三角形中的范圍問題的解法分析

王 娜 李汝強

(山東省博興第一中學)

解三角形中的范圍問題是高考的重要問題,求解的核心思想是函數思想,而函數思想的核心是變元,下面我們一起進行探究.

1 總體方法概述

解三角形中的范圍問題,總體上可以用圖形模型、以邊為變元的模型或以角為變元的模型來進行求解.

題目已知a,b,c分別為銳角△ABC的三個內角A,B,C的對邊,且acosC＋asinC－b－c＝0.

(1)求A的大小;

(2)若a＝,求△ABC面積的取值范圍.

解析(1)利用正弦定理,將邊化成角,容易得到(具體求解過程略).

(2)模型1圖形模型

根據題意作圖,如圖1 所示,容易看出△ABC面積的取值范圍為,但是缺乏邏輯推理,不適用于求解解答題.

圖1

模型2以邊為變元的模型

利用不等式工具可以整體求出二元函數的最大值,但是不容易得到△ABC面積的取值范圍.

模型3以角為變元的模型

2 思路總結

通過以上分析,我們可以得到解題思想的思維導圖(如圖2).

圖2

3 跟蹤訓練

練習1已知a,b,c分別為銳角△ABC的三個內角A,B,C的對邊,若A＝,b＝2,求△ABC周長的取值范圍.

解析本題可以以角為變元建立模型解決.如圖3 所 示,△ABC的周長為l＝a＋b＋c＝a＋2＋c,由正弦定理得

圖3

解析模型1圖形模型點C滿足蒙日圓模型(除去點P,Q,如圖4所示),點C軌跡方程為(x－2)2＋y2＝3(y≠0),容易得到△ABC的面積S＝＝|y|,所以△ABC面積的取值范圍為

圖4

模型2以邊為變元的模型

模型3以角為變元的模型

4 真題鏈接

題目(2022年新高考Ⅰ卷18)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

5 拓展提升

題目記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若b＝2,

求△ABC周長的最大值.

解析利用以角為變元的模型求解本題.

由正弦定理得△ABC的周長為

經過以上探究,我們發現突破此類問題的關鍵是找到合適的數學模型,尤其是合適的函數模型.這也完全符合新高考的理念:由“解題”到“解決問題”,培養學生的數學核心素養.

(完)