一道立體幾何問題的多視角探究

汪 梅

(江蘇省昆山市柏廬高級中學)

立體幾何問題可以考查學生的空間想象能力、運算能力、識圖能力.角度和距離是立體幾何中兩個重要的度量,其中線面角的概念和求法既是教學的重難點,也是高考的高頻考點.學生在解決線面角問題時會面臨兩個選擇:運用幾何法(傳統方法)求解或運用向量法求解.在運用幾何法解題時學生常感到作圖難,角不好找;在運用向量法解題時學生可能會遇到個別點的坐標不好求,從而導致解題失敗.本文以一道立體幾何題為載體,從幾何法和坐標法這兩種視角深刻分析這類題的解決方法.

1 試題呈現

題目如圖1所示,在四面體ABCD中,已知△ABD是邊長為2 的等邊三角形,△BCD是以點C為直角頂點的等腰直角三角形,E為線段AB的中點,G為線段BD的中點,F為線段BD上的點.

圖1

(1)若AG∥平面CEF,求線段CF的長;

(2)若二面角A-BD-C的大小為30°,求CE與平面ABD所成角的大小.

2 解法探究

在第(1)問中,由線面平行的性質定理可得AG∥EF,從而得出F為BG的中點,進而可以在△BCD中求出CF.

在第(2)問中,首先要找出二面角A-BD-C的平面角,若用幾何法求CE與平面ABD所成角的大小,需要作出線面角或用等積法求出C到平面ABD的距離,但是四面體ABCD的體積不易求出;若用坐標法求解,那么如何建系及求出點A的坐標是難點.

視角1幾何法

分析1真作高真求高策略:運用射影法作出斜線在平面內的射影,進而將線面角轉化為線線角,最終轉化為求三角形中的角.先作出線面角,再在具體直角三角形中求解.

解法1如圖2所示,連接CG,因為△BCD與△ABD是共用同一條底邊BD的等腰三角形,且G為BD的中點,所以AG⊥BD,CG⊥BD.

圖2

又因為CG?平面BCD,AG?平面ABD,所以∠AGC為二面角A-BD-C的平面角,所以∠AGC＝30°,得AG＝,CG＝1,過點C作CM⊥AG,垂足為M,連接EM.

因為AG⊥BD,CG⊥BD,AG∩CG＝G,AG?平面ACG,CG?平面ACG,所以BD⊥平面ACG,因為CM?平面ACG,所以BD⊥CM.因為BD∩AG＝G,BD?平面ABD,AG?平面ABD,所以CM⊥平面ABD,所以ME為CE在平面ABD內的射影,故∠CEM為CE與平面ABD所成角.

點評本題屬于中檔題,注重對四基(基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗)的考查,體現了基礎性、綜合性、應用性、創新性的特點.幾何法以邏輯推理作為工具解決問題.用幾何法解題首先要掌握二面角平面角的作圖方法,厘清圖中面面、線面間的關系,分析出平面ACG和平面ABD的垂直關系是能否直接作出線面角的關鍵.

轉換視角若作射影有難度,線面角不易直接求得,可運用等體積法間接求出點到平面的距離.

分析2假作高真求高策略:等體積法,求點到平面的距離(此時無須關注垂足的具體位置).

解法2同解法1可求得∠AGC＝30°.

點評有些學生對二面角平面角及線面角概念理解不到位,可能作不出二面角A-BD-C的平面角,更作不出線面角.視角2中很多學生想不到用轉化法求三棱錐C-ABD的體積.新高考全國卷注重對立體幾何中傳統方法的考查,事實證明遇到立體幾何問題就建立空間直角坐標系運用向量法求解不一定是最好的方法,所以多掌握一些解題方法是有益處的.方法單一,僅憑借一種方法應對所有的題目有時是吃虧的.對比以上兩個視角,視角1利用面面垂直的性質直接作出了線面角,視角2利用等體積法求出點到平面的距離,但是視角1體現了數學中“多思少算”的理念,所以要求學生在平時的訓練中優化自己的運算.

轉換視角有時無論是直接作圖還是運用等積法都不易求出高,此時可以考慮借助空間向量解決問題,因為向量是研究幾何問題的有效工具.

視角2向量法

分析3直線與平面所成的角,可以轉化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角.若直線的方向向量與平面法向量夾角為銳角,則對應線面角是其余角;若兩向量夾角為鈍角,則線面角為其補角的余角.

解法3如圖3 所示,連接CG.在等邊△ABD中,G為BD的中點,所以AG⊥BD.又因為△BCD是以點C為直角頂點的等腰直角三角形,G為線段BD的中點,所以CG⊥BD,所以∠AGC為二面角A-BD-C的平面角,所以∠AGC＝30°.

圖3

又0°≤θ≤90°,所以θ＝45°,故CE與平面ABD所成角的大小為45°.

點評z軸的建立是本題的關鍵,筆者認為最好能找出底面的垂面,利用面面垂直的性質可知只要在垂面內作交線的垂線就可以作出z軸.不難發現,視角1中的幾何法無疑是本題最簡單的解法.

3 問題的拓展

變式在邊長為2的菱形ABCD中,∠BAD＝60°,點E是邊AB的中點(如圖4),將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,連接A1B,A1C,得到四棱錐A1-BCDE(如圖5).

圖4

圖5

(1)證明:平面A1BE⊥平面BCDE;

(2)若A1E⊥BE,連接CE,求直線CE與平面A1CD所成角的正弦值.

解析(1)證明過程略.

(2)方法1真作高真求高策略

如圖6所示,易證CD⊥平面A1DE.因為CD?平面A1CD,所以平面A1CD⊥平面A1DE.

圖6

因為平面A1CD∩平 面A1DE＝A1D,在△A1CD中,過E作EF⊥A1D于F,連接CF,則∠ECF是直線CE與平面A1CD所成角.

方法2假作高真求高策略

因為A1E⊥BE,A1E⊥DE,BE∩DE＝E,BE?平面BCDE,DE?平面BCDE,所以A1E⊥平面BCDE.因為CD?平面BCDE,所以A1E⊥CD,因 為CD⊥DE,DE∩A1E＝E,DE?平 面A1DE,A1E?平面A1DE,所以CD⊥平面A1DE.因為A1D?平面A1DE,所以CD⊥A1D,又因為CD＝A1D＝2,所以S△A1CD＝2.

方法3向量策略(建系法)

圖7

設平面A1CD的一個法向量為n＝(x,y,z),則

4 解題反思

新高考注重對學生能力的考查,強調知識之間的關聯與延伸,強調對學科關鍵能力尤其是對思維認知能力的考查.該類型題目對數學中邏輯推理能力、直觀想象能力、數據分析與處理能力等均有涉及,注重對數學核心素養的考查.

立體幾何中綜合法求角關鍵是“找、作、化”,不論是找出所求角還是作出所求角,最后一定要歸到一個可解的三角形中求解.

注重非特殊圖形情況下建系訓練,真正掌握運用空間向量的方法解決問題,而不是只會套路性地解題.運用空間向量法求解問題時,要避免建系不當或者是因為運算錯誤造成失分.

(完)