素養進階練習設計結構要素與表現形式
——以“數與運算”主題為例

浙江寧波市奉化區教師進修學校（315000）宋煜陽

任何一份練習設計，都離不開知識內容、目標指向和表現形式三個基本元素。素養進階練習設計的關鍵，取決于課程內容的本質認識、課程內容所指向的核心素養理解和練習表現性任務設計。“數與運算”是《義務教育數學課程標準（2022年版）》中數與代數領域的一個主題課程內容，包括整數、小數和分數的認識及其四則運算。課程標準就“數的認識”所指向的核心素養表述有“數是對數量的抽象，感悟數的概念本質上的一致性，形成數感和符號意識”“學生經歷由數量到數的形成過程，理解和掌握數的概念”；就“數的運算”所指向的核心素養表述有“經歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法”“感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識”。綜上所述，“數與運算”主題的核心素養主要指向數感、符號意識、運算能力和推理意識，特別強調了數的概念本質上的一致性、數的運算本質上的一致性。為了凸顯“一致性”這條主線，“數與運算”主題素養進階練習設計需要在結構要素和表現形式上尋求突破。

一、“數的認識”結構要素和表現形式

數的認識，本質上是對數的結構的把握，而數的結構需要用結構要素去表達。無論是整數、小數，還是分數，在數的結構上均保持了一致性，都是對多少個計數單位的表達。比如，314由3個百、1個十和4個一組成，表示為314=3×100+1×10+4×1；3.14由3個一、1個十分之一和4個百分之一組成，表示為3.14=3×1+1×0.1+4×0.01由2個三分之一組成，表示為一個數的結構，需要用十進制計數單位、位值、數位（數級）等結構要素去表達，是“數的認識”練習設計的核心要素。

“數的認識”核心要素的表現形式，一般反映為數量的抽象程度和數的表征方式兩個方面。數量的抽象程度，主要表現為“具體—半具體半抽象—抽象”。數的表征方式，主要表現為動作表征、圖像表征、語言表征、符號表征、情境表征等。

那么，不同抽象程度的學習材料該如何選擇呢？顯然，需要根據學生的年齡特征、數的結構復雜程度來綜合考慮。比如，“捆”是計數單位“十”的物化材料，經常以實物或實物圖呈現，一般供教學“10以 內 數 的 認 識”“11~20各 數 的 認 識”“100以 內數的認識”時使用；一個小方塊（一）、一條塊（十）、一個面方塊（百）、大立方體（千）等實物或實物圖，一般在教學“100各數的認識”“1000以內數的認識”時使用，都屬于具體的學習材料。計數器和數軸都屬于半具體半抽象的學習材料，貫穿于整數、小數的教學；數位順序表屬于抽象的學習材料，常在教學整數和小數時使用。

練習1下面表示500 400的數是（）。

練習2用一個正方形代表1元錢，那么陰影部分表示“1.30元”的圖是（）。

練習3數軸上點A用小數表示是（），用分數表示是（），再添上（）個這樣的分數單位就能變成最小的質數。數軸上點B表示的數是（）。

練習1至練習3，分別采用計數器圖、方格圖、數軸來表達數的結構，都屬于典型性學習材料，分別隨著年級升高而逐步抽象。

練習4在數線上用★表示60 300的位置，正確的是（）。

練習5請根據第1、2幅圖的寫數規律，寫出第三幅圖所表示的數。

寫作：1 0050 0030

寫作：2 0010 0305

寫作：（ ）

練習6左圖是用臺秤稱菠蘿時臺秤顯示的菠蘿的質量，右圖是另一個臺秤。請你在右圖臺秤上用箭頭標出菠蘿的質量。

練習4至練習6分別圍繞計數單位、數位順序表、進制進行設計。其中練習4采用相同的數線引導學生對計數單位“十”“百”“千”進行辨認；練習5采用水果替代數位順序表引導學生讀數、寫數；練習6則在“十進制”與其他進制的對比中引導學生體會計數單位的變化。這些變式練習都能幫助學生理解計數單位的本質，進一步認識數學核心要素。

數的表征方式，重點強調各種表征方式的綜合運用以及方式之間的切換，從操作、圖像、敘述、解釋、舉例等維度對數的概念進行具體化和形式化兩個層面的表征。

比如，在認識“1000”這個數時，浙教版教材以“大家來說1000”的舉例形式實現各種表征方式的綜合運用。

圍繞“10個百”的意義，采用了多層次的表征和多元化的結構表達：有操作層面的“10個百”實物圖像的情境表征，有加法、乘法、乘加多種方式的符號層面的符號表征和語言表征。

又如，在“1～5的認識”練習中，可以采用畫一畫、圈一圈、寫一寫的方式進行表征。

對數進行表征，其中就有動作表征、情境表征、圖像表征、符號表征等，這是通過給出某種表征的信息來填充其他表征。這樣的練習不僅表征手段豐富，而且重視表征方式之間的切換，能從多個維度幫助學生體會從數量到數的抽象過程。

數概念的一致性體現為計數單位是建構數的基礎，認識計數單位是數的認數關鍵。在設計“數的認識”練習時，要始終把計數單位作為核心，圍繞數位順序表、位值等核心要素對數進行多層次表征和多元化表達，促使學生充分體會數量抽象為數的過程。同時，利用基于數軸等學習材料的填數練習，能夠幫助學生體會整數、小數、分數之間的內在聯系，體會數與數軸上點的對應性、小數的稠密性和分數的等價性。

二、“數的運算”結構要素和表現形式

算理和算法是數的運算的“雙核”，也是練習設計的主要對象。計數單位、運算律和等式的性質是算理和算法的基礎。為此，在設計“數的運算”練習時，要圍繞計數單位、運算律和等式性質。

整數、小數和分數的加減法運算，在算理上都反映為“相同計數單位個數的加減”，在算法上表現為“相同計數單位上的數字相加減，計數單位不變”。為此，在數的加減運算練習設計中，需要圍繞算法上的“相同數位對齊”、算理上的“相同計數單位個數相加減”這條主線，設計看圖填空、畫圖表征、解釋說理等題型。

練習1在算31+25=（ ）時，聰聰是這樣算的，你知道“3+2=5”表示什么意思嗎？請在方框里畫一畫。

練習2一本練習本和一套三角尺共多少元？下面分別是聰聰和明明的計算方法，你同意哪個？寫出你的理由。

練習1是兩位數加兩位數的口算，對“相同數位上的數相加”背后的原理進行了表征；練習2是小數加法筆算，圍繞“小數點對齊”和“末尾對齊”進行辨析和說理，都指向了理解算理。

乘法和除法運算的一致性體現為計數單位與計數單位相乘或相除、計數單位上的數字與計數單位上的數字相乘或相除。整數乘除法、小數乘除法在算理層面貫穿了計數單位的個數累加或均分的過程，保持了運算之間算理的一致性。比如，整數除法140÷4，運算步驟為“14（十）÷4=3（十）……2（十），2（十）轉化為20（一），20（一）÷4=5（一），最后把3（十）、5（一）組合成35”，關鍵在于把被除數拆分為以不同計數單位為單位的若干部分進行均分。練習設計需要加強這個運算程序的梳理，可以結合小棒操作流程圖，讓學生填寫除法豎式，如“84÷3”就可以采用下圖來考查學生對算理和算法的過程性理解。

上述列舉和討論的內容都是圍繞計數單位，下面將討論有關運算律的習題設計。與算理、算法關聯最緊密的當屬乘法分配律，所以乘法分配律的本質屬性和運算應用是“數的運算”練習設計的重要考查對象。

因為乘法分配律一般是通過不完全歸納推理得出，所以對規律的理解可以通過解釋說理、舉例說明的方式進行。下面的題組就充分反映了這一思路。

（1）聰聰計算78×73+78×27時，采用了“78×73+78×27=78×（73+27）”的計算方法。聰聰這樣算所依據的運算定律是什么？

（2）將計算下圖面積的過程填寫完整。

這個圖形的面積是16×15+14×15，運用（1）中的規律可以得出：

16×15+14×15=（○）×15=（）（平方厘米）

（3）請舉一個可以用（1）中的規律解決問題的生活例子。

該題組在學生回憶運算定律的依據、面積模型的基礎上，鼓勵學生自己舉例說明，在乘法分配律的舉例驗證活動中對運算定律不完全歸納推理的應用進行了考查。

應用乘法分配律在課程標準的核心素養“運算能力”的主要體現是：提出了“能夠清楚運算的對象和意義”“選擇合理簡潔的運算策略解決問題”等要求。像“計算49+98×48+47”這道題能考查學生能否整體觀察數據，能否保持敏銳的數感，能否識別到“49+98×48+47=98×48+96=98×48+48×2=48×（98+2）”這個過程。又如，江蘇南京四年級期末調研測試卷就圍繞乘法分配律的應用設計了如下題組：

數學課上，李老師讓大家比較“9×9+19”與“10×10”的大小，大部分同學根據計算的結果判斷出它們相等。愛較真的軒軒激動地說：“我能通過推理說明兩個式子相等。”她邊說邊寫（見下圖的左框）。

聽了軒軒的想法，大家眼前一亮，不禁躍躍欲試。李老師接著出示“99×99+199”，讓大家填寫：

（1）99×99+199=（ ）×（ ）；

（2）請在右邊方框中寫出推算的過程。

該題是以題組的形式，通過創設數學情境激活學生的探究欲望。學生在自主探究、互動交流中積累了多次運用乘法分配律解題的經驗。

上述對“數的認識”“數的運算”結構要素和表現形式進行了討論，其實“數的認識”“數的運算”本身是同一個主題，聯系非常緊密。比如，整數筆算乘法是基于乘法意義的“求和模型”、位值制、計數單位個數、乘法分配律的綜合運用，是算理的一次升級，是融數的認識、數的運算為一體的綜合活動。在素養進階練習設計中，教師只有抓核心、悟結構、尋聯系、促遷移，才能有效落實核心素養目標。