淺析勾股定理的應(yīng)用探究

林勁松

（閩南理工學(xué)院教育學(xué)院，福建 石獅 362700）

勾股定理將“數(shù)”與“形”這兩個數(shù)學(xué)當(dāng)中古老而又基礎(chǔ)的對象通過特定的關(guān)系連接在一起，被贊頌為數(shù)與形的首要定理。同時，勾股定理是第一個使用其獨(dú)特推理證明方式，成功轉(zhuǎn)化當(dāng)時數(shù)學(xué)中常用的計算測量方法的定理。勾股定理在某種程度上而言促進(jìn)了不定方程發(fā)展，并讓其變得多樣化。首個不定方程來源于勾股定理公式，最終，其也成為不定方程的典例以及解題標(biāo)準(zhǔn)，從而順利解決自無理數(shù)出現(xiàn)帶來的數(shù)學(xué)危機(jī)。因而可知勾股定理的重要性與實(shí)用性，也可知其并沒有辜負(fù)“千年第一定理”的美譽(yù)。除此之外，勾股定理其自身的功能以及特有的廣泛性在數(shù)學(xué)解題當(dāng)中非常強(qiáng)大。教師如果想讓學(xué)生真正理解勾股定理，并將其運(yùn)用在數(shù)學(xué)解題當(dāng)中，就應(yīng)當(dāng)有計劃地培養(yǎng)學(xué)生的勾股定理運(yùn)用能力。

一、勾股定理的教材分析

（一）勾股定理在教材中的地位與作用

勾股定理可以為學(xué)生進(jìn)一步探索微積分學(xué)、三角學(xué)、解析幾何學(xué)奠定良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。不難得出，勾股定理自身實(shí)用性極強(qiáng)，例如將幾何圖形和數(shù)量關(guān)系連接、更深入反饋直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系以及上述不定方程的引出，也借此展現(xiàn)形式各樣的無理數(shù)等內(nèi)容。勾股定理憑借著其實(shí)用性及強(qiáng)大功能為數(shù)學(xué)大廈打下穩(wěn)固地基，讓數(shù)學(xué)能進(jìn)一步被認(rèn)可為兼具證明與推理的科學(xué)學(xué)科。因而，勾股定理被學(xué)者視作運(yùn)用于平面幾何的重要定理，其甚至在整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域當(dāng)中也有著不可替代的地位。

（二）教材內(nèi)容

教科書（人教版八年級上冊第十八章第一節(jié)）中的觀察→計算→猜想→證明→簡單應(yīng)用的這一整個過程是對勾股定理理解運(yùn)用的進(jìn)一步闡釋。

第一，在八年級上冊的教科書中就有觀察地表圖形的面積及聯(lián)系后悟出直角三角形與三角形三邊數(shù)量關(guān)系的古希臘學(xué)者畢達(dá)哥拉斯，在其影響下，學(xué)生對數(shù)學(xué)未知內(nèi)容充滿了求知欲，其好奇心理也被激發(fā)出來。第二，“思考”部分引導(dǎo)學(xué)生觀察同種圖形，進(jìn)一步推動學(xué)生發(fā)現(xiàn)有一種三角形擁有特殊的直角三角形面積關(guān)系——等腰直角三角形，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探索發(fā)現(xiàn)的求知欲。第三，“探究”模塊中“算法運(yùn)算”，將一個直角三角形的三邊分別作為正方形邊長，計算三個小正方形面積，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，最終可以發(fā)現(xiàn)以兩個短邊為邊長的小正方形面積和與長邊為邊長的正方形相等，由此學(xué)生根據(jù)一般的結(jié)論提出自己的猜想。第四，教材中給出了一種面積（割補(bǔ)）的證明方法，就是趙爽弦圖的證明方法。該方法根據(jù)所給圖形在其適當(dāng)?shù)奈恢眠M(jìn)行切割，將切割下來的圖形拼湊適當(dāng)?shù)奈恢脧亩玫叫聢D形。在該步驟當(dāng)中，前后出現(xiàn)圖形的所有部分面積相加，最終相等。由此，勾股定理完整證明過程得到充分展現(xiàn)：方法運(yùn)用不同算法得出圖形面積并利用“總面積不改變”特點(diǎn)將圖形性質(zhì)推導(dǎo)出來。當(dāng)然，如果教師想讓學(xué)生可以更深入體會勾股定理價值，就要讓他們從日常生活中挖掘例子，結(jié)合勾股定理尋找解決方案，并在具體生活中運(yùn)用拓展。

二、勾股定理的學(xué)情分析

首先，學(xué)生已經(jīng)有七年級下冊《三角形》內(nèi)容基礎(chǔ)，掌握了三角形基本內(nèi)容，在數(shù)量眾多的實(shí)例當(dāng)中體驗(yàn)感悟，對其特征屬性產(chǎn)生深刻認(rèn)知。與此同時，在直角三角形中，學(xué)生也學(xué)習(xí)掌握了相關(guān)三角形為全等三角形的證明方法。通過此種遞進(jìn)式理論與實(shí)踐結(jié)合的教育方式，學(xué)生體驗(yàn)到了關(guān)于圖形性質(zhì)探索的大致流程以及操作，從而可以培養(yǎng)他們的推理能力，讓他們擁有一定的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。其次，例如探索乘法公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式具體法則等這些學(xué)生根據(jù)已掌握的圖形面積探究數(shù)式運(yùn)算規(guī)律內(nèi)容，為活動探究奠定基礎(chǔ)。最后，一方面對勾股定理探索運(yùn)用這塊重難點(diǎn)內(nèi)容對學(xué)生而言，一開始，會覺得很費(fèi)勁和不熟練；另一方面，對于該章節(jié)的難點(diǎn)（勾股定理的證明），除了課本上所述的教學(xué)方式，教師也可以為學(xué)生的閱讀和思考拓展提出不同的論證方式，進(jìn)一步讓學(xué)生熟練掌握知識內(nèi)容，并養(yǎng)成發(fā)散思維的良好習(xí)慣。總體而言，學(xué)生認(rèn)真學(xué)習(xí)勾股定理可為今后學(xué)習(xí)其他相關(guān)知識打下基礎(chǔ)，讓學(xué)生感到不陌生，如勾股定理的逆定理和解直角三角形等。所以勾股定理在整個數(shù)學(xué)知識體系中起著橋梁作用。

三、勾股定理的應(yīng)用

（一）勾股定理在折疊問題中的應(yīng)用

不少學(xué)生對圖形折疊計算問題感到手足無措，如下三個技巧實(shí)用性強(qiáng)，可以解決絕大部分此類問題。第一，觀察已知的圖形后，構(gòu)建或?qū)ふ抑苯侨切危@步非常重要。第二，為了解題便利，可以采用設(shè)置未知數(shù)的方式，設(shè)一條重要未知線段為x，并且將與此線段有關(guān)系的其他線段尋找出來，然后盡可能地用含有未知數(shù)x的代數(shù)式表現(xiàn)；第三，學(xué)會使用勾股定理寫出方程式，最后解出 x 就可知道所求線段的線段長以及含有x 的代數(shù)式的線段長。此解題過程需要結(jié)合方程思想，且必不可少。

大部分問題不能運(yùn)用勾股定理直接求解，只能在設(shè)定未知數(shù)時才能運(yùn)用勾股定理解題。

例1：如下圖，矩形ABCD 中AB=10。BC=8，E為AD 邊上一點(diǎn)，沿CE 將Δ CDE 折，點(diǎn)D 正好落在AB 邊上的F 點(diǎn)，則AE 的長度是多少？

圖1

例1 的圖形說明該題要先選定Rt△AEF，接著可設(shè)DE 為x，通過證明可知DE=FE=x，則AE=8-x，在Rt△AEF 中，通過勾股定理得到，42+(8-x)2=x2，根據(jù)方程得出DE=x=3。在使用勾股定理的情況下，解題異常簡單，但是如果不用該定理，那么實(shí)際上解題難度較大。此題目的主要思路即為，將學(xué)習(xí)過的方程及其思想與勾股定理相結(jié)合，通過這樣的方式得到一個未知數(shù)方程，并將其中的未知數(shù)x 求得，就可以很容易解出線段AE 的長度，由此便可得知勾股定理作為紐帶，運(yùn)用設(shè)置相關(guān)未知數(shù)解答題目所求解線段。但是要時刻牢記折疊前后有一些對應(yīng)的量是不變的。由此可知，學(xué)生學(xué)習(xí)圖形折疊問題時，如果他們運(yùn)用勾股定理來答，那么要將步驟分為三步，即為找圖形之間的關(guān)聯(lián)，設(shè)置合適的一邊為x，最后運(yùn)算求得答案。

（二）勾股定理在最短距離中的應(yīng)用

在最短距離問題當(dāng)中，平面狀態(tài)下求解應(yīng)當(dāng)尋找其中的解題核心，在這里即為“兩者之間線段最短”。當(dāng)螞蟻在圓柱體或長方體上爬行時，最短距離是多少呢？為了解決這種類型問題，不僅要用到勾股定理，還需要學(xué)生調(diào)動自己的想象力，先將立體圖形由側(cè)面展開變?yōu)槠矫鎴D形。在整個解題過程中，想要讓題目總體維持合理，就需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象力。

例2：在如圖2 長方形點(diǎn)A處，有一覓食的小蟲從其表面爬到食物所在的B 處，長方形長5cm，寬4cm，高3cm，求最近覓食路線。

圖2

該題首先要讓學(xué)生明白一個道理就是小蟲沿著長方形的外表爬行，不能進(jìn)入內(nèi)部。因而首先要做的就是展開外表，得到平面圖。將立體圖形展開后可得知蟲子一共有三種可以由A 處爬行到B 處方法（如圖3），學(xué)生可以運(yùn)用勾股定理求出該圖形對角線的長度，通過大小的比較可得知蟲子到終點(diǎn)最短的路程。

圖3

當(dāng)長方體表面有一只蟲子在爬行時，如果起點(diǎn)與終點(diǎn)兩個頂點(diǎn)距離最遠(yuǎn)，那么可行的案例就需要通過分類討論得到了。通過分析可以得到總共三種情況，即為跨越長、寬、高。最終從上述探析得，看似小蟲穿越了最長的棱長，但是爬行的路程卻最短。這樣的立體圖展開成為平面圖的方式，在小蟲爬行在圓柱體等相關(guān)圖形中時也可運(yùn)用，歸根結(jié)底，即為運(yùn)用了“兩點(diǎn)之間線段最短”的思想。

（三）勾股定理在斜三角形中的應(yīng)用

在部分學(xué)生看來，勾股定理只能在直角三角形中運(yùn)用，而不能在銳角或者是鈍角等斜三角當(dāng)中運(yùn)用，那么遇到斜三角形的題目時，難道只能束手無策嗎？答案必然是否定的，其中教師就可以運(yùn)用到構(gòu)建直角三角形的思想，在斜三角形當(dāng)中尋找到可以構(gòu)建的直角三角形，通過此種方式獲得問題的解決方案。

例3：在△ABC 中，AC 為20，AB 為15，邊長12的AD 為BC 邊上的高，那么BC 為多少？

首先在拿到題目之后，并不知道題目所述三角形為銳角或者是鈍角，因此分類討論思想不可或缺。情況一：如果△ABC 為銳角三角形，那么在該三角形當(dāng)中，必然存在高與邊長一起構(gòu)成直角三角形。如圖4 所示，圖中，有Rt△ABD 和Rt△ADC，將所學(xué)勾股定理分別應(yīng)用在這兩個直角三角形中，可求解出BD 為9，CD 為16，那么BC 則為25；情況二：假如△ABC 是鈍角三角形，該三角形外面有著BC 邊上的高，與邊長或者是延長線構(gòu)成直角三角形，如圖5 所示，圖中有Rt△ACD 和Rt△ADB，將所學(xué)勾股定理分別應(yīng)用在這兩個直角三角形中，可求解出BD 為9，CD 為16，那么BC 則為7。綜上所述，BC 為25 或7。

圖4 銳角三角形構(gòu)造出的直角三角形

圖5 鈍角三角形構(gòu)造出的直角三角形

對于此類型的題目，學(xué)生經(jīng)常會因?yàn)榭村e等原因，思路偏離題目。但是根本原因?qū)嶋H上是學(xué)生解題不細(xì)心，沒有分類討論△ABC，其思維嚴(yán)密性有待加強(qiáng)。題目中涉及了高，這也就暗示學(xué)生存在直角，學(xué)生可以構(gòu)建出直角三角形，并將斜三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后運(yùn)用勾股定理解題。此種類型題目不僅考查學(xué)生的勾股定理熟練運(yùn)用能力，還考驗(yàn)了他們的分類討論思想，考查學(xué)生是否遺忘分類討論。此題目在一定程度上可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力，增強(qiáng)他們對于考查題目的敏銳性。

（四）勾股定理在證明題中的應(yīng)用

如圖正方形ABCD，E 為BC 中點(diǎn)，F(xiàn) 為AB 上一點(diǎn)，且BF=?AB。請問FE 與DE 是否垂直?請說明。

∵四邊形ABCD 為正方形

∴該圖形具有正方形所特有的特征四條邊相等 AB=BC=CD=AD=DE

證明:設(shè)BF=a，則BE=EC=2a，AF=3a，AB=4a

∵△BEF 是直角三角形

∴EF2=BF2 +BE2=a2 +4a2=5a2

DE2=CE2 +CD2=4a2 +16a2=20a2

連接點(diǎn)D 點(diǎn)F 得線段DF(如圖)

DF2=AF2 +AD2=9a2 +16a2=25a2

∴DF2=EF2 +DE2

∴FE⊥DE。

這道題目看似難度大，實(shí)際上考查的也是勾股定理。通過此種類型的題目，在勾股定理知識得到鞏固的基礎(chǔ)上，學(xué)生的知識靈活運(yùn)用能力以及轉(zhuǎn)化能力得到加強(qiáng)，學(xué)會了舉一反三。

本文主要初步探究勾股定理的簡單應(yīng)用，在日常的教學(xué)中，教師可以精心選擇合適的典例以及相關(guān)的勾股定理課后習(xí)題，讓學(xué)生多加練習(xí)，從而提升他們對勾股定理的敏銳度，并培養(yǎng)他們的實(shí)際運(yùn)用能力。通過一步步的指導(dǎo)和練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生對題目中重要信息的獲得能力，根據(jù)題目要求探析題目中的重點(diǎn)要求，以及想要讓學(xué)生運(yùn)用的知識點(diǎn)。教師要讓學(xué)生學(xué)會定期回顧勾股定理內(nèi)容，總結(jié)其中重要知識點(diǎn)，對近期錯題進(jìn)行總結(jié)歸納，從而熟練掌握勾股定理。并且讓學(xué)生養(yǎng)成分類討論及運(yùn)用方程解題等相關(guān)重要數(shù)學(xué)思想，并提升自己的計算能力，從而搭起一座連接代數(shù)與幾何“兩岸”的橋梁，將兩者緊密結(jié)合在一起，形成有機(jī)整體。

四、小結(jié)

本文基于分析理解勾股定理的教材、學(xué)情的這一起點(diǎn)上，將勾股定理的應(yīng)用進(jìn)行初步的歸納分類，并通過以典型例題的形式在學(xué)生面前進(jìn)行呈現(xiàn)。

例題1 選擇與圖形折疊相關(guān)的題目，讓學(xué)生感受到其在折疊之前和折疊之后的不變性，用此方法在不知不覺中將軸對稱的概念滲入了學(xué)生的腦海中，為以后關(guān)于軸對稱的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。例題2 選擇與最近路徑相關(guān)的題目，將解題過程與立體幾何相結(jié)合，以訓(xùn)練學(xué)生空間想象、抽象思維的能力，提前為未來的立體幾何的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。例3 選擇在斜三角形上的運(yùn)用，強(qiáng)調(diào)了對分類法的思考，提高了學(xué)生的邏輯和嚴(yán)密程度，預(yù)防疏漏現(xiàn)象的出現(xiàn)。例4 探討如何運(yùn)用于論證問題，讓學(xué)生明白了問題解法中非常重要的一步是要循本溯源，找到問題的題眼。

總而言之，從舉出的四個典型案例中領(lǐng)悟到，勾股定理的運(yùn)用是多種多樣的，涵蓋的范圍也很廣。所以，在勾股定理中，要遵循“萬變不離其宗”的思想，從根本上了解和把握，并能做到隨機(jī)應(yīng)變。