細管徑虹吸流速計算參數分析與修正計算方法

2023-01-10 12:43:54戴嘯揚張瑩秋尚岳全

哈爾濱工業大學學報 2023年2期

戴嘯揚，張瑩秋，鄭俊，尚岳全

(浙江大學建筑工程學院，杭州 310058)

控制坡體地下水位上升，對于滑坡防治具有重要作用[1-4]。目前，最常用的地下水鉆孔排水方法為水平排水孔，但由于水平排水孔為開放體系，且傾角小排水流速低，使用過程中易產生淤堵[5-6]，長期排水的可靠性差。虹吸排水是一種利用液面高差推動液體流動的排水技術，采用俯傾鉆孔更有利于匯集地下水，且抗淤堵能力明顯高于水平排水孔，能更好地滿足坡體地下水位控制的需要[7-9]。但虹吸排水過程中，溶解于水中的空氣會在虹吸管內的低壓環境下釋放形成氣泡，必須采用細管徑形成段塞流，保證水流能夠把釋放的氣泡排出虹吸管[10-11]，從而確保免維護虹吸排水的長期有效性。大量研究[12-13]表明，選擇虹吸管不超過5 mm的管徑才能形成穩定的段塞流。不同于粗管徑的排水能力具有自然滿足邊坡排水需要的特性，小于5 mm虹吸管的排水能力低，其排水能力能否有效應對暴雨時地表水入滲導致地下水激增的情況，成為邊坡虹吸排水方案設計的基礎。

滑坡虹吸排水工程是利用向下傾斜鉆孔進入坡體深部，保持地下水位控制點與孔口高差小于10 m，達到滑坡深層地下水的降排要求[7]，已在多處滑坡中應用且降排效果良好[14-15]。其中，所用虹吸排水管多為長直管段[16-17]，流體大部分能量損失為沿程水頭損失，所以，沿程水頭損失系數λ的精度決定了流速計算準確性。但是，現有虹吸流速計算的相關研究中，大部分集中在流速計算或低揚程工況等情況[18-21]，關于沿程水頭損失系數計算研究較少[22-23]，且針對特定工況下通過氣泡孔隙率的分析方法計算虹吸流速[24]，計算值和實測值之間仍存在較大的誤差。本文從確定虹吸流速相關參數和沿程水頭損失系數λ計算方法出發，旨在提高5 mm及其以下管徑虹吸管單管流速的計算精度，為虹吸排水的工程應用提供理論支持。

1 計算參數分析確定

1.1 虹吸管流計算參數分析

虹吸是有壓管流，常采用水力學中有壓管流公式進行求解[25]

(1)

式中：v為流速，g為重力加速度，H1為水頭差，l為虹吸管的長度，d為虹吸管的直徑，ζ為局部損失系數，λ為沿程水頭損失系數。

有壓管流計算公式是基于伯努利方程條件下化簡得到的，所以，適用范圍和伯努利方程一致。伯努利方程的前提條件是不可壓縮連續流，高揚程虹吸存在空氣釋放與積累的問題，所以，管頂及下水管往往是氣液兩相流，傳統有壓管流公式并不適用于虹吸管流計算。如圖1所示虹吸由上水管和下水管兩部分組成。虹吸未啟動前，假設下水管末端是堵住的，上下水管內充滿了水。虹吸啟動后，下水管的液體由于重力作用下落，帶動虹吸管內液體流動，由于水的抗拉強度為0，在一瞬間dt內上下水管之間拉出了一個微元dr長的真空帶，即瞬間液體“斷裂”。于是上水管與真空帶之間產生壓差，推動上水管內液體運動。當上水管內液體以vup流入下水管時，會出現3種情況：1)vup>vdown，上水管及時向下水管“供水”，上下管內為連續流，可用常規伯努利方程求解；2)vup=vdown，上下管流速相同，由于真空帶幾乎可忽略不計，上下管內近似看作連續流處理，此時仍可用常規伯努利方程進行求解；3)vup

圖1 虹吸管內流動示意

對于第3種情況，由于上水管和下水管之間形成真空帶，即上下水管中液體為非連續流，伯努利方程不再適用，但上水管仍可看作連續流，可將上水管單獨進行分析。理想化計算條件，將管頂處簡化為完全真空環境，進水口和管頂處伯努利方程如下：

(2)

式中：Hmax為當地最大提水高度，lup為上水管長，ζup為上水管局部水頭損失系數，H0為虹吸揚程。

局部水頭損失系數取值如下[26]：虹吸管進口處ζ=0.5，出口處ζ=1.0，每個彎折處ζ=0.8。

將上水管最大提水高度ΔH=Hmax-H0代入式(2)，此時虹吸流速可表示為

(3)

綜合上述3種情況，虹吸流速可表達為[18]

(4)

式(4)是通過分析虹吸流動過程得到，是目前考慮最全面、運算最簡便的虹吸流速計算方法。相比傳統有壓管流公式計算誤差大的問題，其采用取兩者之間較小值的方法更適合評估不同工況下的虹吸流速。本文采用式(4)進行理論計算。

1.2 沿程水頭損失系數λ的確定

用式(4)計算沿程水頭損失必須先確定λ的大小，而λ與流態和管壁粗糙度等因素有關。流體的流態可根據下臨界雷諾數Rec分為層流、過渡流和湍流，雷諾通過大量實驗發現下臨界雷諾數Rec≈2 100時流態發生動蕩[27]，選取Rec=2 100作為分段計算λ的標準。下臨界雷諾數可由下式計算：

(5)

(6)

式中：υ為運動黏度，t為水溫，Re為雷諾數，v為斷面平均流速。

對于層流，λ和雷諾數Re成反比[28]，即

(7)

對于過渡流和湍流，選擇巴爾公式計算沿程水頭損失系數λ[29]。巴爾公式有以下優點：考慮了管材、管徑、雷諾數等影響因素；顯式；計算簡便且適用于編程；適用于各阻力區。具體公式如下

(8)

式中Δ為絕對粗糙度，與管材有關。

綜上，下列公式將用于λ的計算

(9)

虹吸流速的計算結果需將式(9)代入式(4)進行迭代運算后產生。

2 物理試驗測試與理論計算結果對比

2.1 物理試驗測試

虹吸物理模型試驗為1∶1的足尺物理模型試驗。圖2為物理試驗模型，由上水管、下水管、水桶A、水桶B和補水管組成。虹吸管為聚氨酯(PU)材質，管頂曲率為0.1 m。上水管放置在水桶A中，補水管使水箱A中的水位保持恒定。H0為管頂與進水液面的高差(即揚程)，H1為液面進口與出口的高差(即水頭差)。待虹吸穩定后，在量杯中收集一定時間的流量計算虹吸的平均流速。為減少收集流量中產生的誤差，本次試驗收集流量的時間統一為30 min。

圖2 虹吸物理模型試驗裝置

試驗選用3、4、5 mm 3種管徑，各管徑分別在表1所示方案中進行一輪試驗，共開展了75組試驗。由于溫度和氣壓會對虹吸流速產生影響，同一管徑、同一揚程H0試驗在相同工況下進行。表1為各管徑具體試驗方案。Lup為上水管長，Ldown為下水管長。

表1 試驗工況

2.2 試驗結果與理論計算結果對比討論

采用不同揚程分組，各組均包含3、4、5 mm 3種管徑，試驗結果以及依據式(4)的計算結果如圖3～6所示。由于各組試驗不能同時進行，計算結果已考慮氣壓和溫度等因素產生的影響。此次試驗采用聚氨酯(PU)材料，絕對粗糙度Δ取0.001 5 mm[30]。誤差率均以絕對誤差率Er表示，即

(10)

式中：vt代表實測值，vc為修正伯努利方程計算值。

圖3為H0=4.05 m時各管徑試驗值與計算值。對于3種不同的管徑，計算值和試驗值契合度較高。除了方案d=4 mm、H1=2.1 m的絕對誤差率Er為14.07%，其余方案的絕對誤差率Er均在6%以下。而方案d=4 mm、H1=2.1 m的雷諾數為2 544，表明流體的流態位于層流和湍流的過渡段，此時流態混亂，λ不易精確計算。

圖3 H0=4.05 m時虹吸流速計算值與試驗值

圖4為H0=7.35 m時各管徑試驗值與計算值，計算值和試驗值的增長趨勢基本一致。當高差超過8.4 m時，實測值仍有增長，而計算值已達到穩定。對于d=4 mm、H1=4.2 m和d=5 mm、H1=2.1 m這兩組方案，絕對誤差率Er分別達到了17.90%和18.96%。值得注意是，此時管內流體雷諾數為2 481和2 503，意味流體處于過渡流，管內流態不穩定，通過巴爾公式計算的沿程阻力比實際環境下的更大。除了上述提及的，其余方案的絕對誤差率Er均低于10%。

圖4 H0=7.35 m時虹吸流速計算值與試驗值

圖5為H0=8.25 m時各管徑試驗值與計算值，兩者的整體吻合度較高。可以看出，實測流速隨著高差的增大而增加，當H1≥4.2 m時，實測值增長幅度緩慢，而計算值已經達到穩定；當處于過渡流時，例如，方案d=5 mm、H1=2.1 m的絕對誤差率Er達到了16.81%。

圖5 H0=8.25 m時虹吸流速計算值與試驗值

圖6為H0=9.15 m時各管徑試驗值與計算值結果和誤差率，曲線的變化趨勢基本一致。存在的問題如下：1)方案d=5 mm時，H1=3.3、4.2、8.4、16.8 m，絕對誤差率Er分別為13.31%、12.91%、12.89%、13.07%。這4個方案雷諾數為2 479～2 491，此時管內為過渡流，計算值小于實測值，意味著基于巴爾公式計算下的阻力比流體在實際環境中受到的更大；2)對于d=3 mm時H1=0.6、1.2、1.5 m和d=4 mm時H1=0.6、1.2 m這5個方案，誤差率Er分別為40%、38%、40%、29%、33%。實測流速值較小，均小于0.2 m/s，引入無量綱雷諾數Re進行分析，這種情況下Re較小(Re<350)，虹吸管內液體的流態為層流。

圖6 H0=9.15 m時虹吸流速計算值與試驗值

通過試驗對比，巴爾公式結合修正伯努利計算方法將絕大部分方案的計算誤差率Er控制在10%以內，說明該方法是合理的；但是，針對部分方案也出現了較高的誤差，主要源自兩方面：1)H0=9.15 m條件下，當水頭差H1較小時，3、4 mm虹吸管流速較小，計算值明顯大于實測值，且最大誤差率Er為40.38%。所以，在小管徑高揚程低高差情況下，式(4)仍存在不足，需對流速的計算方式進行修正；2)當虹吸管內液流處于層流與湍流之間的過渡流時，計算值的最大絕對誤差率Er達19%，且均為負誤差率，這表明通過巴爾公式計算的沿程阻力比實際流體環境中的大。

3 流速計算誤差修正方法

3.1 高揚程低水頭差流速計算誤差原因與修正

管壁附近存在一黏性不能忽略的邊界層，導致圓管層流斷面流速分布不均勻。對于3、4 mm的小管徑虹吸管，本身管徑較小，其邊界層的作用在流速較小時更加明顯，導致理論計算值與實測值之間存在一定的誤差，需要對式(4)進行修正。

通過分析可知，高誤差率方案均為高揚程(H0≥9.15 m)低水頭差，實測值均小于計算值，且絕對誤差率Er最高達40%，這表明流體流動過程中受到的黏滯作用更明顯。圓管層流的流速分布并不均勻，呈以管軸為中心的旋轉拋物面分布[26]。簡化計算過程，截取二維過流斷面，如圖7所示，對整個過流斷面進行平均水頭損失的計算，推導新的理論計算公式。

圖7 層流斷面示意

圓管層流理論由哈根和泊肅葉提出，二維斷面流速分布如下[26]

(11)

式中：r為到管軸中心的距離，r0為虹吸管半徑，umax為斷面最大流速。

(12)

式中：υ為運動黏度，g為重力加速度，J為水力坡降，且最大流速umax位于管軸處。

水力坡降是沿水流方向單位滲透途徑上的水頭損失，與沿程水頭損失和沿程長度有關。在圓管層流中沿程水頭損失與平均流速的一次方成正比，即

(13)

式中：μ為水的黏滯系數，v為平均流速，l為管長。

(14)

通過式(14)，層流圓管斷面不同位置的水頭損失hf可表示為

(15)

對不同位置的水頭損失進行積分，可得整個斷面的平均沿程水頭損失，即

(16)

將式(14)、(15)代入式(16)，可得修正后的流速計算公式，即

(17)

針對細管徑高揚程低水頭差條件下邊界層作用導致計算方法不適用的問題，提出的式(17)將在后續章節中用于修正計算流速來降低與實測值之間的誤差。

3.2 過渡流計算誤差修正

過渡流的研究一直是流體力學領域的重大難題。當處于過渡流時，管內流態混亂，無法精確計算沿程水頭損失系數λ。通過巴爾公式對流速進行迭代運算的計算值小于實測值，表明計算過程中的沿程阻力比管內實際環境中的更大。表2為8組處于過渡流時的方案，列出各方案計算和實測的流速、雷諾數和沿程水頭損失系數。由表2可知，高誤差率方案計算值的雷諾數Rec均處于2 000～2 200，當下臨界雷諾數Re≈2 100時，流態由層流逐漸向湍流開始過渡。此時，基于巴爾公式的計算存在一定的誤差，考慮在巴爾公式中引入折減系數a對臨界雷諾區(2 000≤Rec≤2 200)的方案進行重新迭代計算。

表2 高誤差率方案物理參數統計

由表2可知，處于臨界雷諾區時，計算值的沿程水頭損失系數明顯大于實測值的沿程水頭損失系數，這是由巴爾公式計算的局限性導致的。對兩者進行相關性分析，發現λt與λc的比均在0.7左右，可用下式表示：

λt≈0.71λc

(18)

將折減系數a=0.71引入式(8)中，新的經驗巴爾公式如下：

(19)

重新審視計算過程，需對計算值的雷諾數進行判斷驗證。當2 000≤Rec≤2 200時，在巴爾公式中引入折減系數a進行重新運算。最后，新的計算流程如圖8所示。

圖8 過渡流計算流程

3.3 流速修正計算結果分析

采用提出的修正計算方法，獲得各管徑在不同揚程下的計算值和實測值，如圖9(a)～(d)所示。表3為修正前后的絕對誤差率對比，高揚程低水頭差情況下，整體的絕對誤差率Er從29%～40%降低至0～6%，對于過渡流方案的絕對誤差率Er均控制在5%以下。結果表明，計算值和實測值之間的吻合程度較高，具有較好的一致性，有效提高了計算精度。