凸顯直觀感知,滲透類比思想
——“立體幾何章節(jié)起始課”教學(xué)設(shè)計

喻瑞明

(江西省南昌市第一中學(xué))

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂)》指出:“立體幾何研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系.本章節(jié)的學(xué)習(xí),可以幫助學(xué)生以長方體為載體,認(rèn)識和理解空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系;用數(shù)學(xué)語言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定,并對某些結(jié)論進(jìn)行論證;了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法,運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、推理認(rèn)證、度量計算等認(rèn)識和探索空間圖形的性質(zhì),建立空間觀念.”

1 內(nèi)容與內(nèi)容解析

1.1 內(nèi)容

本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書·必修第二冊》(北師大版)(以下簡稱“教材”)第六章“立體幾何初步”第一節(jié),本節(jié)課是章節(jié)起始課,主要內(nèi)容有兩個方面:理解構(gòu)成空間幾何體的基本元素,會用圖形、符號表示平面;借助長方體直觀感知點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.

1.2 內(nèi)容解析

學(xué)生在初中平面幾何中,學(xué)習(xí)了平面圖形的形狀、大小、位置關(guān)系、計算問題及應(yīng)用;在“立體幾何初步”中學(xué)習(xí)了立體圖形的形狀、大小、位置關(guān)系、計算問題及應(yīng)用.

“基本立體圖形”是教材立體幾何部分的起始課程,它在土木建筑、機(jī)械設(shè)計、航海測繪等實(shí)際問題中都有廣泛的應(yīng)用.教材從對空間幾何體的整體觀察入手,研究組成空間幾何體的點(diǎn)、線、面.這種安排降低了初中立體幾何的門檻,強(qiáng)調(diào)幾何直觀,淡化幾何論證,可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何知識的興趣.

2 目標(biāo)與目標(biāo)解析

目標(biāo):(1)了解本章研究對象、主要學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法;

(2)理解空間中平面的含義,學(xué)會用圖形、符號表示平面;

(3)理解構(gòu)成空間幾何體的基本元素,了解點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.

目標(biāo)解析:(1)能由實(shí)物抽象出幾何模型,再發(fā)現(xiàn)構(gòu)成幾何體的基本元素及位置關(guān)系,領(lǐng)會觀察幾何體的一般方法,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng);

(2)從平面圖形的研究到立體圖形的類比研究,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng);

(3)學(xué)生會用圖形、符號表示平面,表示點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

3 教學(xué)問題診斷

學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)了平面幾何,知道平面幾何主要研究平面圖形的形狀、大小、畫法、位置關(guān)系、度量計算及應(yīng)用等,經(jīng)歷了學(xué)習(xí)平面幾何過程中的直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計算.

學(xué)生在掌握圖形與幾何的基礎(chǔ)知識、基本技能的同時,其空間觀念得到了一定的發(fā)展,在借助圖形思考問題的過程中,初步建立了幾何直觀.因?yàn)槌踔袔缀握n程主要以平面圖形為研究對象,所以在高中幾何課程中,首先需要建立基本立體圖形的概念,認(rèn)識點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,發(fā)展空間觀念,再選擇適當(dāng)?shù)墓ぞ吆头椒▽臻g圖形性質(zhì)與關(guān)系展開研究.

基于以上分析,筆者將課堂教學(xué)重點(diǎn)設(shè)置為理解空間中平面的含義,借助模型了解構(gòu)成空間幾何體的基本元素,線與面、面與面的位置關(guān)系,滲透類比學(xué)習(xí)方法,領(lǐng)會觀察空間幾何體的一般方法.

4 教學(xué)過程設(shè)計

環(huán)節(jié)1:創(chuàng)設(shè)情境,引入新課

活動1:如圖1所示,擺動三根塑料棒,能否使它們兩兩之間互相垂直?

圖1

活動2:如圖2所示,六根長度相同的小鐵棒,最多能擺出多少個三角形?

圖2

在平面內(nèi)不能解決上述活動中的問題,但是我們生活在三維空間中,可以在空間中思考解決問題,引出課題.

【設(shè)計意圖】通過動手操作,學(xué)生感受到在平面內(nèi)解決許多問題是有局限的,但是在三維空間中,可以解決許多問題,借此激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何知識的興趣.

環(huán)節(jié)2:類比平面,領(lǐng)悟方法

問題1:在初中平面幾何中,我們主要學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容?

引導(dǎo)學(xué)生歸納平面幾何學(xué)習(xí)內(nèi)容:平面圖形的形狀與大小、平面圖形的畫法、平面圖形的位置關(guān)系、平面圖形的計算問題與應(yīng)用、介紹立體幾何主要學(xué)習(xí)內(nèi)容及學(xué)習(xí)方法.

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生明確本章研究的對象,明確學(xué)習(xí)目標(biāo),通過比較讓學(xué)生領(lǐng)會今后學(xué)習(xí)立體幾何過程中,要重視與平面幾何類比,借鑒平面幾何的學(xué)習(xí)方法:直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計算.

環(huán)節(jié)3:借助實(shí)物,初步感知

(1)展示幾何體模型.

(2)展示圖片,如圖3所示.

圖3

問題2:在圖3中,你們能發(fā)現(xiàn)哪些幾何體?

【設(shè)計意圖】通過生活中的幾何體,經(jīng)歷由實(shí)物到模型、由模型到幾何體的過程,提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

環(huán)節(jié)4:數(shù)學(xué)抽象,形成概念

案例1:如圖4所示,從實(shí)物抽象出長方體,探究構(gòu)成空間圖形的基本元素.

圖4

案例2:如圖5所示,從實(shí)物抽象出圓錐,探究構(gòu)成空間圖形的基本元素.

圖5

結(jié)論:構(gòu)成空間幾何體的基本元素有點(diǎn)、線、面.

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生感知、了解,進(jìn)而概括出構(gòu)成空間幾何體的基本元素;經(jīng)歷從觀察實(shí)物到抽象出幾何體再到觀察抽象出的模型,發(fā)現(xiàn)構(gòu)成幾何體基本元素的過程,提升直觀想象素養(yǎng);感悟觀察幾何體的基本方法:由整體到局部,先看圍成幾何體的面,再看面的交線、線的交點(diǎn),為后面進(jìn)一步探究線與面的位置關(guān)系進(jìn)行鋪墊.

環(huán)節(jié)5:類比直線,建構(gòu)平面

問題3:如何理解三維空間中的平面?

歸納:類比由線段到直線,平面是從生活中的面抽象出來的,平面是可以無限伸展的.

問題4:在立體幾何作圖中,我們?nèi)绾伪硎酒矫?

引導(dǎo)學(xué)生觀察長方體畫法,發(fā)現(xiàn)可以用平行四邊形表示平面.

【設(shè)計意圖】類比平面幾何中的直線與線段,引導(dǎo)學(xué)生理解三維空間中的平面.類比平面幾何作圖中直線的畫法,啟發(fā)學(xué)生理解:立體幾何作圖中可以用平行四邊形表示平面.

練習(xí):

1.如圖6 所示,長方體ABCD-A1B1C1D1的長、寬、高分別是4,3,5,則平面ABCD的面積比平面BB1C1C的面積小,這種說法正確嗎?

圖6

2.一個平面將空間分成幾部分? 兩個平面呢?

引導(dǎo)學(xué)生思考理解平面是可以無限伸展的,一個平面將空間分成兩部分,兩個平面要根據(jù)模型恰當(dāng)擺放,滲透分類與整合思想.

【設(shè)計意圖】強(qiáng)調(diào)平面是可以無限伸展的,滲透分類與整合思想,提升空間想象能力.

環(huán)節(jié)6:借助模型,探究關(guān)系

探究:借助長方體模型,如圖6所示,引導(dǎo)學(xué)生思考線與面的位置關(guān)系、面與面的位置關(guān)系.

在學(xué)生探究的過程中,教師限定對平面ABCD進(jìn)行探究.

抽象概括:如圖7和圖8所示.

圖7

圖8

【設(shè)計意圖】了解長方體中線與面、面與面的位置關(guān)系,了解線與面、面與面的位置關(guān)系的圖形表示;領(lǐng)會觀察幾何體的一般步驟:先整體再局部,最后觀察各元素的位置關(guān)系;滲透分類與整合思想,提升直觀想象素養(yǎng);增強(qiáng)合作學(xué)習(xí)意識.通過比較,讓學(xué)生領(lǐng)會今后學(xué)習(xí)立體幾何過程中,要重視與平面幾何類比,借鑒平面幾何的學(xué)習(xí)方法:直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計算.

環(huán)節(jié)7:探究活動,加強(qiáng)理解

問題5:如圖9 所示,觀察下面幾何體對應(yīng)的模型,說出同組兩個幾何體的共同點(diǎn)、不同點(diǎn).

圖9

學(xué)生活動:小組合作觀察對應(yīng)模型,發(fā)現(xiàn)兩個幾何體的異同點(diǎn),做好記錄.

小組間分別說出幾何體的異同點(diǎn),感悟觀察幾何體的基本方法步驟.

【設(shè)計意圖】加強(qiáng)對構(gòu)成空間幾何體的基本元素點(diǎn)、線、面的理解,鞏固空間中線與面、面與面的位置關(guān)系,讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、發(fā)現(xiàn)、表達(dá)的過程,提升直觀想象素養(yǎng),提升合作學(xué)習(xí)意識,為后面觀察棱柱、棱錐、棱臺等基本幾何體進(jìn)行鋪墊.

環(huán)節(jié)8:課堂小結(jié),反思提升

結(jié)合板書帶領(lǐng)學(xué)生回顧知識:1)了解了本章研究對象、學(xué)習(xí)目標(biāo)、方法;2)了解了構(gòu)成空間幾何體的基本元素有點(diǎn)、線、面;3)了解了空間中的平面,并會用圖形、符號表示平面;4)了解了長方體中線與面、面與面的位置關(guān)系.

問題6:如何觀察一個幾何體?

【設(shè)計意圖】對本節(jié)課所學(xué)知識進(jìn)行簡單回顧,幫助學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣;通過設(shè)問鞏固觀察空間幾何體的一般方法.

5 教學(xué)反思

5.1 明確研究對象

高中立體幾何課程的研究對象可以分為兩類:一類是基本立體圖形,包括柱、錐、臺、球以及組合體,它們是“有界圖形”;另一類是點(diǎn)、線、面,它們是最基本的空間圖形,直線、平面都具有無限延展性.

5.2 關(guān)注結(jié)構(gòu)特征

認(rèn)識一類立體圖形的結(jié)構(gòu)特征就是抽象出這類圖形的組成元素及其形狀和位置關(guān)系,并用正確的數(shù)學(xué)語言予以表達(dá).通過豐富的幾何圖形模型,幫助學(xué)生進(jìn)行多角度觀察,在充分觀察、直觀感知的基礎(chǔ)上進(jìn)行本質(zhì)特征的抽象,得出基本圖形的結(jié)構(gòu)特征.

5.3 抓住整體學(xué)習(xí)

作為一個立體幾何的起始課,不能忽視課本中序言的內(nèi)容.課堂教學(xué)重視對立體幾何的研究對象、學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)方法等進(jìn)行介紹,體現(xiàn)以學(xué)生為學(xué)習(xí)主體,重視對學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng).

5.4 滲透數(shù)學(xué)思想

引導(dǎo)學(xué)生完成知識學(xué)習(xí)目標(biāo)、素養(yǎng)學(xué)習(xí)目標(biāo)的同時,也需要重視學(xué)法指導(dǎo),本節(jié)課還特別重視了兩個學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo):與平面幾何類比、觀察空間幾何體的一般方法和步驟.在教學(xué)中凸顯幾何直觀,培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念,注重滲透類比的數(shù)學(xué)思想,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

(完)