如何走出用完全平方公式因式分解的誤區

?臨夏縣河西鄉大莊中心小學 劉自鵬

1 引言

每年的中考命題有這樣一個熱點，它將完全平方公式和因式分解結合起來，體現整式乘法與因式分解之間的互逆關系，用完全平方公式進行因式分解[1].本來這個知識點非常簡單，因為無論是完全平方公式，還是因式分解都非常基礎，然而學生在用完全平方公式進行因式分解時極易出現錯誤，而且是層出不窮.基于此，筆者進行這方面的避錯策略研究，希望能幫助學生有效緩解這一現象，幫助他們更好地掌握知識點.

2 用完全平方公式因式分解易出現的誤區

用完全平方公式進行因式分解的基礎是完全平方公式，但是學生可能在這些基礎知識上存在掌握不牢固、解題不靈活等問題，導致他們在用完全平方公式進行因式分解時經常出錯.下面就是筆者在實際教學過程當中發現學生用完全平方公式進行因式分解的幾種誤區.

2.1 公式不熟導致發現不了多項式具備的特點

例1把3ax2+12ay2+12axy分解因式.

錯解：原式=3a·x2+3a·4y2+3a·4xy

=3a(x2+4y2+4xy).

分析：在學習了提公因式法因式分解后，學生能馬上發現公因式是3a并將之提取.然而，在提取公因式之后，雖然小括號中的多項式書寫正確，但學生沒有發現x2+4y2+4xy可以利用完全平方公式因式分解.導致錯誤的原因主要是學生在書寫小括號中的多項式后，受慣性思維的影響，認為完全完全平方公式的形式是a2+2ab+b2，而不是a2+b2+2ab.

正解：原式=3a·x2+3a·4y2+3a·4xy

=3a(x2+4y2+4xy)

=3a(x2+4xy+4y2)

=3a[x2+4xy+(2y)2]

=3a(x+2y)2.

2.2 沒有注意到中間的一次項必須是積的2倍

例2把9m2n2-3mn+4分解因式.

錯解：原式=(3mn-2)2.

分析：在學習整式的乘法時，很多學生認為(a+b)2=a2+b2，這就導致他們極易忽略完全平方公式中的2ab這一項.完全平方公式的特點主要有三個：一是首項和尾項都可以寫成平方的形式；二是中間二次項是首項和尾項改寫成平方形式后兩個底數的乘積的2倍；三是完全平方式中間項的符號與多項式的一次項的符號相同.很明顯，本題解法中學生只記住了將首項和尾項改寫成平方形式，而沒有注意到中間二次項是首項和尾項改寫成平方形式后兩個底數的乘積的2倍.

本題不能進行因式分解，若需利用完全平方公式進行因式分解，則應將-3mn改成-12mn，因為這樣才符合完全平方公式的三個特點.

2.3 沒有將因式分解進行徹底

例3把3x3-12x2y+12xy2分解因式.

錯解：原式=3x(x2-4xy+4y2).

分析：本題的公因式提取正確，小括號里面的多項式書寫也正確.然而，學生沒有繼續往下分解.在因式分解過程中，如果還可以繼續分解因式，那么一定要分解到不能再分解為止[2].需說明的是，這里的不能再分解為止，僅僅局限于有理數范圍內[3].x2-4xy+4y2可以繼續分解，所以應繼續分解下去.

正解：原式=3x(x2-4xy+4y2)

=3x(x-2y)2.

2.4 首項有負號時變號出現錯誤

例4把-2xy-x2-y2分解因式.

錯解：原式=-(2xy+x2-y2).

分析：在因式分解的過程中，時常會遇到首項有負號的情況，這時提出負號后，原來的每一項都要變號.然而，學生在解該題時明顯沒有變號，這是很多學生因式分解時易犯的錯誤，應高度重視.

正解：原式=-(2xy+x2+y2)

=-(x+y)2.

2.5 整體思想運用不夠靈活

例5把a2-2a(b+c)+(b+c)2分解因式.

錯解：原式=[a-2(b+c)]2.

分析：整體思想是因式分解中非常重要的思想方法.本題中應將b+c視為一個整體，且在分解因式的過程中將之放入小括號里面.

正解：原式=[a-(b+c)]2

=(a-b-c)2.

2.6 一些非智力因素導致錯誤

以上羅列的幾種致錯原因可以歸類為智力因素，而非智力因素也會導致學生出現錯誤[4].常見的非智力因素有符號看錯、指數看錯、字母寫錯、少括號、缺少某一項等，如下面例6的錯解.

例6把-4a2+12ab-9b2分解因式.

錯解1：原式=-(4a2+12ab+9b2)

=-(2a+3b)2.

錯解2：原式=-(4a2+12ab-9b2)

=-(2a+3b)2.

錯解3：原式=(-2a-3b)2.

錯解4：原式=-(4a2-3ab+9b2)

=-[(2a)2-2×2a×3b+(3b)2]

=-(2a-3b)2

=(3b-2a)2.

正解：原式=-(4a2-12ab+9b2)

=-[(2a)2-2×2a×3b+(3b)2]

=-(2a-3b)2.

例7把x6-10x3+25分解因式.

錯解1：原式=(x4)2-10x3+52

=(x4+5)2.

錯解2：原式=(x3)2-10x3+52

=(x3+5)2.

錯解3：原式=(x3)2-10x3+52

=(x3+5)(x3-5).

正解：原式=(x3)2-10x3+52

=(x3-5)2.

其實，這些錯誤完全可以在檢查中被輕易發現，然而很多學生缺少檢查的習慣，在考試、演板之后沒有檢查便提交.

3 教學實踐中的避誤策略

首先，要讓學生養成認真檢查的習慣.特別是代數類的計算，數字、字母、符號、指數特別多，極易在某個地方出錯.這時候，做完題后檢查顯得特別重要.

例如，學生在解完題之后，教師可以提醒學生檢查.演板時，要求學生做完后再檢查.筆者的方法是，在草稿紙上用大號字寫“要檢查”三個字，并在檢查完成后將“要檢查”三個字打勾，演板時也是如此.通過筆者的嘗試，發現這樣的方法能有效幫助學生養成檢查的習慣，繼而降低致錯幾率.

其次，對學生整體思想方法的培養.關于整體思想方法的題目，在課本和練習冊中大量存在.教師可將之集中起來，專門開展一次以“整體思想方法”為主題的教學，讓學生在課堂上觀察、嘗試和總結.

例如，對(x+y)2+6(x+y)+9這道題，教師可以引導學生觀察本題特點，然后嘗試“換元法”，讓學生認識到整體思想的作用，促使學生將本題的結構看得更清楚.如設x+y=m，則原式可轉化為m2+6m+9，通過觀察m2+6m+9發現可用完全平方公式，然后將m還原成x+y進行因式分解.

4 結語

完全平方公式既是整式的乘法中非常重要的“工具”，也是因式分解中非常重要的公式方法.教師應該在充分認識學生易出錯的地方的前提下，為學生制定相應的避誤方案，讓學生通過適當訓練以擺脫這些錯誤.當然，習慣、方法等的培養需要更長的時間，所以教師需要更多的耐心指導學生糾正錯誤，幫助他們提高解決問題的能力.