幾類非常規(guī)不等式的解法探究

孫經(jīng)國(guó)

(山東省棗莊市第一中學(xué))

在高中數(shù)學(xué)中,解不等式主要以一元二次不等式和簡(jiǎn)單的分式不等式為主,但有時(shí)也會(huì)遇到特殊的不等式,如高次不等式、含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式、與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式等,本文對(duì)如何求解這些不等式進(jìn)行探究.

1 高次不等式的解法

所謂高次不等式,就是指未知數(shù)的次數(shù)大于2的整式不等式,一般采用“數(shù)軸穿根法”求解,其步驟如下.令關(guān)于x的表達(dá)式為f(x),所求不等式為f(x)＞0或f(x)＜0,求解時(shí),先求出f(x)＝0的根x1,x2,x3,…,在數(shù)軸上依次標(biāo)出根,再?gòu)臄?shù)軸的右上方開(kāi)始,從右向左畫(huà),如同穿針引線穿過(guò)每一個(gè)根,最后先仔細(xì)觀察圖像,通過(guò)f(x)＞0尋找圖像在x軸上方的自變量的取值范圍,通過(guò)f(x)＜0 尋找圖像在x軸下方的自變量的取值范圍.當(dāng)高次不等式因式分解后出現(xiàn)偶次項(xiàng)的因式時(shí),可以依據(jù)它的非負(fù)性直接除去.但是需要注意的是要驗(yàn)證這個(gè)偶次項(xiàng)的根是否滿足不等式.

例1解下列高次不等式:

(1)(x－1)(x－2)(x－3)＞0;

(2)(x＋1)(x－2)2(x－3)＜0.

解析(1)令f(x)＝(x－

1)(x－2)(x－3),則f(x)＝0 的根為x1＝1,x2＝2,x3＝3.結(jié)合圖1 可得1＜x＜2 或x＞3,所以不等式的解集為(1,2)∪(3,＋∞).

圖1

(2)因?yàn)?x－2)2≥0,所以原不等式等價(jià)于解得－1＜x＜3且x≠2,所以不等式的解集為(－1,2)∪(2,3).

點(diǎn)評(píng)在解高次不等式時(shí),穿根前可考慮先將恒正恒負(fù)的項(xiàng)去掉,在穿根前可先將不等式的最高次的系數(shù)化為正數(shù),則位于橫軸上方圖像對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍是f(x)＞0 的解集,位于橫軸下方的圖像對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍是f(x)＜0的解集.

2 含有絕對(duì)值的不等式

對(duì)含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式,求解的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值符號(hào),將其轉(zhuǎn)化為一般的不等式.去掉絕對(duì)值符號(hào)的方法主要有兩種:一是定義法(分類討論),二是兩邊平方法.

例2解下列不等式:

解析(1)所解不等式可轉(zhuǎn)化為－3x≤x2＋x≤3x,即解得0≤x≤2.

(2)根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)“當(dāng)一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值大于它自身時(shí),這個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)”得＜0,解得0＜x＜2,所以這個(gè)不等式的解集為(0,2).

(3)本題含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào),一般采用零點(diǎn)討論法,即對(duì)絕對(duì)值的零點(diǎn)分三種情況討論.

當(dāng)x＞1時(shí),不等式可轉(zhuǎn)化為x－1＋x＋2＜5,解得x＜2,所以1＜x＜2.

當(dāng)－2＜x≤1 時(shí),不等式可轉(zhuǎn)化為1－x＋x＋2＜5,即3＜5,所以－2＜x≤1.

當(dāng)x≤－2時(shí),不等式可轉(zhuǎn)化為1－x－x－2＜5,解得x＞－3,所以－3＜x≤－2.

綜上,不等式的解集為(－3,2).

點(diǎn)評(píng)絕對(duì)值不等式千變?nèi)f化,一定要注意它的特點(diǎn),然后選擇合理的解法.當(dāng)含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)時(shí),一般采用零點(diǎn)討論法,有時(shí)也可依據(jù)絕對(duì)值的幾何意義從數(shù)軸上直接找到解集.

3 指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式

指數(shù)不等式一般指指數(shù)中含有未知數(shù)的不等式,而對(duì)數(shù)不等式一般指對(duì)數(shù)的真數(shù)部分含有未知數(shù).無(wú)論是指數(shù)不等式還是對(duì)數(shù)不等式,解答的原則是脫離底數(shù)的束縛,轉(zhuǎn)化為一般的不等式,轉(zhuǎn)化時(shí)需用到指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性.對(duì)于對(duì)數(shù)不等式,還需特別考慮真數(shù)為正數(shù),這一點(diǎn)往往是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn).例3解下列不等式:

點(diǎn)評(píng)本例中的兩個(gè)不等式,由于底數(shù)不確定,導(dǎo)致所對(duì)應(yīng)的指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性不確定,所以必須對(duì)底數(shù)分類討論,進(jìn)而將原不等式轉(zhuǎn)化為不等式組來(lái)解.

4 與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的不等式

這類不等式一般不可以直接求解,需要先從題目的實(shí)際出發(fā)構(gòu)造函數(shù),并證明該函數(shù)的單調(diào)性,再利用函數(shù)的單調(diào)性將原不等式轉(zhuǎn)化為一般的不等式,由于這類問(wèn)題條件分散,還涉及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,所以難度較大,主要考查學(xué)生的觀察能力、聯(lián)想能力與解決問(wèn)題的能力.

點(diǎn)評(píng)這類問(wèn)題的共同特點(diǎn)是依據(jù)題中的不等式和所要解的不等式構(gòu)造函數(shù).難點(diǎn)在于找到題中的不等式和所要解的不等式之間的聯(lián)系,而這個(gè)聯(lián)系就是所構(gòu)造的這個(gè)函數(shù)以及它的單調(diào)性.

不等式其實(shí)是由方程演變而來(lái)的,而方程與函數(shù)是可以相互轉(zhuǎn)化的,所以無(wú)論是哪種非常規(guī)的不等式,最終研究的落腳點(diǎn)是方程的根或函數(shù)的性質(zhì).

(完)