滲透數(shù)學模型思想的教學策略

陜 西 安 康 市 教 學 研 究 室（725000）李志

陜西安康市旬陽縣城關第二小學（725700）涂幾會

小學數(shù)學教材中，具體的數(shù)字、算式、四則運算的意義、運算定律、方程、典型的數(shù)量關系等都是數(shù)學模型，從廣義的角度看，數(shù)學概念、原理和數(shù)學理論體系都是數(shù)學模型。學生經(jīng)歷了數(shù)學模型建構的過程，才能較好地掌握新知識、形成新思想、積累操作經(jīng)驗、提高數(shù)學核心素養(yǎng)。如何滲透數(shù)學模型思想呢？筆者認為有以下幾個策略。

一、巧設情境，尋找模型的原型

“數(shù)學是研究數(shù)量關系與空間形式的學科。”“建立數(shù)學模型是學生認識數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。”對于這兩句話，筆者有自己的理解。第一，數(shù)學模型源于現(xiàn)實生活。第二，數(shù)學模型是現(xiàn)實生活情境與具體事物的高度壓縮、去偽存真、深度抽象后呈現(xiàn)出來的數(shù)學結構。第三，數(shù)學模型可以服務于生活，是解決生活問題的有效工具。由此可見，在教學中滲透數(shù)學模型思想時離不開生活情境，教師要為學生創(chuàng)設生活情境，帶領學生尋找模型的原型。

1.語言敘述

教師若是口頭敘述生活中的情境，在敘述之前，要求學生認真傾聽后把重要的數(shù)學信息寫在紙上。例如，吳正憲老師在教學“小數(shù)的除法”時，就繪聲繪色地講述：“有4名同學聚餐，聚餐結束后李強去付款，給了收銀員100元，收銀員找補3元。4名同學要平攤聚餐費用，另外3人分別要給李強多少元？”吳老師以口述的方式呈現(xiàn)生活情境，再引導學生將生活情境轉化成數(shù)學問題，讓學生感受數(shù)學與生活的聯(lián)系，尋找模型的生活原型。

2.趣味故事

趣味童話故事能夠激發(fā)學生的興趣，因此，教師可以編創(chuàng)學生熟悉且感興趣的數(shù)學故事，再引導學生將故事中的情境轉化成數(shù)學問題。例如，唐僧師徒的故事、阿凡提的故事等，都是學生熟悉的故事。

3.圖表圖片

例如，關于正反比例的知識的情境可以用圖表呈現(xiàn)，這利于學生發(fā)現(xiàn)兩個量的變化規(guī)律。又如，“乘法分配率”一課中，用圖片呈現(xiàn)“有一群人去植樹，每組中的4人負責挖坑、種樹，2人抬水、澆水，一共有25組，一共有多少人去植樹”的情境。

4.操作演示

例如，給每名學生一根長31.4分米的繩子，讓他們去操場圈地，看看誰圈出的面積最大，然后生成數(shù)學問題：周長相等的長方形、正方形、三角形、圓，哪個圖形的面積最大？

5.設計游戲

例如，教學“鴿巢原理”一課時，教師可以設計“搶凳子”的游戲：讓4名學生搶3張凳子，總會有2名學生搶1張凳子。

二、巧設活動，助力模型的建構

學生的數(shù)學學習應當是生動活潑且富有個性的，學生應該有足夠的時間去開展猜想、推理、觀察、實驗、計算、驗證等活動。在數(shù)學課堂上，教師應該創(chuàng)設一系列有效的教學活動，使學生能夠充分、自主地參與學習活動。教師在設置學習活動時，既要體現(xiàn)數(shù)學模型的形成過程，又要展示數(shù)學模型的應用過程，使得學生親身經(jīng)歷“模型的抽象—模型的應用與拓展”的過程。教師還要設置想一想、算一算、比一比、做一做、畫一畫等多種活動，使學生的聽覺、視覺、觸覺等多種感官協(xié)同作用，學生才能理解研究對象的本質屬性，提取研究對象的特征以及各種關系，并將其逐步抽象成數(shù)學模型。

活動四：學生交流，觀察作品，看看有什么相同之處與不同之處。

活動五：如果不用長方形做道具，你還能說出

1 4的意義嗎？

三、巧用抽象，經(jīng)歷建模的過程

數(shù)學模型是現(xiàn)實生活或具體事物被高度抽象的產(chǎn)物，沒有抽象就沒有數(shù)學模型。數(shù)學抽象活動是一種思維活動，它具有層次性。一般來說，抽象出數(shù)學模型有三個階段：第一階段，抽象簡約情境，根據(jù)事物的內在關系與本質特征，將復雜的情境簡單化、條理化、數(shù)學化；第二階段，符號抽象，去掉內容的情境化外衣，利用具體的數(shù)學符號、字母、關系式、圖表等抽象出內容本質；第三階段，建構模型，通過假設和推理建構數(shù)學模型，并能夠理解數(shù)學模型具有的一般意義。教師在課堂教學中要引導學生經(jīng)歷數(shù)學模型的形成與發(fā)展過程這三個階段，這樣，數(shù)學模型在學生的眼中才是有生命力的，學生才能靈活應用數(shù)學模型解決生活中的問題。

例如，在教學“乘法分配律”時，教師出示題目：某公司老板定制了5套服裝，1套衣服中的1件上衣100元、1條褲子80元，一共花了多少元？

抽象數(shù)學模型的過程：

（1）怎么求總價？（上衣單價×5+褲子單價×5）

（2）還能怎么求總價？有更簡潔的算式嗎？［（上衣單價+褲子單價）×5=上衣單價×5+褲子單價×5］

（3）能不能用一個等式表示這一類的等式？［（a+b）×c=ac+bc］

又如，在教學“加減法的意義和各部分之間的關系”時，教師引導學生將教材中的情境圖轉化成數(shù)學問題“哈爾濱到拉薩的距離是多少”。

抽象數(shù)學模型的過程：

（1）用簡潔的語言說說要解決什么問題。

（2）畫線段圖表示題意。

（3）根據(jù)線段圖列式，將直觀的線段圖抽象成具體的數(shù)學符號算式，用字母表示加法算式。

四、巧用對比，探究模型的本質

每一個數(shù)學知識都是一個數(shù)學模型，每一個數(shù)學模型都有獨特的屬性與特征，但是這些數(shù)學模型并不是孤立存在于數(shù)學知識體系中，模型與模型之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系。在教學的時候，教師一定要善用對比，讓學生在對比中明確數(shù)學模型的本質，了解各數(shù)學模型的區(qū)別，從而牢牢記住數(shù)學模型。

1.在新課的引入環(huán)節(jié)巧用對比

學生都是在掌握已有知識的基礎上構建數(shù)學模型的。在引入一個新的數(shù)學模型之前，教師要認真研究教材以及學生的學習情況，清楚學生已掌握的知識。新課伊始，可以先復習舊知識，以舊引新。例如，在教學“小數(shù)乘法”之前，先復習整數(shù)乘法，回顧整數(shù)乘法筆算的算法，在此基礎上，學生根據(jù)情境列出算式，對比分析，發(fā)現(xiàn)今天學習的內容與學過的內容的不同點：一個是整數(shù)乘法，一個是小數(shù)乘法。教師據(jù)此引出新課，板書課題，為新的模型建構奠定知識基礎。

2.在探究新知的過程中巧用對比

例如，教學“方程”時，教師先出示一些式子“180+100＜300，180+200＞300，x+180=300，120×2＜300，2x＞300，2x=300，120+60=180，2x+80=320”，再引導學生思考：“你是怎樣將這些式子分類的？”學生觀察和操作后把這些式子分成兩大類——等式與不等式。最后，學生通過獨立思考、小組合作，將幾個等式又分成兩類：含有未知數(shù)與不含未知數(shù)的。這個時候，教師提問：“為什么這樣分？這兩類等式分別有什么特點？”經(jīng)過探索和交流，學生認識了方程的特征，歸納出方程的意義，構建了方程的模型。在此基礎上教師可以再次引導學生對比分析：“120+60=180是方程嗎？”學生答道：“不是，它雖然是等式，但不含未知數(shù)。”教師又問：“2x＞300是方程嗎？為什么？”學生答：“不是，它雖然含有未知數(shù)，但不是等式。”教師接著問：“x÷6=2是方程嗎？為什么？”學生答：“是，因為它既含有未知數(shù)，又是等式。”探究新知的過程中，教師引導學生對式子進行了三次判斷，第一次的判斷引出了方程的概念，第二次判斷強調了方程的概念，第三次的判斷加深了學生對方程本質的認識。通過三次對比，學生牢固地構建了方程模型。

在數(shù)學課堂教學中，巧用對比，可以使學生輕松實現(xiàn)知識的遷移，實現(xiàn)新知向舊知的轉化；巧用對比，可以使學生發(fā)現(xiàn)知識之間的區(qū)別與聯(lián)系，深化學生的認識；巧用對比，可以發(fā)散學生的思維，令學生完善知識體系，牢固地構建數(shù)學模型。

五、巧設練習，拓展模型的外延

數(shù)學通過自己的語言系統(tǒng)及關系結構建立起描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象的有效模型，幫助人們準確把握客觀世界。如今的數(shù)學已突破了傳統(tǒng)的應用范圍，向許多知識領域滲透，各門學科也向著“數(shù)學化”發(fā)展，這里的“滲透”“數(shù)學化”說到底就是數(shù)學模型的運用。數(shù)學模型思想的滲透是一個循序漸進的過程，數(shù)學模型建立以后，教師要設計層次性練習，培養(yǎng)學生運用數(shù)學模型解決問題的能力，并在運用的過程中加深對數(shù)學模型的理解。

1.利用數(shù)學模型講生活中的事

通俗地說，數(shù)學模型就是借用數(shù)學語言講述現(xiàn)實世界的事。例如，“單價×數(shù)量=總價”就是一個典型的數(shù)學模型。學生建立這個模型以后，教師可以讓學生用這個模型講講生活中的事，如“1本筆記本的價格是8元，買4本這樣的筆記本要花8×4=32（元）”“1千克蘋果的價格是12元，買3千克蘋果要花12×3=36（元）”。這種生活中的事，學生講得越多，就越能理解“單價×數(shù)量=總價”這個模型。

2.設置層次化練習題

例如，學生學習了“按比分配”后，已構建了這類問題的模型：已知幾個量的比與幾個量的和，求幾個量分別是多少。對此，教師可出示練習：（1）一班共有60人，男生與女生的比是3∶2，男、女生各有幾人？（2）三班去植樹，分成三個小組，一共要植樹48棵，第一小組植了13棵，余下的按照2∶3分給第二小組與第三小組，第二、第三小組各植樹幾棵？（3）用一根長48厘米的鐵絲做長方體的框架，長、寬、高的比是3∶2∶1，這個長方體的體積是多少立方厘米？設計本課練習題時要緊抓“按比分配”這類問題的解題模型。首先，找準練習的起點，每道練習題都讓學生尋找?guī)讉€量的和是多少、幾個量的比是多少，然后按比分配。其次，注意練習題的梯度，由簡單到復雜，有知識點單一的練習題，也有綜合性練習題，時刻關注學生的解題過程，循序漸進，以練習促進學生建模能力的提升。最后，關注練習的針對性，關注學生的弱點，暴露問題，集中研討，抓住按比分配的本質，如第（2）題中“幾個量的和是剩下的部分”。

總之，教學模型思想的滲透是一個循序漸進的過程，教師在教學的過程中，要選擇恰當?shù)慕虒W內容，設計有效的教學活動，引導學生經(jīng)歷生活情境到數(shù)學模型再到模型的拓展這樣一個數(shù)學化的過程，使得學生的綜合素養(yǎng)得到提升。

［1］王光明，范文貴.小學數(shù)學課程標準解析與教學指導［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］王永春.小學數(shù)學與數(shù)學思想方法［M］.上海：華東師范大學出版社，2014.

［3］吳正憲.吳正憲課堂教學教學策略［M］.上海：華東師范大學出版社，2012.