巧構空間坐標系,妙解立體幾何題

臧永建

(濟南市章丘區第五中學)

我們知道,建立空間直角坐標系,利用向量法可以判斷與證明空間中點、線、面之間的位置關系,求解空間角(包括異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角的平面角等)問題.此外,還可以用它巧妙解決立體幾何中的數量積問題、距離問題、外接球問題以及軌跡問題等.

1 數量積問題

例1已知MN是長方體外接球的一條直徑,點P在長方體表面上運動,長方體的棱長分別是1,1,,則的取值范圍為( ).

解析根據題意,以點D為坐標原點,建立空間直角坐標系,如圖1所示.

圖1

點評在解決一些立體幾何體中的向量數量積問題時,可以通過建立空間直角坐標系,利用坐標法求解,其中正確構建合適的空間直角坐標系是解題的關鍵.

2 距離問題

例2(多選題)如圖2所示,設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E為A1D1的中點,F為CC1上 的一個動點,若由點A,E,F構成的平面為α,則( ).

圖2

A.平面α截正方體的截面可能是三角形

B.當點F與點C1重合時,平面α截正方體的截面面積為

C.點D到平面α的距離的最大值為

D.當F為CC1的中點時,平面α截正方體的截面為五邊形

解析如圖3 所示,建立空間直角坐標系,延長AE與z軸交于點P,延長PF與y軸交于點M,則平面α由平面AEF擴展為平面APM.由此可知A 錯誤,D 正確.

圖3

點評在利用坐標法解決一些立體幾何中的距離問題時,正確地構建空間直角坐標系并利用一些常用的距離公式是解決問題的關鍵.

3 外接球問題

圖4

即三棱錐A-BCD外接球的表面積為S＝4πR2＝52π,故選B.

點評在解決一些簡單幾何體的外接球問題時,通過建立空間直角坐標系利用坐標法求解,可以很好地回避確定外接球的球心位置或球的半徑等繁雜的圖形處理與邏輯推理.

4 軌跡問題

例4如圖5所示,斜線段AB與平面α所成的角為為斜足.平面α上的動點P滿足∠PAB＝,則點P的軌跡為( ).

圖5

A.圓

B.橢圓

C.雙曲線的一部分

D.拋物線的一部分

解析建立如圖6 所示的空間直角坐標系,設B(0,1,0),A(0,0,1),P(x,y,0),則＝(0,1,－1),＝(x,y,－1),所以

圖6

變形整理可得3x2＋(y－2)2＝3,所以點P的軌跡是橢圓,故選B.

點評在解決一些立體幾何中的軌跡問題時,回顧平面解析幾何中求解軌跡問題的技巧與方法,通過建立空間直角坐標系,設出動點的坐標,借助坐標法,利用題目條件合理構建相關的關系式,進而變形整理得到動點的坐標所滿足的代數關系式,從而結合關系式的特征確定軌跡類型.

建立空間直角坐標系求出空間相關點的坐標以及向量的坐標等,利用坐標法確定線段的長度、向量的夾角、空間點線面的位置關系,解決一些相關的數量積問題、距離問題、外接球問題以及軌跡問題等,可以實現問題的突破,全面提升數學能力,提高數學思維品質,培養數學核心素養.

(完)