分類討論思想視域下高中數學解題研究

崔 堅

(山東省德州市臨邑第一中學 251500)

高中數學解題中運用分類討論的思想，不僅能夠使數學題目得以輕松解決，而且還能使學生形成相應的發散思維.高中階段的數學與其他時期不同，通常具有較強的抽象性，不易被學生所理解.而分類討論作為數學解題中的一種重要思想，其在高中數學的許多題目解決中都得到廣泛運用，如概率、函數、數列等，其不僅可以使學生在解題時，具有清晰的思路，而且還能將抽象思維轉變為形象思維，以確保相關數學題更好的完成.因此，想要使高中數學的解題有效性得到顯著提高，就需深化分類討論的探究，以促使復雜、抽象的數學題解答更加簡單，并使學生形成良好思維習慣的同時，實現數學成績的提高.

1 分類討論思想及其應用價值與原則

1.1 分類討論思想概述

基于高中階段數學學科具備的特點，學生在對數學知識進行學習時，通常會遇到各種難題，且學生在解答數學題的時候，其中還包含著無限的可能，這就造成學生無法通過常規的形式進行數學試題解答.面對該數學問題，學生需注重具體問題具體分析，依據數學題所限定的范圍，對其實施正確劃分，將其分為一個個的小區域開展分析與運算，以促使學生的解題能力得到有效提高，該過程中運用到的數學思想以及解題技巧就是分類討論的解題思想.

在具體解題中，通過分類討論進行劃分的時候，需以劃分對象自身的相同或不同處作為依據，并根據其相同點以及不同點，將其分成不同種類，這不僅有助于學生進行更好的比較，而且還能準確找出其差異，并將有相同點的問題劃分到一個組別，這通常能夠使學生更有效的掌握相關數學問題間的聯系.

1.2 分類討論在數學解題中的應用價值

在高中數學的解題中，分類討論的思想運用通常有著重要價值.首先，有助于學生自身解題能力的提高，通過分類討論引導學生厘清數學題當中存在的數學關系，以此對數學題目進行準確解答，并在該過程中，促使學生對數學試題當中存有的數學思想深入理解；其次，有助于高中數學的課堂教學水平提高，并使學生在課堂上的學習難度得到有效降低.在高中數學的解題中，通常對學生自身的思維能力具有較高的要求，在實際解題中，通過分類思想的運用，不僅能夠有效解決學生在解題過程中遇到的難題與困難，而且還能使學生在具體操作中，形成自身獨特的分類思維，從而使學生的解題能力得到顯著提高.同時，將分類討論運用于數學解題中，可通過“化整為零、積零為整”的教學形式，不僅可以使學生構建自己對相關數學問題進行有效解決的機制，而且還能使學生對相關數學知識的邏輯性以及敏銳性得到有效提高，從而確保學生能夠靈活的學習相關數學知識，解決相關數學問題.

1.3 分類討論在數學解題中的應用原則

首先，統一性原則.高中數學的課堂解題中，數學教師需注重分類討論，并注重以統一分類的解題標準開展，避免同時運用多樣分類方法.比如，對三角形實施分類的時候，若將其分為銳角、直角、等腰、鈍角、不等邊三角形，由于該分類當中出現了兩種不同的分類標準，這種狀況下的分類結果就是錯誤的.

其次，互斥性原則.高中數學的解題中運用分類討論的方法，數學教師需充分明確在分類后每個子項的關系是互相排斥的關系，并保證分類之后的子項之間是無法相容的.

最后，層次性原則.高中數學與的解題中運用分類討論的解題思想，通常包含一次分類討論以及多次分類討論.對于一次分類討論而言，其通常指討論的數學問題只要開展一次分類即可；而對于多次分類討論而言，其主要指討論的數學問題需實施多次分析，直至符合相關要求.

2 分類討論思想下高中數學解題應用策略

2.1 基于分類討論的函數問題解答

分類討論不僅是一種數學解題方法，而且還是較為常用的一種數學思想，對數學方法進行科學合理的運用，通常能夠使數學題的解答更清晰靈活.分類討論的解題思想運用于數學問題解答中，有著重要地位，因此，在函數問題解答中，分類討論的運用，首先需對函數問題實施處理與觀察，若該問題不能通過統一的方法實施研究與解答，則需對該研究對象實施劃分，將整體分為幾個部分實施解答，即分類討論.運用分類思想時，需確保研究對象的準確劃分，避免條件疏漏或缺失，保證問題解答的準確性與完整性.函數作為高中數學解題中占比較大的部分，在對函數進行學習時，需對函數組成的部分實施分析，對于不同自變量，其通常對應著不同函數，通過函數運算，又會產生不同的結果.

例1(對函數問題中的變量x進行分類討論)求函數y=|x+1|+|x+2|-2的值域.

2.2 基于分類討論的數列問題解答

在高中數學數列問題教學中，數列周期性和等比數列求和等相關問題都和分類討論相關，學生通過分類討論的解題思想運用對數列問題的解答思路進行整理，并清楚地認識到題目當中是概念劃分、條件劃分、集合劃分，以此將問題清楚地分為不同狀況實施解答，因為部分數學知識在進行定義的時候，會依據分類概念實施，因此，學生在對有關數學問題進行解答的時候，需注重分類討論.通過分類討論的解題思想，不僅能夠使學生形成謹慎的邏輯以及嚴密的思維，而且還能使學生通過大量的習題練習，充分理解與掌握該解題思想的運用方式與本質，并對分類的規律進行總結，從而使學生更好的解決相關數學與問題.

例2假設首項是正數的等比數列{an}公比是q，前n項和為Sn>0(n=1，2，3，…)，那么q的取值范圍是____.

2.3 基于分類討論的概率問題解答

分類討論的解題思想，是高考中對學生的學習能力進行考查的重點，學生需善于分析與思考，通過分類討論對復雜的概率問題進行解答，并使條件不清晰的相關數學問題更加清晰明了.將分類討論的解題思想運用于概率問題解題中，通常能夠使概率事件的分類更清晰.在對概率問題進行學習時，其主要的內容就是引導學生充分了解、掌握相關概率事件的集合與某件事在全部事件中的具體發生概率，不論是分母，還是分子，通過分類討論的正確運用，對概率計算的正確性有著重要影響.在對概率相關問題進行解答時，學生需注重對事件的分析不遺漏且不重復，對分類對象進行清晰掌握，并通過統一化的分類標準，確保分類討論解題思想的準確應用.

例3某地的奧運會火炬傳遞活動中，共有編號是1,2,3,4，…，18的共18名火炬，從中只能選擇出3名擔任火炬手，選擇的火炬手編號通常能形成公差是3的等差數列的概率是( ).

A.151 B.168 C.1306 D.1408

解析該試題中，其不僅涉及到概率問題，而且還涉及到數列知識，學生在具體解題中，通過分類討論梳理好相應的解題思路，首先，對問題的概型實施整理，該問題是古典概型的問題，求取基本事件，就是總情況是17×16×3.然后，根據相關規律選出相應的火炬手，即a=1的時候，火炬手的選擇方式有幾種；b=2的時候，火炬手的選擇方式有幾種；c=3的時候，火炬手的選擇方式有幾種.經過分類討論的狀況相加，得出概率是168，故選B.

2.4 基于分類討論的不等式問題解答

高中數學的具體教學中，其難點通常是不等式求解，該類型數學題通常對高中生而言具有相應的難度.在這種狀況下，數學教師在實際教學時，就需注重分類討論解題思想的運用，以促使學生在對不等式問題實施解答時，能夠應用分類討論，這不僅可以使學生自身的解題思路更加清晰，而且還能使學生的解題能力以及解題效率得以顯著提高.

例4已知函數f(x)=|x+a-1|+|x-2a|，當f(1)<3時，求實數a的取值范圍.

解析首先，根據f(1)<3可得，|a|+|1-2a|<3，并對a實施分類討論，第一，當a≤0的時候，可得：-a+(1-2a)<3，對其使求解，得出：a>-2/3，以此得出結果：-2/3-2，因此，以此得到的結果是：0

綜上所述，在高中數學的解題教學中，分類討論的思想運用通常是有效且普遍的解題方法，這不僅可以使學生有效解決相關數學問題，而且還能確保學生準確解決問題的同時，實現解題效率的提高.因此，學生只有充分掌握分類討論的思想標準，才能促進其自身數學能力的增強.將分類討論的思想運用于高中數學的解題教學中，教師可積極引導學生理解與運用該思想，以促使學生在分類討論過程中，形成良好的邏輯思維，并實現學生全面發展.