關系映射反演原則在中學數(shù)學問題解決中的應用

李艷琴 陳 潔

(西藏自治區(qū)拉薩市西藏大學理學院 850000)

隨著社會經(jīng)濟的不斷發(fā)展，數(shù)學教育也進行了深入改革.人們逐漸開始意識到，在數(shù)學教育教學過程中，教師的任務不僅是教給學生數(shù)學的基礎知識和基本技能，更重要的是教授數(shù)學思維方法.時間一長學生會忘記在學校學到的數(shù)學知識和技能，但大腦中留存的一些數(shù)學思維方法可能會伴隨他們一生，他們?nèi)匀豢梢允褂眠@些數(shù)學方法來解決實際問題，這就是所謂的“授人以魚，不如授人以漁”，真正達到學以致用的目的.在這個過程中，還可以培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，提高學生分析和解決問題的能力.由我國著名數(shù)學教育家徐利治先生提出的關系(Relationship)映射(Mapping)反演(Inversion)原則(簡稱RMI原則),作為一種分析和解決問題的思維方法，被廣泛應用于數(shù)學教育領域.許多數(shù)學教育研究者使用這種方法來攻克難以直接解決的數(shù)學問題，一些數(shù)學老師將這種方法滲透到課堂中，幫助學生理解數(shù)學知識、概念等.

迄今為止，關于RMI原則應用的研究主要集中在數(shù)與代數(shù)領域，更多體現(xiàn)在高等數(shù)學中，而在幾何領域的具體應用研究相對較少.其實，在中學幾何領域許多數(shù)學問題解決中也蘊含了此方法.基于此，本文主要討論RMI原則在中學數(shù)學幾何部分的具體應用.

1 RMI原則概述

1.1 RMI原則的基本內(nèi)容

關系(Relationship)映射(Mapping)反演(Inversion)原則(簡稱RMI原則)是數(shù)學教育中應用極其普遍的一種方法.它是將一個不易解決的數(shù)學問題轉化成一個新問題，這個新問題的解可以很容易地通過某些數(shù)學方法或程序得到，當新問題的解被求出后，將新問題的解反演到原問題中，以此得到原問題的解的研究方法.簡而言之，RMI原則是一種把問題簡單化，讓困難問題變得更容易的思維方法.這種方法不僅應用在數(shù)學領域，在其他科學領域，也可以看到使用RMI原則來解決問題的現(xiàn)象，因此可以說RMI原則是一種普遍應用于各個領域的科學方法論原則.

關系映射反演原則的基本含義，可以用如下框圖表示:

圖1

對框圖簡單地解釋說明：在原像關系結構Q中含有原像未知目標x，x是我們不能或不太容易直接求出的量，那么通過可逆映射φ，將需要求的量x映射到映像關系結構Q′中，在Q′中有與原像未知目標x對應的映像x′，如果將x′確定下來，再通過反演也就是逆映射φ-1就能把原像未知目標x確定下來，這樣一個求解問題的方法與過程就叫做關系映射反演原則.這里需要注意的是在映射φ中原像目標與映像目標需一一對應，且我們找的映像x′應該是相對較易求得的量.

1.2 RMI原則的具體應用

光看RMI原則，很多人可能不知道是什么意思，只感覺難懂，以為只有研究人員才會用.其實在現(xiàn)實生活中，我們已經(jīng)有很多使用RMI原則解決實際問題的例子.例如我們使用的溫度計，人們無法直接知道人體的體溫，于是想到了將體溫的測量轉換為水銀柱膨脹和收縮的測量，通過水銀柱膨脹和收縮測得的數(shù)值可以反映體溫，這種轉換使我們可以輕松測量體溫，這是RMI原則實際應用的一個簡單例子.RMI原則就是將問題映射到另一個不同的論域系統(tǒng)中，在那里獲得解決之后再返回來求得本系統(tǒng)問題解決的思維方法.綜上所述，RMI原則的基本思想也是一種轉化思想.

2 RMI原則在中學數(shù)學“空間與圖形”領域中的應用

學習數(shù)學不僅要學習理論知識，還要學習相應的精神、思想和方法，掌握一些基本的數(shù)學思維方法，可以讓學生輕松解決數(shù)學問題，也可以讓學生體驗數(shù)學之美.在中學數(shù)學學習中，結合具體的數(shù)學知識，滲透一些數(shù)學思維方法，不僅可以幫助學生更好的理解和掌握晦澀難懂的數(shù)學概念，還可以讓學生體驗數(shù)學思維的形成過程，培養(yǎng)理性精神，發(fā)展數(shù)學素養(yǎng).這些思維方法的最基本原則是將困難的問題轉化為已知或比較容易解決的問題，RMI原則便是這樣一種能將問題化難為易的重要思維方法.在數(shù)學教學過程中，教師應有意識地將這種數(shù)學思維方法滲透到各種知識、概念和解決問題中，促進學生對數(shù)學學習有更深層次的理解，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學興趣和數(shù)學思維.

2.1 RMI原則在幾何圖形初步認識中的應用

中學生對幾何圖形的初步學習，大多是從認識現(xiàn)實生活中物體的形狀開始的.將幾何圖形映射到現(xiàn)實世界中的物體上，從生活中的各種物體中識別幾何圖形，了解圖形的形狀、大小和位置關系，然后反演到數(shù)學中，達到認識圖形、理解圖形的目的，這個過程則體現(xiàn)出了RMI原則的基本思想.

例如，認識球可以映射到現(xiàn)實生活中的特定球體形狀，具體映射過程如下：

圖2

2.2 RMI原則在解立體圖形問題中的應用.

在中學階段，學習幾何圖形將通過現(xiàn)實世界的物體識別立體或平面圖形，在求解幾何圖形問題時，一般是對平面圖形的討論，但偶爾也會遇到超出我們知識范疇的數(shù)學問題，比如一些立體圖形問題的求解.而對于一些難以解決的立體圖形問題，我們往往會想到將其轉化為平面圖形進行研究和處理.

例如，人教版七年級上冊數(shù)學教材中《直線、射線、線段》一章的拓展探究題：

如圖3所示，一只螞蟻想在最短的時間內(nèi)從正方體的頂點A沿表面爬到頂點B，它應該如何爬行？如果要爬行到頂點C呢？說出你的理由.

圖3

解題思路：在本章中，我們學習了“兩點之間的最短線段”的概念，對于第一個問題，因為A點和B點在同一平面上，所以學生知道直接連接A點和B點是螞蟻爬行的最短路徑，是到達B點的最短距離.與上一問相比，第二問對于很多學生來說比較困難，因為學生知道A點和C點不在同一個平面上，計算這兩點之間的距離是立體幾何問題，但是初中階段學生還沒學習解決立體幾何兩點之間的距離問題，而由于學生學習了立體幾何展開圖的知識點，有的同學自然會想到用展開圖來解題，這樣就可以把解立體幾何問題轉化為求平面圖形上的兩點之間的距離問題(利用“兩點之間，線段最短”的知識，將展開后的圖形A和C兩點連線就是螞蟻爬行最短路線，也就是到達C點用時最短的距離)，因此這個問題也可以輕松解決了.

分析可以看出，上述解題思路中有兩處體現(xiàn)了RMI原則的思想(1)將時間問題轉化為距離問題，找出螞蟻爬行的最短距離，反演回去得到螞蟻花費的最短時間；這里簡單解釋，不深入探討.(2)解決第二問的關鍵是建立立體幾何問題和平面幾何問題之間的映射關系，在平面幾何系統(tǒng)中得到解決后，再反演回立體幾何問題中,這一解決問題的過程體現(xiàn)了RMI原則.

整個思維過程可用如圖4表示：

圖4

2.3 RMI原則在解決實際問題模型中的應用

學生在學習數(shù)學時,不僅要了解數(shù)學知識之間聯(lián)系，數(shù)學與其他學科之間的聯(lián)系，而且要能夠?qū)?shù)學知識與現(xiàn)實生活聯(lián)系起來，用數(shù)學的思維方式去思考，合理地運用所學的數(shù)學知識解決實際問題，這是新的課程標準對學生提出的新要求，這一新要求在數(shù)學教材后的例題和習題中得到深刻體現(xiàn).將實際問題轉化為數(shù)學問題(這個過程就是將實際問題抽象為數(shù)學模型)，用特定的數(shù)學程序求解數(shù)學模型，通過對數(shù)學模型的研究得出結論，再反演回實際問題中進行檢驗，使原問題最終得以解決.這個過程體現(xiàn)了RMI原則的基本思想.

3 小結

本文僅舉例說明RMI原則在“空間與圖形”領域數(shù)學問題解決中的一些應用，筆者認為，上述例子蘊含了RMI原則的基本思想.RMI原則實際上可以理解為是一種科學的方法論原則，廣泛適用于各種場景，但RMI原則的應用也需要一定的條件.例如，RMI方法能否成功實現(xiàn)的關鍵在于其映射和反演是否可行，新問題是否容易解決.

筆者認為，在數(shù)學教學中教師若能在數(shù)學知識之間以及數(shù)學問題解決的過程中提煉出RMI原則，從更高的層次進行教學，將這一基本思維方法滲透給學生，并鼓勵學生舉一反三應用此原則來解決數(shù)學問題和實際問題，這對學生學習數(shù)學知識和理解數(shù)學問題有很大的幫助，也可以鍛煉學生的數(shù)學思維能力.