數形雙視角下的向量問題探究

馬海俊

(襄陽市第四中學)

向量問題是高考必考的題型,它可以單獨進行命題,也可以與其他知識進行交會考查.這類問題注重考查知識的基礎性、綜合性和新穎性,在很大程度上能夠較好地考查學生的數學運算、數學抽象和數學建模素養.

1 代數視角

向量問題從代數角度進行命題,主要涉及對向量基本問題進行考查,總體注重基礎性,我們應掌握向量的相關計算公式和基本概念,能夠熟練地利用公式進行準確的計算.

點評本題能夠較好地考查方程思想與學生的運算求解能力,特別需要強調的是利用向量解題時要明確所給等式的等價變換,例如,兩個非零向量垂直的充要條件是兩向量的數量積為0.

2 幾何視角

以形助數能夠較好地理解題目,在求解向量問題時,通過數形結合可以較好地對問題進行分析,這類問題常見于向量的線性表示,要熟練掌握向量的加、減運算.

例2已知向量a,b,c在正方形網格中的位置如圖1 所示,若網格紙上小正方形的邊長為1,則(a＋b)·c＝_________;a·b＝_________.

圖1

解析以網格正方形的一條水平線為x軸,豎直線為y軸建立平面直角坐標系,則a＝(2,1),b＝(2,－1),c＝(0,1),所以(a＋b)·c＝(4,0)·(0,1)＝4×0＋0×1＝0,a·b＝2×2＋1×(－1)＝3.

圖2

點評例2是圖形展示,要求學生能夠寫出對應的向量坐標,例3則是能夠建立了向量與平面幾何的聯系,再將元素的關系轉化為向量問題進行解決,最終通過向量運算解題.

3 數形雙視角

數形結合是一種常見的解題方法,也是一種數學思想,它能夠較好地使問題直觀化、簡單化.應用這種思想可以把原來的幾何問題轉化為代數問題進行求解.

例4已知A(x1,y1),B(x2,y2)是不同的兩點,點C(cosθ,sinθ),且則直線AB與圓x2＋y2＝1的位置關系是( ).

A.相離

B.相切

C.相交

D.以上三種情況都有可能

解析因為C(cosθ,sinθ),所以點C在圓x2＋y2＝1上,根據圓的對稱性,可知點C取圓上的任意點都可以.

圖3

例5正△ABC的內切圓圓心為Q,點P為圓Q上任意一點.若,則m＋n的取值范圍為( ).

解析設正△ABC的邊長為2,以BC,OA所在的直線為x,y軸,建立如圖4所示平面直角坐標系,則A(0),C(1,0).

圖4

點評建立合適的平面直角坐標系能夠較好地使向量問題代數化.從問題本質上看可以發現這兩道題屬于幾何問題,通過建立平面直角坐標系將原來的幾何問題轉化成了代數問題,能夠使問題簡單化.

(完)