關注探理過程，培養運算能力
——以“異分母分數加減法”的教學為例

江蘇海安市墩頭鎮中心小學（226691）華秀祥

培養學生的運算能力是小學數學教學的重要任務之一。在運算教學中，教師除了要遵循數學教學的一般規律，最重要的是引導學生探明算理。以“異分母分數加減法”為例，筆者在教學中引導學生探索異分母分數加減法的算理，厘清知識之間的內在聯系，把單一的知識點串成鏈條、編織成網，在提升學生運算能力的同時，幫助學生構建完整的知識體系。

一、算理教學的意義

在運算教學中，引導學生探明算理，對發展學生各方面能力具有重要意義。首先，算理教學有助于學生運算能力的提升。在傳統的計算教學中，學生往往都是機械式地死記硬背運算的步驟和法則，這就使得頗具思維含量的數學運算退變為機械的數字操作，不利于學生運算能力和數學思維的培養。在算理教學中，教師引導學生通過相關操作推導、理解算理，在算理與算法之間搭建橋梁，使學生自主構建算法。這樣一來，學生對運算過程的理解就要深刻得多。其次，算理教學有助于學生積累數學活動經驗。在探究算理的過程中，學生通過觀察、操作、分析、推理、歸納等活動，經歷知識生成的過程，體驗獲得知識的喜悅，積累了數學活動的基本經驗。最后，算理教學有助于培養學生的抽象思維。學生在理解算理時，往往要經歷一個從具體形象到概括抽象的過程，必要時還會借助相關的實物操作或直觀模型來輔助理解，這對于學生的思維由形象思維向抽象思維轉變具有重要的推動意義。

二、注重探明算理，培養運算能力之操作路徑

1.在情境中產生探究算法和算理的意愿

課程標準指出，學習材料的選擇要立足學生的實際生活，有利于學生體驗和理解、思考和探索。小學生的思維方式以形象思維為主，因此，學生理解抽象的算法和算理具有一定的困難。教學中，教師可將數學知識巧妙地與現實生活情境相關聯，激發學生的學習興趣和探求欲望，從而讓抽象的數學知識變得生動起來，為學生的認知和理解做好鋪墊。

【教學片段1】

師：今天是淘氣的生日，媽媽為淘氣買了一個生日蛋糕。淘氣吃了這個蛋糕的媽媽吃了這個蛋糕的，他們一共吃了這個蛋糕的幾分之幾？

生1：列式為

生2：對，然后直接計算就可以了。但是怎么跟我們以前學的分數加法不一樣啊？它們的分母不同，這可怎么計算呢？

生3

師：生3的算法對不對呢？就讓我們一起開啟探索之旅吧！

以“吃蛋糕”的生活情境引入新課，把異分母分數相加蘊藏在生活情境中，為學生進一步探索算理提供了現實基礎。同時，學生真切地體會到異分母分數加減法并非純粹的理論知識，而是源于現實生活中解決實際問題的需要，進而產生學習動機。

2.在探索中掌握算法、了解算理

探索的過程是一個動態、開放的過程。教師要正確處理“收”和“放”的關系，引導學生在探究算理的過程中把抽象的算理轉化為直觀的圖形，使學生更加深刻地理解知識，明了算理。

【教學片段2】

生（齊）：不對。

師：誰能說說這種算法為什么不對呢？

生1：如果這不是互相矛盾了嗎？一個數怎么會越加越小呢？

生2：是啊，看來這種直接把分子和分母加起來作為新的分子和分母的算法是不對的。

師：這道題應該怎么計算呢？大家嘗試用自己的算法做一做。

生3（出示圖1）：我是用畫圖的方法來計算的。我在兩個同樣大小的圓里分別畫陰影表示這樣，加在一起的陰影部分占了這個圓的和2 4在大小上是相等的，所以就轉化成了的分數單位都是

圖1

師：生3通過畫圖的辦法把異分母分數相加轉化為同分母分數相加。還有其他算法嗎？

生4：我先把一張紙對折一次，這張紙就被平均分成2份，給其中一份涂上紅色，就是；我再把紙對折一次，這張紙就被平均分成了4份，我給其中一份涂上紅色。把紙拆開后發現，涂紅色的部分一共占了這張紙的，因此，我得出

師：生4是通過折紙的辦法來計算的，這個辦法和畫圖的辦法有異曲同工之處，本質上是一樣的。生5：我是這樣計算的——先把分數轉化為小數0.5，然后把分數轉化成0.25，這樣

師：這種把分數轉化成小數的辦法就是把未知轉化為已知。這種辦法不錯，的確是可行的。

生6：我是用通分的方法做的。

生7：為什么要把呢？

生6：就是2個，再加上1個，就是3個轉化成因此

師：這是通分的辦法。

在探究過程中，每個學生都是一個具有鮮明特色的思維主體，不同層次的學生從自身認知出發，在獨立思考的基礎上，收獲屬于自己的算理。在探究之初，教師先引導學生發現把分子和分母直接相加是錯誤的做法，再鼓勵學生進行自主思考和探索。畫圖法和折紙法使學生直觀地體驗到分母由2變為4的基本過程，通過數形結合把抽象的通分過程生動地展現出來；把分數變為小數的辦法，則充分結合了學生已有的知識和認知經驗，打通了分數與小數之間的“關節”，提升了學生的整體性認識。學生不但能夠展示算理，還能夠通過互相交流，理解和借鑒其他學生提出的算理，從而豐富自己的認知，更加全面地感知算理。

3.在比較中優化算法、理解算理

在學生初步了解算理的基礎上，教師應當引導學生對各種具體算法進行比較，使學生在比較中知對錯、明優劣，逐漸經歷從“慢法”“笨法”到“快法”“巧法”的轉變，在對比中凸顯通分法的優勢，并自然而然地把方法轉移到通分法上。比較和取舍既是學生學習新知識要經歷的環節，也是學生更加深刻地理解算理的現實需要。需要注意的是，教師不要簡單地直接告知學生哪種算法是最優化算法，而是要讓學生在實際運用當中去比較、感悟、選擇，逐漸把目光聚焦到通分法上。

【教學片段3】

師：我們找到了四種計算異分母分數相加的方法，分別是畫圖法、折紙法、轉化法和通分法。哪種方法最好呢？我們在應用中感受一下。首先來看畫圖法和折紙法。

圖2

師：通過畫圖，你有什么體會？

生1：分母越大，畫圖就越麻煩。這道題中分母最大是8，我需要把圓平均分成8份，如果分母是16，我就需要把圓平均分成16份，那樣太麻煩了。

生2：是呀，我也有這種體會。在分母不大的時候，畫圖法還可以，可是分母越大，畫圖法就越不方便。

生3：折紙法也是這樣。分母是8，我需要把一張紙對折三次，這勉強還可以做到，如果對折四次或是更多次，就非常困難了，而且數的時候也容易出錯。

師：看來，畫圖法和折紙法盡管非常直觀，但是它們的操作過程比較麻煩，實用性并不強。我們再來看轉化法。請大家用轉化法計算

生4可以轉化成0.5，但是轉化成小數后，是一個無限循環小數，這樣很難得到精確的結果。

生5：這道題用轉化法行不通，看來這種方法也有局限性。

生6：用通分法算起來非常方便。

生7：是呀，通分法好，方便。

生8

師：看來通分法適用性更強，而且計算過程也很簡便。

在練習中，學生真切體會到畫圖法、折紙法和轉化法的局限性，感受到通分法的普遍適用性和便捷性。通過交流總結，學生的目光自然而然地聚焦到通分法的理解和運用上，從而建構起“異分母分數加減法”的算理模型。

4.在拓展中實現算理的關聯與溝通

在教學中，教師除了聚焦學生的生長點，還要關注學生的延伸點，引導學生從本質上把握異分母分數加減法與整數加減法、小數加減法在算理上的相通之處，從而把相關知識進行整合，建構起對運算算理的整體認識。

【教學片段4】

師：你們是怎么計算32+47的？

生1：個位和個位相加，十位和十位相加。

師：對。32+47就是3個十加上4個十，2個一加上7個一，所以是79。那么，3.2+4.7呢？

生2：十分位和十分位相加，個位和個位相加。

師：3.2+4.7就是2個0.1加上7個0.1，3個一加上4個一，一共是7.9。

師：大家看出什么規律了嗎？

生3：兩個數的計量單位一樣，才可以直接相加。

師：對。因此，在異分母分數加減法中我們也要想方設法把兩個異分母分數變成同分母分數，這樣它們的計量單位一樣了，就能夠直接進行加減運算了。

師：整數、小數、分數運算的運算方法在本質上具有相通性。

通過對整數、小數運算算理的回顧，使學生認識到整數、小數、分數在算理上具有趨同性，從而溝通了它們的算理之間的本質聯系，使學生把分數的算理納入已有的運算知識體系中，完成知識的整體建構。

總之，運算教學應從學生的“數學現實”出發，充分發揮學生自主思考、自主探索的主觀能動性，引導學生從了解算理、理解算理到溝通算理，從而優化運算能力，建構起完整的運算知識框架，從中感悟數學的本質。