元一次方程組時，筆者讓學生應用數形結合思想，判斷二元一次方程組的解題情況。首先，筆者讓學生將二元一次方程與一次函數進行了轉換；其次，筆者與學生一同繪制了一次函數的圖像。學生很快就會明白所繪制的圖像中，兩條直線的交點就是所求，他們就會參照交點的具體位置解出方程組。

?? ?四、復習教學，概括數形結合思想

在初中數學教材中，數形結合思想是分散、滲透在各個章節中的，教師要想有效運用數形結合思想，并發揮其教育價值，就需要明確教材所涵蓋的數形結合思想的內容，將較難理解的知識轉變為直觀知識，以概括總結的形式利用數形結合思想開展教學，在強化學生數形結合思想的基礎上，優化學生的數學思維框架。筆者建議教師在每一章節教學后，利用數形結合思想與學生共同總結本章節的知識點，這樣既能夠內化學生所學知識，又能夠加強學生的知識總結能力。例如，在二次函數的復習教學中，為進一步加深學生對二次函數性質及特點的理解，筆者引導學生回顧了以往所學知識，讓學生結合二次函數的圖像，分析不同取值范圍下，二次函數圖像對稱軸的變化。通過此種方式，學生很快就熟練掌握了二次函數的性質與特點，在完善自身知識體系的基礎上，既達成復習教學的目標，又實現知識的內化。

此外，筆者要求學生在解決實際問題的過程中，要先畫圖，這樣才能做到心中有圖，進而最大限度地提高解題效率與準確性。函數解析式的各個參數及二次函數圖像所對應的坐標位置之間是相互影響的，而各個參數即為“數”，二次函數圖像所對應的坐標位置則為“形”。即當a＞0時二次函數圖像的開口方向向上且頂點為最低點，反之二次函數圖像的開口向下且頂點為最高點。

總之，數形結合思想在初中數學教學中有著較強的適用性。因此，教師在教學過程中應幫助學生形成數形結合思想，這對培養學生的知識遷移能力和知識轉化能力有著十分重要的作用，也符合新課改對教師提出的授課要求。此外，教師還應積極挖掘教材中所隱藏的數形結合思想，并將其最大可能地展示給學生，幫助學生完善知識體系。在日常教學中，筆者根據初中數學教材的內容，合理地將數形結合思想應用于概念、定理、解題與復習四個方面，取得了良好的教學效果，有效地提升了學生的學習水平，培養了學生的數學學習能力，為學生今后學習數學打下了堅實的基礎。

作者單位? ?甘肅省定西市漳縣城關中學