立足經驗，經歷過程，促進深度理解
——以“小數的意義”的教學為例

江蘇灌南縣李集小學（223500）趙海

課程標準提出，數學教學要從學生的已有經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象為數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等方面得到進步和發展。建構主義理論認為，所有的知識都是在已有知識和經驗的基礎上建構起來的。因此，在教學中，教師要立足學生的已有經驗，將學生的已有經驗作為教學的起點，從而促進學生對知識的理解。

特級教師俞正強在《小學數學課堂學習的起點在哪里》一文中指出：“在學習目標既定的情況下，起點的選擇決定著認知發展過程的距離長短。”要實現科學的“起點的選擇”，就需要教師基于學生的已有經驗，使數學教學有效對接學生的已有經驗，由此降低數學學習坡度，優化數學知識的呈現方式，讓學生體會數學學習的愉悅感。

一、立足經驗，把握學習起點

美國教育心理學家奧蘇泊爾說：“影響學習的唯一重要的因素就是學習者已經知道了什么?！睂W生的學習起點是數學教學活動展開的基礎和前提。學生在學習新知識之前并非一張白紙，他們已經具有一定的知識儲備和生活經驗，這是學生學習新知識的現實基礎。教材將“小數的認識”分為兩個階段：第一階段，主要是依托模型并結合具體情境來認識小數；第二階段，學生已經初步認識了小數，因此這個階段主要是溝通分數與小數的聯系，實現分數與小數的互相轉化，引導學生脫離具體情境，從更高層次上認識小數，從而對小數的認識由“形式模仿”走向真正的“意義理解”。第二階段的學習是以第一階段為基礎的。因此，在“小數的意義”一課中，教師要注意立足學生已有的知識儲備和生活經驗，從而精準把握學生的學習起點。

【教學片段1】

師：星期天，淘氣到商店去買東西，他看到某種商品的價格為1.11元/千克。那么，1.11元是多少錢呢？

生1：我們已經學過了，0.1元是1角，0.01元是1分，所以1.11元是1元1角1分。

師：我們現在已經初步認識了分數，你能用分數來說一說1.11元的含義嗎？

生2：1角是1元的也可以寫成0.1元；1分是1元的，也可以寫成0.01元。

生3：相等。

師：你能用相同的思路解釋1.11米的含義嗎？

生4：我知道1.11米等于1米1分米1厘米。1分米是1米的，

生5：同樣可以得出

教育家杜威認為，一盎司經驗勝過一噸理論。教學中，教師借助人民幣和長度單位的生活模型，引導學生解釋1.11元和1.11米的含義，這就充分激活了學生已有的認知經驗，喚醒了學生對“1角=0.1元，1分=0.01元；1分米=0.1米，1厘米=0.01米”的知識記憶，還幫助學生理解了“1角是1元的分是1元的分米是1米的厘米是1米的，進而使學生感知小數與分數的關系，初步理解小數本質上是分數的另一種表現形式。

二、豐富經驗，理解小數本質

學生理解數學概念是一個循序漸進、逐漸深入的過程。認知心理學研究結果證實，概念的形成其實可以分為兩個階段，即從完整表象上升為抽象概念，實現抽象概念在思維過程中的具體再現。如果把抽象的概念看作種子的堅硬外殼，怎樣才能讓其變得柔軟呢？最好的辦法就是對接學生的已有經驗，用直觀形象的表述，用有生命溫度的數學活動，像水一樣軟化種子的堅硬外殼，從而直抵概念的內核。小數的概念是抽象的，在立足于學生的基本經驗，引領學生借助生活情境和生活模型實現了對小數的初步認識后，教師應當進一步豐富學生的認知經驗，引導學生從更深層次上理解小數的本質。在教學片段1中，學生是在模型的框架內認識1.11元和1.11米的，接下來教師就需要引導學生脫離具體的情境去感悟小數的本質，使學生更深刻地理解小數與分數之間的聯系，感悟具有普遍適用性的小數的意義。

【教學片段2】

師：如果用1個正方形表示“1”，把它平均分成10份，其中的1份可以怎樣表示呢？

生1：其中的1份是也可以用小數0.1來表示。（出示圖1）

圖1

師：如果我要表示其中的3份呢？

生2：其中的3份也可以用小數0.3來表示。（出示圖2）

圖2

師：0.7是怎樣得到的？你能想象出這個圖形嗎？

生3：0.7就是也就是把“1”平均分成10份，取出其中的7份。因此只需要把正方形中的7份涂上顏色就可以表示0.7了。

師：觀察上面的數，說一說你的發現。

生4：把“1”平均分成10份，其中的幾份就是十分之幾，用小數表示就是零點幾。

生5：這些分數的分母都是10。

生6：分母是10的分數可以轉化成一位小數。

師：如果用1個正方形表示“1”，將它平均分成100份，其中的1份怎樣表示？

生7：其中的1份是也可以用小數0.01來表示。

師：如何表示其中的23份呢？

生8：其中的23份是也可以用小數0.23來表示。

師：0.03是怎樣得到的，能在百格圖中畫出來嗎？

生9：0.03就是也就是把“1”平均分成100份，表示其中的3份，所以只需要把正方形中的3份涂上顏色就可以表示0.03了。

師：觀察我們分析過的數，你有什么發現？

生10：這些分數的分母都是100。

生11：分母是100的分數可以轉化成兩位小數。

（學生思考并交流）

師：現在，你能說一說小數和分母是1000的分數間的關系嗎？

生12：分母是1000的分數可以轉化成三位小數。

師：現在，如果把1.11元和1.11米的單位去掉，你能用圖形表示“1.11”嗎？

（學生探究后得出圖3）

圖3

教學中，教師巧用格子圖，簡明地溝通了分數與小數之間的對應關系，并將這種抽象的關系通過圖示具體、直觀地表示出來，從而使學生逐漸擺脫具體情境和生活模型，從本質上理解小數的意義，使一位小數、兩位小數和三位小數的關系在學生頭腦中達成聯結和深化，將數的抽象性和幾何的直觀性有機結合起來。

三、拓展經驗，深化學生理解

從知識的產生和學生的認知規律來看，學生需要借助大量的現實情境做依托來理解小數的意義，但是如果學生的理解僅僅局限于具體的情境和模型，這樣的理解是淺顯的。因此，教師運用格子圖使學生擺脫具體情境，進而從本質上理解小數的意義是極為必要的。然而，在筆者看來，教學還不能止步于此。因為小數的意義經常被運用在單位的轉化中，而這又是學生容易出錯的地方。因此，教師應該拓展人民幣單位和長度單位模型，將小數的意義延伸到時間單位、面積單位和質量單位之中，只有這樣才能讓學生更有效地理解小數的意義，并能正確地運用小數的意義解決實際問題。

【教學片段3】

師：0.7時等于多少分呢？

生1：根據0.7米=7分米，0.7元=7角，所以0.7時=7分鐘。

生2：不對?！?.7”的含義是把“1”平均分成10份，其中的7份是也可以用0.7來表示。把1米平均分成10份，其中的7份是米，還可以用0.7米來表示，也就是7分米。把1元平均分成10份，其中的7份是元，還可以用0.7元來表示，也就是7角。但是，如果是0.7時，那就是把1小時平均分成10份，每份是6分鐘，表示其中的7份，也就是6×7=42（分鐘）。

生3：我還是不能理解為什么0.7時≠7分鐘。

生4：這是因為米、分米之間的進率和元、角之間的進率都是10，而小時和分鐘之間的進率是60。

師：對，帶有單位的分數和小數進行轉化時，厘清它們之間的進率是非常重要的。

師：在計算0.3平方米=（）平方分米時，淘氣和笑笑發生了分歧。淘氣認為，0.3米=3分米，所以0.3平方米=3平方分米。而笑笑則認為，0.3平方米=30平方分米，她的理由是：因為3平方米=300平方分米，所以0.3平方米=30平方分米。你認為誰說得對？

生5：笑笑的結論是正確的。我們剛才已經達成了共識，帶有單位的分數和小數的轉化，要注意它們之間的進率。平方米和平方分米之間的進率是100，0.3平方米的含義是把1平方米平均分成10份，每份是10平方分米，表示其中的3份，那就是10×3=30（平方分米）。

師：我們在認識小數的意義時，是結合人民幣單位和長度單位模型進行思考的，這是因為元、角、分和米、分米、厘米相鄰單位之間的進率都是10，這和小數中“10個0.1等于1，10個0.01等于0.1”有相通之處。但是，延伸到時間單位、面積單位之中，由于相鄰單位的進率不是10，這個時候我們需要根據小數的意義并結合單位之間的進率進行轉化。

師：現在，同學們能夠自主計算12克=（）千克嗎？（填小數）

生6：1千克=1000克，1克千克=0.001千克，12克=千克。

師：對，克與千克之間的進率是1000，同學們在進行單位轉化時要注意這一點。

教學中，在學生能夠從人民幣單位和長度單位模型以及格子圖的視角理解小數意義的基礎上，教師結合學生已有的知識儲備，進一步提升學生的認識高度，將小數的意義拓展到時間單位、面積單位等。這不但使學生更好地理解了小數的意義，還引導學生對帶單位的分數和小數之間的互相轉化進行了辨析，可謂一舉兩得。

課程標準明確指出：“數學教學活動必須建立在學生認知發展水平和已有知識經驗基礎之上?！币虼?，教師要從學生已有的知識儲備和生活經驗出發，遵循學生的認知規律，通過激活、對接、豐富、拓展學生的經驗，引導學生的思維緩慢爬坡、拾級而上，讓學生親身經歷知識產生和發展的真實過程，獲得深刻的數學理解，促進學生在思維和能力方面的進步和發展。