“三定法”精準提取公因式

?白銀市第十中學 高麗娟

1 引言

提取公因式法是因式分解中非常基礎的一種方法，難度較小且比較實用，可以幫助學生解決許多因式分解問題，是各地歷年中考的命題熱點[1].然而，看似非常簡單的內容，學生卻容易被如何正確找準公因式并有效提取所困擾.筆者結合日常教學中學生出現的這一問題，憑借自身近二十年的教學經驗提出了“三定法”，希望與其他教師形成有效交流，更希望對學生的學習產生有效幫助.

2 提取公因式的幾種錯誤

從實際教學來看，學生尋找和提取公因式極易出現錯誤，通常有以下4種表現.

2.1 系數找錯

例1把8m2n+2mn分解因式.

錯解：原式=8mn(m+2).

分析：從該種錯誤解法不難看出，學生沒有找準公因式的系數，錯誤地將8作為了公因式的系數.要知道，公因式的系數不是兩項系數的倍數，而是兩項系數的最大公約數.在此，教師有必要復習最大公約數這個內容，指導學生如何尋找最大公約數.

2.2 字母找錯

例2將a2x2yz-axy2分解因式.

錯解：原式=axyz(ax-y).

分析：本題的公因式錯誤，提取“公因式”后的結果也錯誤.公因式中的字母一定是每一項中都出現的，z只出現在了a2x2yz中，而-axy2中并未出現z.所謂“公”就是幾項中都含有的數字、字母或整式，既然z并未在每一項中出現，那么z就不是公因式中的一部分.

2.3 指數找錯

例3將4m2n3-2mn2分解因式.

錯解：原式=2mn(2mn2-n).

分析：本題公因式中的系數是正確的，字母也找對了，但是公因式中字母的指數錯誤，因為公因式中字母的指數往往是最小的.很明顯，n的最小指數不是1，而是2.

2.4 負號處理不當

例4把-2x2-12xy2+8xy3分解因式.

錯解：原式=-2x(x-6y2+4y3).

分析：本題雖然找對了系數，也注意到了需將首項中的負號提取至前，公因式也正確，但提取公因式之后，括號中后兩項的符號并不正確.這種錯誤源于沒有處理好負號的提取.因為根據-a-b=-(a+b)，將負號提至小括號之前后，原來的每一項符號都需要改變，并且把它們寫在小括號中，即原來的-a變成a，-b變成b.

3 “三定法”說明及用法展示

“三定法”就是分三步確定公因式的各個部分.從以上錯解可以看出，要想找準公因式，只需找準公因式的系數、字母和字母的指數.因此，“三定法”中的“三定”即定系數、定字母、定指數[2].下面，對這三步及需注意的地方加以進一步說明.

首先，定系數.公因式的系數即為多項式各項系數的最大公約數.如4和12的最大公約數為4；6和15的最大公約數為3.

其次，定字母.公因式的字母是多項式各項中都出現了的字母，如果某個字母沒有在各項中出現，則不能將之作為公因式的一部分，這一點學生極易出錯.當然，放在小括號中的某個多項式如果在每項中同時出現，那么這個多項式可作為一個整體充當公因式的一部分.

最后，定指數.定好系數和字母之后，字母的指數需要選最小，而非最大，這一點學生也極易出錯[3].

接下來，通過四個例題展示“三定法”的具體用法.

例5因式分解：8a3b2-12ab3c+ab.

分析：根據“三定法”，首先，定系數.各項系數為8，-12，1，它們的最大公約數是1.其次，定字母.各項中均有a，b出現，但c只在中間一項出現，所以c不能作為公因式的字母.最后，定指數.觀察多項式中的三項，a的最小指數為1，b的最小指數也為1.綜上所述，它們的公因式是ab.

解：8a3b2-12ab3c+ab

=ab·(8a2b)-ab·(12b2c)+ab·1

=ab(8a2b-12b2c+1).

例6因式分解：-24x3y2+12x2y-28x2y3.

分析：本題有兩種解法.一種根據“三定法”，首先定系數.各項系數為-24，12，-28，它們的最大公約數是4.其次，定字母.各項中均有x，y出現，所以公因式中的字母為x，y.最后，定指數.觀察多項式中的三項，x的最小指數為2，y的最小指數也為1.綜上所述，它們的公因式是4x2y.另一種是先將負號提出，再對小括號中的多項式因式分解.

解法1：-24x3y2+12x2y-28x2y3

=4x2y·(-6xy)+4x2y·3+4x2y(-7y2)

=4x2y·(-6xy+3-7y2)

=-4x2y·(6xy-3+7y2).

解法2：-24x3y2+12x2y-28x2y3

=-(24x3y2-12x2y+28x2y3)

=-[4x2y·(6xy)-4x2y·3+4x2y(7y2)]

=-4x2y(6xy-3+7y2).

例7因式分解：6(m-n)3-12(n-m)2.

分析：應先將6(m-n)3或-12(n-m)2兩項中轉化為相同的因式，根據經驗應將-12(n-m)2轉化為-12(m-n)2，因為這樣不會產生新的符號，就降低了錯誤幾率.根據“三定法”，首先定系數，它們的最大公約數是6.其次，定字母，這里應取整體(m-n).最后，定指數，(m-n)的最小指數為2.所以，公因式為6(m-n)2.

解：6(m-n)3-12(n-m)2

=6(m-n)2·(m-n)-6(m-n)2·2

=6(m-n)2(m-n-2).

例8(2a+b)(2a-3b)-(b-4a)(2a+b)分解因式.

分析：本題的公因式比較容易找，是(2a+b).但需注意的是，提取公因式之后，小括號中的多項式如果還能因式分解，一定要繼續因式分解，且分解到不能再分解為止.

解：(2a+b)(2a-3b)+(b-4a)(2a+b)

=(2a+b)(2a-3b+b-4a)

=(2a+b)(-2a-2b)

=-2(2a+b)(a+b).

4 “三定法”注意事項

三定法的三個步驟看上去非常明朗，也比較容易操作，但學生在利用“三定法”尋找公因式以及提取公因式時，仍需注意以下幾個方面.

第一，“三定法”中的“定字母”可以是字母，也可以是多項式.如例7、例8中，它們的公因式中都是某個整體，而非某個單一的字母.

第二，如果公因式中存在多項式，那么需要注意這樣的多項式是否可以直接提取.如例8中的(2a+b)可以直接提出；如例7中的多項式不能直接提取，則需先轉化后再提取.在轉化的過程中，一方面要注意多項式的指數.若指數為偶數，則直接轉化，如12(n-m)2=12(m-n)2；若指數為奇數，則轉化后還需在整式之前增加一個負號，如6(m-n)3=-6(n-m)3.

第三，在提取公因式之后，如果小括號中的多項式能再因式分解，一定要繼續因式分解，且分解到不能再分解為止[4].如例8中提取公因式(2a+b)后，發現后面的小括號中是-2a-2b，它還可以繼續因式分解.所以，應如例題中解題過程一樣繼續因式分解.

第四，用“三定法”找到公因式后，一定要先將各項拆成含公因式的形式，如例5～7中筆者都是先把整個多項式中的每一項改寫成含公因式的形式，然后再將公因式提出.這樣做是為了后期更容易檢查，畢竟這樣的題目字母多、指數多，容易搞混淆.如果先拆寫再提取，可以幫助學生一步步檢查.

第五，如果多項式的第一項中存在負號，那么最佳的解題方式是先將負號提出，然后對小括號中的多項式進行因式分解，如例6中的第二種解法便是如此.這樣一來，就避免了后期因符號轉換而出錯.所以，對于例6的兩種不同解法，筆者更傾向于第二種解法.

5 結語

綜上所述，“三定法”是一種比較高效的尋找公因式的方法，教師應讓學生加強訓練.當然，以上總結出的五個方面的注意事項，教師可以直接提出，也可以根據學生的訓練情況酌情提出.總之，對于這種字母較多、指數較多、整體比較復雜的題目，應以仔細為上，這樣才能真正實現精準提取公因式和準確計算.